LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Summary
TLDREl guion del video ofrece una explicación detallada de las propiedades fundamentales de los números reales, incluyendo la clausura, conmutatividad, asociatividad, propiedades de identidad, inversos aditivos y multiplicativos, y la distributividad. Se ilustran con ejemplos sencillos, como la suma y multiplicación de números, para que el espectador comprenda cómo estas propiedades son aplicables en matemáticas. También se discuten conceptos como la propiedad de igualdad, la multiplicación por cero y las propiedades de las fracciones, subrayando la importancia de las reglas de signos y la indeterminación en casos de división por cero.
Takeaways
- 🔢 La propiedad de clausura afirma que la suma y multiplicación de números reales resulta en otro número real.
- 🔄 La propiedad conmutativa establece que el orden de la suma y multiplicación no afecta el resultado.
- 🔗 La propiedad asociativa indica que el agrupamiento de sumas y productos no influye en la respuesta final.
- 🎯 Los números reales tienen propiedades de identidad, donde el cero es el identidad para la suma y el uno para la multiplicación.
- 🔄 La propiedad del inverso afirma que cada número real tiene un inverso aditivo y multiplicativo que neutraliza su efecto en la suma y producto, respectivamente.
- 📢 La propiedad distributiva explica cómo el producto de un número y la suma de otros dos se distribuye a cada término de la suma.
- ✂️ La propiedad de igualdad permite resolver ecuaciones al aplicar operaciones similares a ambos lados de una igualdad.
- 🚫 La multiplicación por cero siempre resulta en cero, independientemente del número real que se multiplique.
- ➗ La cancelación es posible en productos y divisiones, siempre que el factor o divisor no sea cero.
- 🔁 La propiedad de la sustracción y negativos muestra que el negativo de un número es igual al número multiplicado por -1.
- 📉 La división por cero no está definida y es considerada indefinida en matemáticas.
Q & A
¿Qué es la propiedad de clausura en los números reales?
-La propiedad de clausura indica que la suma y la multiplicación de números reales resulta en otro número real. Por ejemplo, si tomamos dos números reales 'a' y 'b', la suma 'a + b' y la multiplicación 'a * b' son también números reales.
¿Cómo se llama la propiedad que indica que el orden de los números en una suma o multiplicación no afecta el resultado?
-La propiedad se llama conmutativa. Por ejemplo, la suma 'a + b' es igual a 'b + a' y la multiplicación 'a * b' es igual a 'b * a'.
Explique la propiedad asociativa de los números reales.
-La propiedad asociativa establece que el resultado de una suma o multiplicación de tres o más números reales no cambia si reorganizamos los paréntesis. Por ejemplo, 'a + (b + c)' es igual a '(a + b) + c' y 'a * (b * c)' es igual a '(a * b) * c'.
¿Cuáles son los números reales especiales mencionados en la propiedad de identidad?
-Los números reales especiales en la propiedad de identidad son el cero (0) y el uno (1). El cero actúa como el identidad para la suma, y el uno actúa como la identidad para la multiplicación.
¿Qué es el inverso aditivo y cómo se relaciona con la propiedad del inverso en los números reales?
-El inverso aditivo de un número real 'a' es otro número real que, cuando se suma a 'a', resulta en cero. Cada número real tiene un inverso aditivo que cumple esta propiedad.
Explique la propiedad distributiva de los números reales.
-La propiedad distributiva afirma que la suma de un número real multiplicado por cada término de una suma es igual a la suma de las multiplicaciones individuales de ese número por cada término. Por ejemplo, 'a * (b + c)' es igual a 'a * b + a * c'.
¿Qué significa la propiedad de igualdad en el contexto de los números reales?
-La propiedad de igualdad permite que si dos números reales 'a' y 'b' son iguales, entonces cualquier operación realizada sobre 'a' se puede realizar sobre 'b' sin cambiar la igualdad. Por ejemplo, si 'a = b', entonces 'a + c = b + c' y 'a * c = b * c'.
¿Qué es la propiedad de multiplicación por cero y cuál es su resultado?
-La propiedad de multiplicación por cero establece que cualquier número real multiplicado por cero da como resultado cero. Por ejemplo, '0 * a' es igual a '0', independientemente del valor de 'a'.
Explique la propiedad de cancelación en los números reales.
-La propiedad de cancelación permite que si tenemos una igualdad 'a * c = b * c' y 'c' no es cero, podemos dividir ambos lados de la igualdad por 'c' para obtener 'a = b'.
¿Qué sucede con la propiedad de la división cuando se divide un número real entre cero?
-La división de un número real entre cero no está definida y se considera indefinida. No se puede realizar tal operación matemática.
Explique la propiedad de las fracciones equivalentes en los números reales.
-La propiedad de las fracciones equivalentes indica que dos fracciones que tienen el mismo numerador y diferentes denominadores pueden ser iguales si sus denominadores son inversos entre sí. Por ejemplo, 'a/b' es igual a 'c/d' si 'b' es el inverso multiplicativo de 'd'.
Outlines
📚 Propiedades fundamentales de los números reales
El primer párrafo introduce las propiedades básicas de los números reales, destacando la clausura en suma y multiplicación, lo que significa que la suma o el producto de dos números reales siempre resulta en otro número real. Se ejemplifica con la suma y multiplicación de números simples, como 4 + 2 y 4 * 2, respectivamente. Luego, se explica la propiedad conmutativa, que establece que el orden no importa en sumas o productos, ejemplificada con 3 + 2 igual a 2 + 3 y 3 * 2 igual a 2 * 3. Seguidamente, se presenta la propiedad asociativa, que permite realizar operaciones en grupos sin alterar el resultado, como a + (b + c) igual a (a + b) + c para sumas y (a * b) * c igual a a * (b * c) para productos. Finalmente, se mencionan las propiedades de identidad, donde se describe cómo el cero y el uno afectan a las sumas y productos, como 3 + 0 igual a 3 y 5 * 1 igual a 5.
🔄 Propiedades del inverso y distributiva
Este párrafo profundiza en la propiedad del inverso, donde se explica que cualquier número real tiene un inverso aditivo que, cuando sumado al número, resulta en cero, y un inverso multiplicativo que, al multiplicarse por el número, da como resultado uno. Se ejemplifica con números como 7 y 10, mostrando cómo sus inversos aditivos y multiplicativos se comportan. A continuación, se discute la propiedad distributiva, que permite la expansión de productos de sumas, como a * (b + c) igual a (a * b) + (a * c). Se proporcionan ejemplos concretos, como 3 * 2 + 5 igual a 3 * 2 + 3 * 5, para ilustrar cómo esta propiedad funciona en contextos numéricos.
🔄 Propiedades de la igualdad y el cero en multiplicación
El tercer párrafo explora la propiedad de la igualdad, que permite realizar operaciones similares en dos expresiones iguales sin cambiar su veracidad. Se ejemplifica con ecuaciones sencillas, como 3 = x, y se muestra cómo se pueden manipular para resolver por x. También se menciona la propiedad del multiplicado por cero, donde cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero, y la propiedad de la cancelación, que permite eliminar factores comunes en productos para simplificar la expresión, siempre y cuando el factor no sea cero. Se ejemplifica con la igualdad 3 * 5 = 15 y cómo se pueden simplificar expresiones similares.
🔢 Propiedades de la sustracción y los negativos
Este segmento se enfoca en las propiedades de la sustracción y cómo se relacionan con los números negativos. Se describe cómo la sustracción de un número es equivalente a la suma de su opuesto, como -2 es igual a -1 * 2. También se discuten las propiedades de la multiplicación con negativos, donde el producto de dos números negativos resulta en un número positivo, ejemplificado con -2 * -5 igual a 10. Se mencionan las propiedades de las fracciones equivalentes y cómo se pueden expresar de diferentes maneras, siempre que se respeten las reglas de los signos.
🎯 Propiedades avanzadas de las fracciones y la división
El último párrafo cubre propiedades más avanzadas relacionadas con las fracciones y la división. Se explica cómo se pueden simplificar las fracciones equivalentes y se ejemplifica con la igualdad 75/X3 y cómo se relaciona con 7 * 3 = 5 * X. Se discuten las reglas de signos en las fracciones negativas y cómo se pueden escribir de diferentes maneras. También se exploran las operaciones de adición y sustracción con fracciones que tienen el mismo denominador, como 7/5 + 1/5 igual a 8/5. Seguidamente, se presenta la propiedad de la multiplicación de fracciones, donde se muestra que (a/b) * (c/d) es igual a (a * c) / (b * d), siempre que b y d no sean cero. Finalmente, se aborda la propiedad de la división de fracciones, donde se muestra que (a/b) / (c/d) es igual a (a * d) / (b * c), y se mencionan las excepciones cuando se divide cero o cuando el denominador es cero, que no están definidos.
Mindmap
Keywords
💡Propiedades de los números reales
💡Clausura
💡Conmutatividad
💡Asociatividad
💡Propiedades de identidad
💡Inverso
💡Distributividad
💡Propiedad de igualdad
💡Multiplicación por cero
💡Cancelación
💡Sustracción y negativos
💡Fracciones equivalentes
💡Regla de los signos
💡Adición o sustracción con fracciones
💡Multiplicación y división de fracciones
💡División por cero
Highlights
La propiedad de clausura en los números reales, donde la suma y multiplicación de números reales resulta en otro número real.
Ejemplo práctico de la propiedad de clausura con la suma y multiplicación de 4 y 2.
La propiedad conmutativa que permite la indiferencia en el orden de los operandos en suma y multiplicación.
La propiedad asociativa que permite el cambio de grupo de operación sin afectar el resultado en sumas y multiplicaciones.
Ejemplo ilustrativo de la propiedad asociativa con la suma de tres números reales.
La propiedad de identidad en la suma y multiplicación, donde el cero y el uno son números identidad.
Ejemplo de la propiedad de identidad con la suma y multiplicación por el uno.
La propiedad del inverso, donde cada número real tiene un inverso aditivo y multiplicativo.
Ejemplo de la propiedad del inverso aditivo y multiplicativo con el número 7 y su inverso.
La propiedad distributiva, que permite la distribución de un producto sobre una suma.
Ejemplo de la propiedad distributiva con la multiplicación de un número por una suma.
La propiedad de igualdad, que permite la manipulación de ecuaciones a través de operaciones similares.
Ejemplo de la propiedad de igualdad en la resolución de una ecuación lineal.
La propiedad de la multiplicación por cero, que siempre resulta en cero.
La propiedad de cancelación, que permite la eliminación de factores comunes en productos y coeficientes.
Ejemplo de la propiedad de cancelación en una fracción y su equivalente simplificado.
La propiedad de la sustracción y los negativos, donde el signo de los operandos es crucial.
Ejemplo de la propiedad de la sustracción con números negativos y su interpretación.
La propiedad de las fracciones equivalentes, donde la misma fracción puede ser expresada de diferentes maneras.
Ejemplo de la propiedad de las fracciones equivalentes con una fracción negativa.
La propiedad de la adición o sustracción de fracciones con el mismo denominador.
Ejemplo de la propiedad de la adición de fracciones con el mismo denominador.
La propiedad de la multiplicación de fracciones y su simplificación.
Ejemplo de la propiedad de la multiplicación de fracciones y su resultado equivalente.
La propiedad de la división de fracciones y su interpretación en términos de multiplicación por el inverso multiplicativo.
Ejemplo de la propiedad de la división de fracciones y su equivalente multiplicativo.
La propiedad de la división por cero, que no está definida y es considerada indefinida.
La propiedad de la división de cero por cero, que también no está definida y es indefinida.
Transcripts
las propiedades de los números reales
cuidado porque vamos a ver
16 qué barbaridad venga la primera de
ellas la propiedad de la clausura o
cerradura que lo que nos dice es que
cuando sumamos números reales obtenemos
un número real y cuando multiplicamos
entre sí números reales pues obtenemos
otro número real est es la primera
propiedad de la que te quiero hablar eh
Mira
eh a + b esto es igual a otro número
real y a * b esto es igual a otro número
real podría escribir a + b + c + fa para
simplificar voy a utilizar dos pares de
números reales ejemplo ejemplo
ejemplo si
m 4 + 2 Esto va a ser igual a un número
real que que en concreto es 6 y 4 * 2
Esto va a ser igual a otro número real
que es
8 venga vamos a por la segunda
propiedad se llama propiedad conmutativa
y lo que nos dice es que si sumamos
varios números reales entre sí no
importa el orden y si
multiplicamos lo mismo mira mira mira
mira mira eh la propiedad conmutativa a
+ b Esto es lo mismo que b + a
y a * b Esto es lo mismo que b *
a por ejemplo qué más da 3 + 2 que 2 + 3
qué más da 3 veces 2 que 2 veces TR qué
más da qué más da A eso me refiero con
esta propiedad vamos a por otra llamada
asociativa la propiedad
asociativa qué pasa con esta propiedad
pues lo que pasa es lo siguiente siempre
escribiendo la la mínima cantidad de de
números para para exponer tela podría
podría ser infinitos números Mira a + b
+ c esto ves podría poner muchos más
números pero me me me quedo lo mínimo a
+ b + c a + b paréntesis + C = A + B + C
A esto me
refiero podemos operar primero esto y
luego esto o o o esto más esto operado
entre sí o eh para el producto a * b * c
es lo mismo que a * b * c vamos a verlo
con un ejemplo vamos a verlo con un
ejemplo qué más da qué más da
esto qué más da esto que que que
esto qué más da qué más da Mira mira
mira mira 3 y 2 5 verdad 5 + 1 3 + 3 5 +
1 es 6 y 3 + 3 es 6 lo veis esto no
quiero decir que esto sea una
demostración pero solamente quiero decir
que funciona funciona para estos números
funciona funciona para todos los números
reales vale eh funciona mira ahora ahora
para para el producto qué más da qué más
da esto qué más da Esto es lo que nos
dice esta propiedad qué más da
eh dos 2 * 3 *
5 que que 2 * 3 * 5 esta propiedad nos
dice que que da lo mismo esto que que
esto vamos a ver 6 * 5 = 2 *
15 6 ve 5 es 30 y dos veces 15 es
también 30 eh
eh
venga venga otra propiedad
más propiedad de identidad Mirad hay dos
números muy especiales dos números
reales muy especiales el cero y el uno
Mirad cómo se comporta el cer en una
suma eh Si nosotros a un número
cualquiera a le añadimos el 0 o o o 0 +
a volvemos a obtener otra vez
a
y con el uno y el producto Mira lo que
pasa si nosotros multiplicamos a por 1 o
o 1 * a obtenemos otra vez ese
número impresionante ejemplo 3 + 0 que
es lo mismo que 0 + 3 es igual a
3 y y 5 * 1 que es lo mismo que 1 * 5 es
igual a
5
claro otra
propiedad la propiedad del inverso el
inverso propiedad número cinco propiedad
del inverso vamos a ver para las suma
para cualquier número real se cumple
esto todo número real tiene su inverso
aditivo estoy hablando de esto estoy
hablando de esto a más un número un
número real muy especial que se escribe
así pues esto es lo mismo que esto Claro
claro por la propiedad conmutativa y
Esto va a ser igual a
c siempre va a haber para cualquier
número real otro que haga que la suma de
ambos sea igual a cero y y a este número
repito se le
llama inverso aditivo y para la
multiplicación Pues mira mira de la
misma manera
eh siempre para un número real
cualquiera va a haber otro llamado
inverso multiplicativo que va a hacer lo
siguiente a por su inverso multip
o el inverso multiplicativo de a por por
a Esto va a ser igual a 1 Oye y esto que
a siempre sea distinto de cero venga
venga ejemplos ejemplos Eh pues pues por
ejemplo
mira si tenemos el número 7 un número
real el
si si lo sumamos por
su inverso aditivo Esto va a ser igual a
Bueno podemos podemos sumar podemos
decir 7 más su inverso aditivo o el
inverso aditivo de 7 + 7 Esto va a ser
igual a o y para cualquier otro número
real aplicando ahora
esto Pues mira 10 10 por su inverso
multiplicativo o el inverso
multiplicativo de 10 * 10 Esto va a ser
igual a
1 vamos a por otra
propiedad queremos tocar
16 y cuando hayamos
terminado somos expertos en números
reales propiedad distributiva allá va si
tenemos tres números reales A B y C se
verifica lo siguiente a veces b + c a
ver Podría tener b + c + d má e etcétera
etcétera Pero lo dejamos en tres lo
dejamos en A B y C A veces b + c Esto es
lo mismo que a veces B + a veces
c también también puede pasar esto a +
b por c esto sería lo mismo A veces c +
b ve C
venga vamos a por un ejemplo si tenemos
3 * 2 + 5 por ejemplo esto es
exactamente lo mismo que esto otro 3 * 2
+ 3 *
5 vamos a verlo 3 5 y 2 7 verdad y y y
esto es igual entonces a 3 * 2 6 + 3 * 5
15 eh 3 * 7 21 vale muy bien y y 6 * 6 +
15 21 21 ha uno olé
olé y Y si nos lo dan así venga otro
ejemplo 5 +
4 * 3 esto es igual a pues 5 * 3 + 4 * 3
vamos a ver si es verdad vamos a ver si
es verdad eh 5 + 4 9 9 * 3 por aquí y
aquí tenemos 3 * 5 15 + 4 * 3 12 vale 3
* 9 27 y y y y esto más esto Pues
también es
27 Claro que
sí vamos a por más cosas vamos a por más
cosas la propiedad de la igualdad cuánto
me gusta esta propiedad Porque permite
resolver ecuaciones
vamos eh Mira tres números reales
cualesquiera A B y C si a es ig a b
entonces también es cierto
esto y si a es ig a
b también es cierto esto
otro venga vamos a ver un ejempl yo Y
utilizando un poco de álgebra si
si si 3 =
x también es cierto que 3 + 5 = x +
5 y y si y si 8 = x Pues también es
cierto por ejemplo que 8 * 4 es lo mismo
que x *
4 se entiende más o menos lo que quiero
decir eh Mira eh Mira mira mira mira
mira mira mira si si esto es
cierto esto igual a
esto seguirá siendo cierto esto otro
sumo uno en ambos miembros es decir
tendría 2x + 1 - 1 igual a igual a
menos -3
-3 vale quiero despejar x Pues si Y si
yo he aplicado esta
propiedad si yo Ahora multiplico ambos
miembros por una cantidad inteligente
Mira por ejemplo 1 medio 1 medio por
aquí 1 medio por allá zas zas x = - 3/2
veis resuelta la
ecuación propiedad de la igualdad vamos
con otra vamos con otra
propiedad qué bonito Eh Qué
bonito propiedades de la multiplicación
por cero a veces 0 o o 0 veces a esto es
igual a
0 Y si tenemos que que a veces b o o b
veces a es igual a 0 si se verifica Esto
entonces también será cierto lo
siguiente que a sea ig a
que B sea ig a
0 ambas cosas ambas cosas a la
vez más más más más más Santo
Tomás propiedades de la cancelación
vamos a ver ahora mismo dos Mira si
tenemos si tenemos esto a veces C =
veces
c podemos hacer una cancelación a las cs
y dejar esto como a =
b me refiero a esto mira puedo
multiplicar ambos miembros por por 1 di
c 1 di c zas zas zas zas qu da a ig a b
esto por un lado esto por un
lado Espera que lo vuelva a escribir
otra vez ahí está esto Esto es lo mismo
que Esto vale siempre que c no sea cero
Mira c distinto de c y y Imagínate que
tenemos esta
fracción Bueno pues esto es lo mismo que
esto
Claro claro que sí siempre que que B sea
distinto de cer y que b y que C B Mejor
dicho sea también distinto de cero Claro
claro claro claro vamos a por
más
venga propiedades de la sustracción y
negativos eh Mirad para un número
cualquiera real a esto es verdad esto es
verdad y para dos números reales a y b
esto también es
verdad esto es verdad
también y para un número real a esto se
cumple podemos poner esto entre
paréntesis vale Y por
último esto
otro vemos unos ejemplos venga que
tenemos que a ig 2 por ejemplo y b = 5
pues eh según esta propiedad - -2 sería
igual a 2 según esta otra
propiedad
tendríamos
-2 * 5 Esto es lo mismo que
-2 * 5 eh podría quitar el paréntesis
este que hay aquí e esto Esto es lo
mismo que
que 2 * -5 y y a la postre pues esto es
igual a a -10 y y y y y mira mira qué
pasa Qué pasa con esta otra propiedad
Pues si ya es igual a 2 tendríamos que
-2 es igual a -1 * 2 o o expresado de
esta forma
y si vamos a esta otra propiedad
podríamos escribir
-2 *
-5 mejor puntería Juan -2 * -5 esto
igual a 2 por 5 Es
decir 10 venga borro y a por otra
propiedad la número
11 la propiedad de las fracciones
equivalentes si tenemos que esta
fracción es igual a esta otra en donde
cuidado
eh B distinto de 0 y d distinto de o
bueno pues esto se puede escribir
también
así por ejemplo con un caso de
álgebra 75 igual a
X3 esto que hay aquí es equivalente a
esto otro 7 veces 3 = 5 veces x lo mismo
lo mismo lo mismo
eh más cosas más cosas más
cosas la regla de los
signos Qué pasa cuando tenemos una
fracción
negativa Pues que es posible escribirla
de varias formas podemos escribirla así
así y y por
supuesto también así Qué belleza que que
nos dan eh 1 quinto y y esta fracción es
negativa pues qué más da qué más da
escribirla Así que que
así que así todas las formas son
correctas
vamos a por otra
cosa adición o sustracción con
fracciones que tienen el mismo
denominador eh Qué pasa si tenemos esto
Qué pasa si tenemos
esto pues esto es igual a esto
otro y Qué pasa si tenemos
esto Pues que esto es lo mismo que esto
otro
claro
b b tiene que ser diferente de cer B
distinto de cer por ejemplo por
ejemplo 7/5 +
1/5 pues Pues mira míralo míralo 7 + 1
aquí y esto es igual a 85 85 que tenemos
un signo menos 3 Med men men 5 medios
Mira voy a poner Voy a poner otra cosa
voy a
poner
dos pues tendríamos 3 - 2 y aquí un 2 es
decir
1/2 qué
pasa para la multiplicación Pues venga
otra propiedad más para la
multiplicación y después otra propiedad
más para la división espera que voy
borrando eh propiedad
14 sí había dicho multiplicación sí
tenemos dos fracciones que se están
multiplicando Bueno pues esto es igual a
a esto que estáis
viendo en
donde B no puede ser cero y y y d
Tampoco tampoco puede ser cero un
ejemplo 1/2 por
35 Esto es lo mismo que 1 * 3 2 *
5 3 décimos ahí está mi
ejemplo vamos a por la propiedad de la
división entre
fracciones esta fracción esta
fracción
dividido entre entre esta otra fracción
a ver el el signo el signo de dividir lo
puedo poner de muchas formas
Eh Esto es tan correcto como como como
esto Esto es tan correcto como
esto incluso yo ahora voy a utilizar
otra
forma esta Mira mira mira mira
mira ello es igual
a
a d a * d Divo ent b * c En dónde
nuevamente pues pues B no puede ser cer0
d no puede ser cer c Tampoco puede ser
cer0 está claro Ah sí podría ser cer0
Aquí vamos a ver un ejemplo vamos a ver
un ejemplo queremos
dividir
1/3 entre veis ahora utilizo otra
notación completamente completamente
correcta 1/3 divido entre
7/5 Esto es lo mismo que 1/3 divido
entre 75 Y esto es lo mismo que 1/5
dividido
entre
3 SIM y y ya remato eh Ya remato 5 21
avos toma toma
toma la última La Última
propiedad somos ya casi expertos en
números en números
reales en las propiedades de los números
reales la división de
cero si yo divido el cero entre otro
número real cualquiera Esto va a ser
igual a a
a Pues a cero a cero en donde en donde a
en donde a obviamente es diferente de
cer la división de cer y y la división
por cer la división por cer Mira
e un número dividido entre
C podría haber escrito aquí b o c
escribo un número dividido entre
0 pues a quién es igual
esto Esto no está
definido no
está
definido o dicho de otra manera
indefinido
indefinido y otro caso más Qué pasa si
dividimos
0 entre
0 Qué pasa 0 dividido por 0
esto no está
definido no
está
definido bueno muchachos pues Estas
son las propiedades de los números
de las que de las que os quería hablar
qué os parece esto qué os parece
esto comentarios debajo del vídeo en la
zona de comentarios eh venga estoy
esperando
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