10. The Four Fundamental Subspaces

Summary

この講義では線形代数の4つの基本的な子空間：列空間、零空間、行空間、およびA転置の零空間について学びます。講師は、以前の講義の誤りを訂正し、これらの空間がどのように関連しているかを解説します。また、これらの空間の基底と次元を理解し、それらを特定する方法を説明します。さらに、3x3の行列空間を新しいベクトル空間として紹介し、その部分空間として上三角行列、対称行列、およびそれらの交わりの対角線行列を探求します。

Takeaways

• 😀線形代数の講義では、前回の誤りを訂正し、行列の4つの基本的な副空間について説明することが重要である。
• 📚前回の講義で、R^3空間に対する標準基底の説明と、別の基底を用いて線形独立性や空間の全域を覆うことを説明したが、誤った例を挙げていた。
• 🔍誤りとして指摘されたのは、特定の3つのベクトルを基底として使用する例で、そのうちの1つのベクトルが他の2つの和で表されるため、線形独立でないこと。
• 📉行列の行空間と列空間は、それぞれ別の基底を持ち、行列の可逆性や次数に応じて異なる次元を持つことが示された。
• 🌐行列の行空間と列空間は、同じ次数を持つことが示され、これは線形代数の重要な事実として強調された。
• 📝行列の行空間と列空間の基底を特定する方法として、ピボット列やピボット行を用いた説明が行われ、これらはそれぞれ空間の次元を表す。
• 🧩行列の零空間と、A転置の零空間（左零空間）についても解説され、これらは異なる次元を持つことが示された。
• 🔑零空間の基底は、自由変数に基づいて特定の解から得られるとされ、これにより零空間の次元がn-r（ピボット変数と自由変数の差）であることが示された。
• 🔍左零空間の基底は、Gauss-Jordanの手続きを通じて特定の行列Eを使用して求められることが示された。
• 🌟線形代数の理解を深めるために、3次元空間の副空間だけでなく、3次3次の行列空間全体を新しいベクトル空間として扱う方法が提案された。
• 📊3次3次の行列空間における、上三角行列、対称行列、および対角行列の副空間について説明され、これらは異なる次元を持つことが示された。

Q & A

線形代数の講義で、何が誤りとして指摘されましたか？

講義で指摘された誤りは、3つのベクトルを基礎として使用する際の線形独立性の誤った理解でした。特に、3番目のベクトル（3,3,8）が、前のもの（1,1,2）と（2,2,5）の線形結合で表されるため、独立ではないという点です。

線形代数における4つの基本的な子空間とは何ですか？

線形代数における4つの基本的な子空間は、挿入空間（Column Space）、零空間（Null Space）、行空間（Row Space）、およびA転置の零空間（Null Space of A Transpose）です。

行空間とは何を表すものですか？

行空間は、与えられた行列のすべての行の線形結合によって形成される空間です。行空間は、行列の独立した行の組み合わせから成るベクトルの集合です。

零空間の次元はどのように求められますか？

零空間の次元は、自由変数の数（ピボット変数以外の変数）によって決まります。具体的には、n-r（ピボット変数がr個ある場合、nは変数の総数）です。

線形代数における「ランク」とは何を意味していますか？

線形代数において、「ランク」は、行列の独立した行または列の最大数を表します。これは、列空間や行空間の次元を決定する重要なパラメータです。

A転置の零空間を左零空間と呼ぶ理由は何ですか？

A転置の零空間は、yA^T=0という形の方程式の解として定義されます。ここでyは行ベクトルであり、左側に位置するため「左零空間」と呼ばれます。

Gauss-Jordanの方法で求めたE行列とは何ですか？

Gauss-Jordanの方法では、AからR（簡約行標準形）への変換に使用される操作を記録したE行列を求めます。Eは、AをRに変換する過程で適用される、一連の初等行演算を表します。

3次元空間におけるベクトルの標準基底とその重要性は何ですか？

3次元空間における標準基底は、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)という3つの単位ベクトルであり、これらのベクトルは空間内の任意の点を表す線形結合で構成できます。標準基底の重要性は、他の基底との比較や空間の理解に役立つ点にあります。

3つの3×3行列の空間における次元はいくつかと言えますか？

3つの3×3行列の空間は、実際には9次元の空間です。これは、3×3行列は9つの独立した要素を持つため、9つの独立した変数を持つ空間と見なすことができます。

対称行列と上三角行列の交差部分はどのような行列を表すか？

対称行列と上三角行列の交差部分は、対角行列を表します。対称行列は左側と右側の要素が同じであるため、上三角行列の条件を満たす場合、それらの要素はすべて対角線上にある必要があります。

線形代数におけるベクトル空間の例として、3×3行列空間が考慮される理由は何ですか？

3×3行列空間は、線形代数の概念を応用する一例として考慮されます。これは、行列同士の加算やスカラー倍が可能です（ただし、行列の積は現在は無視されています）ので、ベクトル空間の定義に適合するためです。