🤔 Cómo determinar si una SERIE es CONVERGENTE o DIVERGENTE | Juliana la Profe

Juliana la profe
14 Feb 201707:43

Summary

TLDREn este video se explica cómo determinar si una serie es convergente o divergente utilizando el criterio de Alamber, también conocido como el criterio del cociente. El procedimiento consiste en calcular el límite de la razón entre el término n+1 y el término n de la serie. Si el límite es menor que 1, la serie converge; si es mayor que 1, diverge; y si es igual a 1, el criterio no es concluyente. A través de un ejemplo, se demuestra cómo aplicar este criterio para determinar que una serie es convergente y encontrar su valor límite.

Takeaways

  • 😀 El criterio de Alámber, también conocido como criterio del cociente o criterio de la razón, se utiliza para determinar si una serie es convergente o divergente.
  • 😀 El test se aplica calculando el límite del cociente entre el término enésimo + 1 y el término enésimo de la serie.
  • 😀 Si el límite es menor que 1, la serie es convergente.
  • 😀 Si el límite es mayor que 1, la serie es divergente.
  • 😀 Si el límite es igual a 1, el criterio no es concluyente y se debe usar otro criterio para determinar la convergencia.
  • 😀 El término enésimo de la serie en este caso es n³ / 2ⁿ, y el término enésimo + 1 es (n + 1)³ / 2^(n + 1).
  • 😀 Se simplifican las expresiones multiplicando y dividiendo las bases, como 2ⁿ * 2 = 2^(n + 1), para obtener una forma más fácil de trabajar.
  • 😀 Al aplicar el criterio de Alámber, es útil dividir cada término por el término de mayor exponente, en este caso n³, para simplificar la expresión.
  • 😀 Después de simplificar, se evalúa el límite reemplazando n por infinito, y se analizan los términos que tienden a cero.
  • 😀 En este ejemplo, el límite es igual a 1/2, que es menor que 1, lo que significa que la serie es convergente.
  • 😀 Este tipo de análisis es esencial para comprender cómo comporta una serie en términos de su convergencia o divergencia en matemáticas.

Q & A

  • ¿Qué es el criterio de Alambra o criterio del cociente?

    -El criterio de Alambra, también conocido como criterio del cociente o criterio de la razón, es una herramienta utilizada para determinar si una serie infinita converge o diverge. Se basa en calcular el límite del cociente entre el término enésimo + 1 y el término enésimo de la serie.

  • ¿Cómo se interpreta el resultado del límite según el criterio de Alambra?

    -Según el criterio de Alambra, si el límite es menor que 1, la serie converge. Si el límite es mayor que 1, la serie diverge. Si el límite es igual a 1, el criterio no es concluyente y es necesario utilizar otro método para determinar el comportamiento de la serie.

  • ¿Qué se debe hacer primero antes de aplicar el criterio de Alambra?

    -Antes de aplicar el criterio de Alambra, es necesario identificar el término enésimo (a_n) y el término enésimo + 1 (a_(n+1)) de la serie.

  • ¿Cómo se define el término enésimo de la serie en el ejemplo del video?

    -En el ejemplo del video, el término enésimo se define como n³ / 2^n, donde 'n' es el índice de la sumatoria.

  • ¿Cuál es la forma del término enésimo + 1 en el ejemplo?

    -El término enésimo + 1 se define como (n+1)³ / 2^(n+1), donde el índice 'n' se incrementa en 1.

  • ¿Cómo se calcula el límite cuando n tiende a infinito en este caso?

    -Para calcular el límite, se establece el cociente entre el término enésimo + 1 y el término enésimo. Luego, se simplifican las expresiones y se evalúa el límite cuando 'n' tiende a infinito.

  • ¿Cómo se simplifica la expresión del límite en el video?

    -Se simplifica cancelando los términos comunes, como 2^n en el numerador y denominador. También se usa la propiedad de los exponentes para representar 2^(n+1) como 2^n * 2.

  • ¿Por qué se divide cada término por n³ en el proceso de cálculo del límite?

    -Se divide cada término por n³ para simplificar la expresión y hacer que el límite sea más fácil de evaluar, permitiendo que los términos con menores exponentes tiendan a cero cuando n tiende a infinito.

  • ¿Qué sucede cuando evaluamos el límite sustituyendo n por infinito?

    -Al evaluar el límite sustituyendo n por infinito, los términos que contienen 'n' en el denominador tienden a cero, dejando solo el valor constante, que en este caso es 1/2.

  • ¿Qué conclusión se puede extraer sobre la serie basada en el valor del límite?

    -La conclusión es que la serie es convergente, ya que el valor del límite es 1/2, que es menor que 1. Esto indica que la serie converge según el criterio de Alambra.

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