Producto vectorial bajo la luz de las transformaciones lineales | Álgebra lineal, capítulo 8b
Summary
TLDREl guion del video ofrece una explicación detallada sobre cómo calcular el producto vectorial tridimensional entre dos vectores, utilizando una matriz peculiar y su determinante. Se discuten las propiedades geométricas del resultado, como la longitud del vector resultante, que es igual al área del paralelogramo definido por los vectores originales, y su dirección perpendicular a ambos. Además, se introduce el concepto de dualidad en transformaciones lineales y cómo relacionar cálculos numéricos con la geometría del producto vectorial. El video concluye con una conexión entre la interpretación geométrica y el cálculo computacional del producto vectorial, preparando al espectador para entender el cambio de base en álgebra lineal en el próximo episodio.
Takeaways
- 📚 El script comienza explicando cómo calcular el producto vectorial tridimensional entre dos vectores.
- 🧠 Se menciona que el producto vectorial involucra una matriz con las coordenadas de los vectores y símbolos como números por conveniencia en los cálculos.
- 📏 La longitud del vector resultante del producto vectorial es igual al área del paralelogramo definido por los vectores b y w.
- ⏲️ El vector resultante apunta en una dirección perpendicular a ambos vectores b y w, siguiendo la regla de la mano derecha.
- 🔍 Se sugiere que, aunque se pueden hacer cálculos de fuerza bruta, el script propone una línea de razonamiento elegante que utiliza conocimientos previos.
- 📘 Se asume que el espectador ha visto capítulos anteriores sobre determinantes y la idea de dualidad en matemáticas.
- 🔄 La dualidad implica que cada transformación lineal a la recta numérica está asociada con un vector único, el vector dual.
- 📊 El producto vectorial es un ejemplo de la acción del vector dual, donde se compara con el producto escalar entre un vector y el vector dual.
- 📐 Se define una transformación lineal de tres dimensiones hacia la recta numérica en términos de los vectores b y w.
- 🔢 Se establece que esta transformación lineal es describable como una multiplicación de matrices, lo que lleva a la idea de encontrar el vector p en 3D.
- 📈 El vector p se encuentra buscando las coordenadas que, al multiplicarse con un vector x, den el mismo resultado que el determinante de una matriz formada por x, b y w.
- 📖 Se conecta la interpretación geométrica del producto vectorial con el cálculo numérico, mostrando que el vector dual es perpendicular a b y w y tiene una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores.
- 🔑 Se resume que el vector dual encontrado computacionalmente debe corresponderse geométricamente con el vector p, integrando así los conceptos de productos escalares y vectoriales.
Q & A
¿Qué es el producto vectorial tridimensional y cómo se calcula?
-El producto vectorial tridimensional es una operación matemática que toma dos vectores en el espacio tridimensional y produce un tercer vector perpendicular a ambos. Se calcula utilizando una matriz con las coordenadas de los vectores en las segunda y tercera columnas, y los símbolos de los ejes (i, j, k) en la primera columna, y luego se calcula el determinante de esta matriz.
¿Cuál es la longitud del vector resultante del producto vectorial y qué representa?
-La longitud del vector resultante del producto vectorial es igual al área del paralelogramo definido por los dos vectores originales, b y w.
¿Cómo se interpreta la dirección del vector resultante del producto vectorial?
-La dirección del vector resultante apunta en una dirección perpendicular a ambos vectores b y w, y obedece a la regla de la mano derecha, lo que significa que si los dedos índice y medio apuntan en las direcciones de b y w, respectivamente, el pulgar apuntará en la dirección del nuevo vector.
¿Qué es la dualidad en el contexto de las transformaciones lineales y cómo está relacionada con el producto vectorial?
-La dualidad en el contexto de las transformaciones lineales se refiere a la idea de que cada transformación lineal de un espacio a la recta numérica está asociada con un vector único, llamado vector dual, que se utiliza para realizar el producto escalar y obtener el mismo resultado que la transformación lineal.
¿Cómo se define la función lineal en el script para entender mejor el producto vectorial?
-Se define una función lineal que toma un vector de tres dimensiones y lo transforma en un número, utilizando como base los vectores b y w fijos, y proyectando el vector de entrada en una línea perpendicular a b y w, multiplicando luego la longitud de esta proyección por el área del paralelogramo generado por b y w.
¿Por qué es importante entender que la función definida en el script es lineal?
-Es importante entender que la función es lineal porque esto nos permite traer la idea de la dualidad, lo que significa que podemos describir la función como la multiplicación de matrices y relacionarla con el producto escalar con un vector en el espacio 3D.
¿Cómo se relaciona el vector dual encontrado computacionalmente con el vector dual geométrico?
-El vector dual computacionalmente se encuentra al resolver el determinante de una matriz especial, mientras que el vector dual geométrico se deduce al entender que debe ser perpendicular a b y w con una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores. Ambos enfoques deben dar el mismo vector dual para la misma transformación.
¿Cómo se interpreta geométricamente el vector dual en relación con el producto escalar y el volumen de un paralelepípedo?
-Geométricamente, el vector dual se interpreta como un vector perpendicular a b y w, con una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores. El producto escalar entre el vector dual y cualquier otro vector x es equivalente a calcular el volumen de un paralelepípedo definido por x junto con b y w.
¿Qué es el cambio de base en el álgebra lineal y cómo se menciona en el script?
-El cambio de base en el álgebra lineal es el proceso de expresar los vectores en un espacio en términos de una base diferente. En el script, se menciona como un concepto importante para el siguiente vídeo, sin embargo, no se detalla su relación directa con el contenido del script actual.
¿Cómo se relaciona el producto vectorial con el concepto de volumen de un paralelepípedo?
-El producto vectorial se relaciona con el volumen de un paralelepípedo en el sentido de que el vector resultante del producto vectorial tiene una longitud igual al área del paralelogramo definido por los dos vectores originales, y su dirección es perpendicular a este plano, lo que se relaciona con el volumen del paralelepípedo que se forma.
Outlines
📚 Introducción al producto vectorial y dualidad
El primer párrafo introduce el concepto de producto vectorial tridimensional, explicando cómo calcularlo utilizando una matriz con las coordenadas de los vectores b y w, y los símbolos i, j y k en la primera columna. Destaca la importancia del determinante de esta matriz para obtener las coordenadas del vector resultante, y cómo las propiedades geométricas del producto vectorial están relacionadas con el área del paralelogramo y la dirección perpendicular a ambos vectores. Además, se menciona la idea de dualidad en el contexto de transformaciones lineales y su asociación con vectores duales.
🔍 Desarrollo del producto vectorial como función lineal
El segundo párrafo profundiza en el entendimiento del producto vectorial como una función lineal que mapea de tres dimensiones a una dimensión. Se describe cómo esta función se calcula utilizando el determinante de una matriz con una columna variable x y dos columnas constantes b y w. Geométricamente, esta función representa el volumen del paralelepípedo definido por el vector de entrada junto con b y w, con un signo que indica la orientación. Se discute la importancia de la linearidad de la función y cómo la dualidad permite describir la transformación como un producto escalar con un vector dual, buscando el vector p que cumpla con esta propiedad.
🌐 Uniendo la interpretación geométrica y computacional del producto vectorial
El tercer párrafo establece un puente entre la interpretación geométrica y computacional del producto vectorial. Se argumenta que el vector dual p, encontrado computacionalmente, debe ser perpendicular a b y w y tener una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores. Se muestra cómo el producto escalar entre p y cualquier vector x es equivalente al volumen del paralelepípedo definido por x junto con b y w. Finalmente, se resume cómo el enfoque computacional y geométrico converge en el vector dual p, proporcionando una comprensión completa del producto vectorial y su relación con el álgebra lineal, dejando como anticipo el tema del cambio de base para el próximo vídeo.
Mindmap
Keywords
💡Producto Vectorial
💡Matriz
💡Determinante
💡Área del Paralelogramo
💡Transformación Lineal
💡Dualidad
💡Producto Escalar
💡Volumen del Paralelepípedo
💡Regla de la Mano Derecha
💡Cambio de Base
Highlights
Explicación de cómo calcular el producto vectorial tridimensional utilizando una matriz con símbolos y, j y k en la primera columna.
El determinante de la matriz nos da las coordenadas del vector resultante, que es perpendicular a los vectores b y w.
La longitud del vector resultante es igual al área del paralelogramo definido por b y w.
La dirección del vector resultante obedece a la regla de la mano derecha.
Introducción a la idea de dualidad en transformaciones lineales y su asociación con vectores únicos.
La representación de una transformación lineal por una matriz de una sola fila y su relación con el producto escalar.
El vector dual de una transformación es el resultado de aplicar la transformación lineal o tomar el producto escalar con ese vector.
La conexión entre el cálculo numérico del producto vectorial y su interpretación geométrica.
Definición de una transformación lineal de tres dimensiones hacia la recta numérica en términos de los vectores b y w.
La importancia de la linearidad de la función para entender la dualidad y la multiplicación de matrices.
Búsqueda del vector especial en 3D, llamado p, que cumple con la propiedad de ser el vector dual de la transformación lineal.
La interpretación computacional del producto escalar entre p y un vector x es similar a calcular el determinante de una matriz.
La interpretación geométrica del volumen del paralelepípedo y su relación con el producto escalar.
La proyección del vector en una línea perpendicular a b y w y su relación con el área del paralelogramo.
La elección del vector p que es perpendicular a b y w y tiene una longitud igual al área del paralelogramo.
La demostración de que el vector p encontrado computacionalmente es el mismo que el encontrado geométricamente.
La conexión entre los productos escalares y vectoriales y su importancia en el álgebra lineal.
Anuncio del próximo vídeo sobre el cambio de base en álgebra lineal.
Transcripts
[Música]
ah
ah
hola amigos donde nos quedamos el vídeo
anterior estaba hablando de cómo
calcular un producto vectorial
tridimensional entre dos vectores de
cruz w me refiero a esta simpática cosa
donde se escribe una matriz cuya segunda
columna tiene las coordenadas de b cuya
tercera columna tiene las coordenadas de
w pero las entradas de la primera
columna extrañamente son los símbolos y
j y k sombrerito y pretendes que estos
últimos son simplemente números por el
bien de los cálculos luego teniendo esa
peculiar matriz calcula su determinante
si sólo te pones a realizar esos
cálculos haciendo caso omiso de la
rareza de los mismos obtienes alguna
constante multiplicada por y sombrerito
más alguna constante multiplicada por
jota sombrerito más alguna constante
multiplicada por k sombrerito
y la manera específica en la que piensas
en el cálculo de este determinante está
en cierto modo más allá del punto todo
lo que importa aquí es que vas a
terminar con tres números diferentes que
se interpretan como las coordenadas de
algún vector resultante desde aquí
normalmente se le dice a los estudiantes
que el vector resultante tiene las
siguientes propiedades geométricas su
longitud es igual al área del
paralelogramo definido por b y w apunta
en una dirección perpendicular a ambos
b&w y esta dirección obedece a la regla
de la mano derecha en el sentido de que
si apuntas tu dedo índice a lo largo
debe y el dedo medio a lo largo de w
entonces se cumple que el pulgar
colocado hacia arriba va a apuntar en la
dirección del nuevo vector
hay algunos cálculos de fuerza bruta que
se podrían hacer para confirmar estos
hechos pero quiero compartir con ustedes
una línea elegante de razonamiento la
cual aprovecha un poco de los
conocimientos previos así que para este
vídeo estoy asumiendo que todo el mundo
ha visto el capítulo 5 del determinante
y el capítulo 7 donde presenté la idea
de dualidad
como recordatorio la idea de la dualidad
es que cada vez que tengas una
transformación lineal de un cierto
espacio a la recta numérica ésta está
asociada con un vector único en ese
espacio en el sentido de que aplicar la
transformación lineal es lo mismo que
tomar un producto escalar con ese vector
numéricamente esto se debe a que una de
esas transformaciones es representada
por una matriz con una sola fila donde
cada columna indica el número en el que
va a parar cada vector de la base
y multiplicar esta matriz por algún
vector b es computacionalmente idéntico
a tomar el producto escalar entre b y el
vector que se obtiene girando esa matriz
la conclusión es que cada vez que estés
en el mundo de las matemáticas y
encuentres una transformación lineal a
la recta numérica serás capaz de hacerla
coincidir con algún vector que se llama
el vector dual de esa transformación de
modo que al realizar la transformación
lineal obtienes lo mismo que al tomar un
producto de escalar con ese vector
el producto vectorial nos da un ejemplo
muy eficiente de este proceso en acción
se necesita un poco de esfuerzo pero
definitivamente vale la pena lo que voy
a hacer es definir una cierta
transformación lineal partiendo de tres
dimensiones hacia la recta numérica la
definiré en términos de los dos vectores
b&w posteriormente cuando asociamos esa
transformación con su vector dual en el
espacio 3 de ese vector dual va a hacer
el producto vectorial dv y w la razón
para hacer esto es porque al entender la
transformación quedará clara la conexión
entre los cálculos numéricos y la
geometría del producto vectorial
retrocedamos un poco recuerdas en dos
dimensiones lo que significaba calcular
la versión 2d del producto vectorial
cuando tienes dos vectores b&w colocas
las coordenadas de b como la primera
columna de la matriz y las coordenadas
de w como la segunda columna de la
matriz y luego calculas el determinante
no hay nada descabellado al hablar de
vectores de la base atrapados en una
matriz solo un determinante ordinario
que arroja un número
geométricamente esto nos da el área de
un paralelogramo generado por esos dos
vectores con la posibilidad de ser
negativa dependiendo de la orientación
de los vectores
ahora si no conocieras el producto
victorial 3d y tratarás de extrapolar
podrías imaginar que consiste en tomar
tres vectores tridimensionales separados
v y w luego harías de sus coordenadas
las columnas de una matriz 3 x 3
y finalmente calcular y es el
determinante de esa matriz
y como sabes desde el capítulo 5
geométricamente esto nos dará el volumen
de un paralelepípedo comprendido por
esos tres vectores con el signo más o
menos dependiendo de la orientación
según la regla de la mano derecha de
esos tres vectores
por supuesto todos ustedes saben que
esto no es el producto vectorial 3d el
verdadero producto vectorial en 3-d toma
dos vectores y arroja un vector no toma
tres vectores y arroja un número pero
esta idea en realidad nos pone muy cerca
de lo que el producto vectorial es en
realidad considera que el primer vector
o sea una variable con digamos tres
argumentos variables x jay-z mientras
que b y w permanecen fijos
lo que tenemos entonces es una función
que va de tres dimensiones a la recta
numérica tú pones como argumento algún
vector x iceta y obtienes un número
tomando el determinante de la matriz
cuya primera columna es x ez y cuyas
otras dos columnas son las coordenadas
de los vectores constantes b&w
geométricamente el significado de esta
función es que para cualquier vector de
entrada x z se toma en cuenta el
paralelepípedo definido por este vector
b&w a continuación te arrojará su
volumen con el signo más o menos
dependiendo de la orientación
ahora esto puede sentirse como si
hiciéramos algo aleatorio es decir de
dónde viene esta función porque la
estamos definiendo de esta manera y voy
a admitir que en esta etapa tuve la
sensación como si viniera de la nada
pero si estás dispuesto a ir junto con
ella y jugar con las propiedades que
tiene te resultará clave para entender
el producto vectorial
un hecho muy importante acerca de esta
función es que es lineal de hecho voy a
dejar de trabajar con los detalles de
porque esto es verdad basada en las
propiedades del determinante pero una
vez que se sabe que es lineal podemos
comenzar a traer la idea de la dualidad
una vez que sepas que es lineal sabrás
que hay alguna manera de describir esta
función como la multiplicación de
matrices específicamente ya que es una
función que va de tres dimensiones a una
dimensión habrá una matriz de uno por
tres que codifica esta transformación
y la idea de la dualidad es que lo
especial sobre las transformaciones de
varias dimensiones a una dimensión es
que puede girar esa matriz de lado y en
cambio interpretar toda la
transformación como el producto escalar
con un vector determinado
lo que estamos buscando es el vector
especial en 3-d al que voy a llamar p
tal que si tomas el producto escalar
entre p y cualquier otro vector x ez da
el mismo resultado que si pones x jay-z
como la primera columna de una matriz 3
por 3 cuyas otras dos columnas tienen
las coordenadas de v y w y luego
calculas el determinante hablaré de la
geometría de esto en un momento pero
primero vamos a profundizar y pensar en
lo que esto significa computacionalmente
tomar el producto escalar entre p y x y
z nos dará algo x x + algo x + algo x z
donde esos algo son las coordenadas de p
pero del lado derecho cuando se calcula
el determinante puedes organizar que se
vea como una constante multiplicada por
x más una constante multiplicada por ye
más una constante multiplicada por z
donde esas constantes implican ciertas
combinaciones de los componentes de v y
w por lo tanto estas constantes esas
combinaciones particulares de las
coordenadas de wv van a ser las
coordenadas del vector p
buscando pero lo que está pasando aquí a
la derecha debe parecer muy familiar
para cualquiera que efectivamente haya
trabajado en el cálculo del producto
vectorial
y reunir los términos constantes que se
multiplican por equis jay-z de esta
manera no es diferente de poner los
símbolos y sombrerito jota sombrerito y
ka sombrerito en la primera columna y
ver qué coeficientes se juntan en cada
uno de estos términos
es solo que poner y sombrerito jota
sombrerito y ka sombrerito es una manera
de señalar que debemos interpretar esos
coeficientes como las coordenadas de un
vector
por lo tanto lo que todo esto nos dice
es que este cálculo peculiar puede ser
pensado como una manera de responder a
la siguiente pregunta que vector p tiene
la propiedad especial de que cuando se
toma un producto escalar entre p y algún
vector x ez da el mismo resultado que
poner x iceta en la primera columna de
la matriz cuyas otras dos columnas
tienen las coordenadas de wv y luego
calcular el determinante esto fueron
muchas palabras pero es una cuestión
importante para digerir en este vídeo
ahora viene la parte buena que une todo
esto con el entendimiento geométrico del
producto vectorial que introduje en el
último vídeo
voy a hacer la misma pregunta pero esta
vez vamos a tratar de responder
geométricamente en lugar de
computacionalmente
quebec torpe en 3-d tiene la propiedad
especial de que cuando se toma un
producto escalar entre p y algún otro
vector x ez da el mismo resultado que si
se toma el volumen de un paralelepípedo
definido por ese vector xz junto con b w
recuerda que la interpretación
geométrica de un producto escalar entre
un vector p y algún otro vector es
proyectar ese otro vector en p y luego
multiplicar la longitud de esa
proyección por la longitud de p
con esto en mente permíteme mostrar una
cierta manera de pensar en el volumen
del paralelepípedo que nos va a importar
empieza por tomar el área del
paralelogramo definido por b&w y
multiplica no por la longitud de x y z
sino por el componente de x 10 eta que
es perpendicular al paralelogramo
en otras palabras la forma en que
nuestra función lineal va a funcionar en
un vector dado es proyectando ese vector
en una línea que es perpendicular a bay
w luego multiplicando la longitud de esa
proyección por el área del paralelogramo
generado por b y w
pero esto es lo mismo que calcular un
producto escalar entre x y z y un vector
que sea perpendicular a b y w con una
longitud igual al área del paralelogramo
pero aún hay más si se elige la
dirección apropiada para ese vector los
casos en los que el producto escalar es
negativo se alinearán con los casos en
que la regla de la mano derecha sea
negativa para la orientación de x de
zeta ivey w
esto significa que acabamos de encontrar
un vector p tal que si tomamos el
producto escalar entre p y algún vector
x ya z es lo mismo que si calculamos el
determinante de una matriz 3 por 3 cuyas
columnas son x dz y las coordenadas the
b&w por lo tanto la respuesta que hemos
encontrado antes computacionalmente
usando el truco de una anotación
especial se debe corresponder
geométricamente a este vector esta es la
razón fundamental por la cual el cálculo
y la interpretación geométrica del
producto vectorial están relacionados
solo para resumir lo que pasó aquí
empecé por definir una transformación
lineal del espacio 3d a la recta
numérica y lo hice en términos de los
vectores b&w luego me fui por dos
caminos separados para pensar en el
vector dual de esta transformación el
vector tal que si aplicas la
transformación es lo mismo que tomar el
producto escalar con ese vector por un
lado un enfoque computacional te llevará
al truco de poner los símbolos hijo teca
sombrerito en la primera columna de la
matriz y calcular el determinante
pero pensando geométricamente podemos
deducir que este vector dual debe ser
perpendicular a b y w con una longitud
igual al área del paralelogramo generado
por estos dos vectores
dado que estos dos enfoques nos dan un
vector dual para la misma transformación
deben ser el mismo vector
esto comprende los productos escalares y
vectoriales y el próximo vídeo será
sobre un concepto muy importante para el
álgebra lineal el cambio de base
[Música]
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