09 Sistemas lineales y señales
Summary
TLDREl script del video ofrece una introducción a los sistemas lineales y señales, destacando cómo las señales son procesadas por sistemas electrónicos. Se describe la función de transferencia como la relación entre la salida y la entrada de un sistema. Se discuten las propiedades de los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), como la superposición y la invarianza temporal, y se define la respuesta al impulso y su importancia en el análisis de sistemas. El video también explora conceptos como la estabilidad, la causalidad y la representación de señales periódicas, mostrando cómo la función de transferencia afecta tanto la amplitud como la fase de las señales. Finalmente, se mencionan las simetrías en la función de respuesta en frecuencia y sus implicaciones en el tratamiento de señales.
Takeaways
- 🔍 Los sistemas electrónicos se caracterizan por su función de transferencia, que relaciona la salida con la entrada.
- 📶 Un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) cumple con la propiedad de superposición, lo que significa que la salida de una combinación lineal de señales es la suma de las salidas individuales.
- ⏲ La invarianza en el tiempo también implica que si la entrada se retrasa, la salida se retrasa de la misma manera, manteniendo la forma de la señal.
- 👉 La respuesta al impulso (htc) es una herramienta fundamental para el análisis de sistemas LTI, y es la respuesta del sistema a un impulso unitario.
- 🌟 La integral de superposición permite obtener la respuesta del sistema a una entrada arbitraria a partir de la respuesta al impulso.
- 🔧 La estabilidad del sistema se define por la condición de que la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso es finita.
- 🈶 La causalidad es un principio importante en sistemas físicos, donde la salida no puede anticiparse a la entrada.
- 🔄 La función de transferencia en el dominio de la frecuencia (Hdf) es una representación alternativa del sistema que permite realizar multiplicaciones en lugar de convoluciones.
- 🔄 La simetría de la función de transferencia en frecuencia muestra que la amplitud es una función par y la fase es una función impar de la frecuencia.
- 🔄 La respuesta a señales periódicas revela cómo el sistema afecta tanto en amplitud como en fase a cada componente espectral de la entrada.
Q & A
¿Qué es un sistema lineal y cómo se relaciona con la función de transferencia?
-Un sistema lineal es un sistema que mantiene la superposición y es invariante en el tiempo. Se caracteriza por la relación entre su salida y entrada, que se llama función de transferencia, que es una medida de cómo el sistema procesa la señal de entrada.
Explique la propiedad de superposición en sistemas lineales.
-La propiedad de superposición en sistemas lineales significa que si dos señales producen dos salidas, la suma de estas señales produce la suma de las salidas correspondientes. Esto se denota como h(αx1 + βx2) = αh(x1) + βh(x2), donde α y β son constantes.
¿Qué es un sistema invariante en el tiempo y cómo se relaciona con la retención de la señal?
-Un sistema invariante en el tiempo (TI) es aquel en el cual la respuesta a una señal con retraso en la entrada resulta en una salida con el mismo retraso. Esto implica que si la entrada es x(t-τ), la salida será h(t-τ) siempre que el sistema sea TI.
¿Qué es la respuesta al impulso y cómo se define en un sistema lineal invariante en el tiempo?
-La respuesta al impulso (ht) es la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo cuando se le aplica un impulso unitario en el tiempo cero. Es una medida de cómo el sistema responde a una excitación impulsiva.
Explique el concepto de integral de superposición y su importancia en señales y sistemas.
-La integral de superposición es una técnica que permite calcular la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo a una entrada arbitraria. Se basa en la idea de que cualquier señal puede ser representada como una suma de impulsos y se utiliza la respuesta al impulso para calcular la salida.
¿Qué es la estabilidad en el contexto de sistemas lineales y cómo se relaciona con la respuesta al impulso?
-Un sistema lineal es estable si, para cualquier entrada acotada, la salida también es acotada. Esto se relaciona con la respuesta al impulso, ya que un sistema es estable si la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso es finita.
Explique la causalidad en sistemas y su importancia.
-La causalidad en sistemas se refiere a que la salida no puede anticiparse a la entrada. Es decir, la respuesta del sistema a un impulso no puede existir antes del impulso mismo. Esto es crucial para garantizar que los sistemas sean físico y realistas.
¿Qué es la función de transferencia en frecuencia y cómo se relaciona con la respuesta al impulso?
-La función de transferencia en frecuencia (H(f)) es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso en el tiempo (h(t)). Muestra cómo el sistema afecta a la amplitud y la fase de cada componente de frecuencia en la señal de entrada.
Explique la simetría de la función de respuesta en frecuencia para sistemas causales e invariantes en el tiempo.
-Para sistemas causales e invariantes en el tiempo, la función de respuesta en frecuencia tiene simetría real, donde la magnitud es una función par y la fase es una función impar de la frecuencia.
¿Cómo se relaciona la respuesta de un sistema a una señal periódica con la función de transferencia?
-La respuesta de un sistema a una señal periódica se puede representar como una serie de componentes de Fourier. Cada componente espectral de la entrada es multiplicado por el valor de la función de transferencia correspondiente y se desplaza en fase según la función de desplazamiento de fase del sistema.
¿Qué implica la respuesta al estado estacionario de un sistema lineal fijo a una señal de entrada exponencial compleja?
-La respuesta al estado estacionario es una señal exponencial compleja de la misma frecuencia que la entrada, pero con una amplitud modificada por la función de transferencia y una fase desplazada según la función de fase del sistema.
Outlines
🔌 Introducción a Sistemas Lineales y Señales
El primer párrafo introduce el tema de los sistemas lineales y señales, enfocándose en cómo los sistemas electrónicos procesan señales. Se menciona que cualquier sistema, ya sea un filtro, circuito amplificador o modulador, está caracterizado por su función de transferencia, que relaciona la salida con la entrada. Se destaca que esta función esencial para entender cómo un sistema maneja una señal en particular. Además, se introduce la idea de que los sistemas lineales tienen propiedades específicas, como la superposición, que se explorarán a lo largo del video.
🕒 Propiedades de Sistemas Lineales e Invarianza en el Tiempo
En este párrafo, se profundiza en las propiedades de los sistemas lineales, especialmente la invarianza en el tiempo (LTI por sus siglas en inglés). Se describe el Teorema de Superposición, que establece cómo la salida de un sistema lineal responde a la combinación lineal de señales. También se discute cómo la invarianza en el tiempo afecta la respuesta del sistema a una señal retrasa en el tiempo, manteniendo el retardo constante. Se introducen las respuestas al impulso (htc) y la integral de superposición como herramientas fundamentales para analizar sistemas lineales.
📚 Concepto de Respuesta al Impulso y Integral de Superposición
El tercer párrafo se centra en el concepto de respuesta al impulso (htc), que es la reacción de un sistema a un estímulo muy breve. Se explica que para un sistema lineal invariante en el tiempo, la respuesta al impulso es la misma independientemente del momento en que se aplica el impulso. Además, se discute cómo la integral de superposición permite calcular la respuesta de un sistema a una entrada arbitraria a partir de la respuesta al impulso, utilizando la superposición de impulsos unitarios.
🔍 Estabilidad y Causalidad de Sistemas Lineales
Este párrafo explora dos conceptos clave: estabilidad y causalidad. Se define que un sistema es estable si, para entradas acotadas, las salidas también son acotadas. Se menciona que la estabilidad se puede verificar a través de la integral de la respuesta al impulso. La causalidad se describe como la condición de que la salida de un sistema no puede anticipar la entrada; es decir, la respuesta no puede ocurrir antes de la causa. Se utiliza un ejemplo de un sistema con una respuesta al impulso dada por una función para ilustrar estos conceptos.
🔄 Transformada de Fourier y Función de Transferencia
El quinto párrafo se enfoca en la Transformada de Fourier y su relación con la función de transferencia de un sistema. Se discute cómo la función de transferencia en el dominio de la frecuencia (H(f)) se obtiene a partir de la respuesta al impulso en el tiempo (h(t)) y cómo esta transformación permite analizar la respuesta de un sistema a señales periódicas. Además, se menciona la importancia de la causalidad en el dominio de la frecuencia y cómo la función de transferencia en frecuencia debe cumplir ciertas condiciones para que el sistema sea causal.
🌀 Simetría en las Frecuencias de la Función de Transferencia
Este párrafo explora la simetría en las frecuencias de la función de transferencia de un sistema lineal y tiempo-invariante. Se describe cómo la magnitud de la función de respuesta en frecuencia (H(f)) es una función par, mientras que la fase es una función impar. Esto significa que la respuesta del sistema a una señal en una frecuencia es simétrica con respecto a la frecuencia opuesta. Se discuten las implicaciones de esta simetría en el procesamiento de señales y cómo afecta tanto la amplitud como la fase de las señales.
🔗 Respuesta a Entradas Periódicas y Espectral
El último párrafo se centra en la respuesta de un sistema lineal a entradas periódicas. Se utiliza la integral de superposición para calcular la salida del sistema cuando se alimenta con una señal exponencial compleja. Se explica que la salida es una señal exponencial compleja de la misma frecuencia, pero con una amplitud modificada por la función de transferencia y una fase desplazada. Se discute cómo la función de transferencia afecta tanto en la amplitud como en la fase de cada componente espectral de la señal de entrada, y cómo esto puede resultar en una respuesta diferente para cada componente dependiendo de la frecuencia.
Mindmap
Keywords
💡Sistemas Lineales
💡Señales
💡Función de Transferencia
💡Superposición
💡Invariante en el Tiempo
💡Respuesta al Impulso
💡Integral de Superposición
💡Estabilidad del Sistema
💡Causalidad
💡Función de Transferencia en Frecuencia
Highlights
Sistemas lineales y señales: se discute cómo los sistemas tratan las señales, especialmente los sistemas lineales.
Función de transferencia: característica de cualquier sistema electrónico que relaciona la salida con la entrada.
Propiedades de los sistemas lineales: se mantiene la superposición, lo cual es un concepto clave en señal y sistema.
EITC (Invariante en el tiempo): un sistema lineal que mantiene su comportamiento a través del tiempo.
Respuesta al impulso (htc): se define como la respuesta de un sistema a un impulso unitario aplicado.
Integral de superposición: técnica para calcular la respuesta de un sistema a una entrada arbitraria.
Estabilidad del sistema: se establece que un sistema es estable si la integral del valor absoluto de la respuesta al impulso es finita.
Causalidad: un sistema causal no anticipa su entrada, es decir, no produce una respuesta antes de recibir la causa.
Transformada de Fourier: se utiliza para analizar señales y sistemas en el dominio de la frecuencia.
Función de transferencia en frecuencia (Hdf): representa al sistema en el dominio de la frecuencia y es crucial para el análisis de estabilidad y respuesta al impulso.
Simetría en la función de transferencia: la magnitud de la función de transferencia es una función par, mientras que la fase es una función impar.
Respuesta a entradas periódicas: se muestra cómo un sistema lineal responde a una señal de entrada periódica.
Componentes espectrales: cada componente de una señal periódica es afectada por el sistema de manera independiente.
Atenuação y amplificación de componentes espectrales: la función de transferencia determina si se atenúa o amplifica cada componente espectral.
Desplazamiento de fase: cada componente espectral experimenta un desplazamiento de fase dependiendo de la función de desplazamiento de fase del sistema.
Diferenciación entre sistemas lineales y no lineales: se destaca la importancia de los sistemas lineales en el tratamiento de señales.
Transcripts
hola en este vídeo vamos a ver un tema
nuevo que ves que es el tema de sistemas
lineales y señales como las señales son
tratadas por los diversos sistemas
especialmente los temas lineales algunas
de las propiedades de estas y vamos a
empezar con esto ok
entonces sistemas lineales y señales
cualquier sistema electrónico es
caracterizado por la relación salida
entrada algo que se llama función de
transferencia cualquier sistema llámese
un filtro me llames un circuito
amplificador llámese un modulador lo que
sea va a estar relacionado va a estar
caracterizado en función de que le estoy
metiendo ese circuito y que ese circuito
me está dando a la salida la relación
salida con respecto a la entrada es
decir como me la está tratando yo lo voy
a llamar con función de transferencia
cualquier circuito electrónico sea el
que sea que tenga que dar salida puedo
yo caracterizar los mediante o lo voy a
caracterizar más bien dicho mediante lo
que se llama función de transferencia
matemáticamente la podemos usar como
aquí y rts la realidad que tengo aquí es
igual a la operación h que la función de
transferencia la operación que está
haciendo mi circuito
y señal x de entonces esta operación h
esta operación que esté haciendo le esté
filtrando le simplificando lo que le sea
es igual a la relación que tengo yo a la
salida con respecto a lo que tengo yo
al entrar ok esta función h es el
operador que produce la salida y a
partir de la entrada a partir de lo que
yo tenga en la entrada
el operador h me va a dar una respectiva
salida ok eso es mi función de
transferencia y así es como funcionan
los sistemas electrónicos de dos puertos
bueno entrada salida
ok vamos a tener la primera
característica un sistema lineal
invariante en el tiempo en inglés el
eitc lineal time en varias formas y los
se traducen si un sistema es lineal la
superposición se mantiene algo que ya
han de haber visto esto es si x1 la
señal x1 resulta en una salida y 1 dt y
una señal x2 dt resulta en una salida de
2 dt entonces si la salida de vida a
alfa 1 x 1 es decir la multiplicación de
alfa 1 del factor alfa 1 x 1 la
multiplica por un factor alfa 1 más una
señal x2 x un factor f alfa 2
entonces donde alfa 1 y alfa 2 son
constantes me van a dar lo siguiente a
la salida yo voy a tener 7
el producto o la mayor la función por lo
que me va a producir la función h que es
sobre la sobre alfa 1 x 1 + alfa 2 x 2 d
te puedo yo descomponerlo y tener
simplemente quiere es igual alfa 1
la operación h sobre x1 dt sacar he
sacado aquí el fa uno más alfa 2 igual
él ha sacado x dt y esto quedamos hace
ratito que era lleno 1 y extranjeros es
decir 10 27 es igual a 1 alfa 11 dt más
alfa dos dedos dt porque esto
matemáticamente
hablando un poquito christi de otra
manera
visto de igual x 1 yo tengo mi sistema
con una función de transferencia h si a
este sistema
yo le me introduzco una señal x1 dt me
vas a producir una salida de 1 de temp
si ese mismo sistema yo le introduzco
una señal x2 dt me voy a tener entonces
la salida una señal x2 de t
obviamente entonces aquí no hay ningún
problema partamos de esto entonces
qué es lo que sigue qué pasa si yo a mi
señal x1 dt la multiplicó por un factor
x 1 que va a ser un factor constante y
la meta nuevamente a mi sistema con una
función de transferencia h entonces voy
a tener a la salida esa misma señal y
uno de t bueno la señal y una botella
producida por el h multiplicada por alfa
17 es decir esto me da esto que si
nuevamente ahora mi señal x2 dt lo
multiplicó por un factor alfa 2 dt y la
meto a mi sistema con función de
transferencia h entonces la salida va a
tener una señal de 2 dt multiplicada por
un factor alfa 2
por lo tanto si a mi sistema elemento
una señal x1 dt multiplicada por un
factor alfa 1 y un más una señal x2 dt
multiplicada por un factor alfa 2
entonces la salida
tengo una señal y 1 dt x x 1 y una señal
10 2 dt multiplicada por alfa 2 esto es
la superposición
esto es teorema de superposición es
decir se cumple la superposición en el
sistema y por lo tanto puedo decir que
estoy hablando de sistemas lineales
ahora bien si el sistema es invariante
en el tiempo la entrada con retablos x
menos de 0 da a la salida un retardo que
dos de tres es decir si está la entrada
ahora tiene un pequeño retardo de se
ahogan retardo deseo un retardo de valor
tensión entonces la salida de mi sistema
que tiene una función de clase d ch va a
tener una salida ye igual retardada en
tiempo x el tiempo deseo el tiempo de
retardo que va a tener es el mismo
siempre y cuando mi sistema sea
invariante en el tiempo si no es así
este valor puede llegar a cambiar
matemáticamente y en la salida de menos
de 0 es igual a lo que me produce la
operación h de ex sobre la señal x menos
de cero ok bueno esta es una
característica importante una definición
importante de los temas un sistema
lineal invariante en el tiempo ya vimos
los dos que sea lineal invariante del
último
otra característica de los sistemas que
vamos a ver es su respuesta al impulso y
su integral de superposición la
respuesta al impulso que vamos a
denominar como htc a partir de hábitat
todos lo vemos hdt es quiere decir
respuesta al impulso de un sistema el dt
no existe al sistema lineal invariante
del tiempo se define como la respuesta
del sistema a un impulso aplicado entre
igual a cero esto es por definición la
respuesta al impulso es igual a la
operación que va a ser realizarla en mi
sistema a un impulso unitario ok por la
propiedad invariante en el tiempo del
sistema la respuesta a un impulso
aplicado en cualquier tiempo de cero es
esta que tengo yo aquí es decir si hace
ratito utilizando la misma propiedad que
usamos aquí vamos a verla aquí para el
impulso así ahora el impulso yo lo
aplicó en un rincón tiene con un retardo
de cero pues entonces la salida también
voy a tener mi respuesta un impulso htm
en usted cero y la respuesta a la
combinación lineal de impulsos alfa 1 x
un impulso con un retardo t 2 más alfa 2
x un impulso conectarlo alfa 2 va a ser
simplemente lo que tengo aquí
alfa 1 h mi respuesta al impulso con el
restaurante 1 más
alfa 2 h 2 esté con mi respuesta al
impulso con un retardo de dos esta es
una generalización o más bien una
aplicación de lo que vimos hace ratito
de las respuestas que vimos hace un
momento
ok nada más que con respuestas al
impulso sea una particularización por lo
tanto la respuesta a la entrada de una
señal que está compuesta por una serie
de impulsos definidas simplemente de
manera matemática como la sumatoria
desde n igual con 1 hasta n de xn por n
cantidad de impulsos de tener con cierto
retardo tn entonces la respuesta a esta
entrada es esta que yo tengo aquí esto
tengo a la entrada
esto tengo a la entrada esto de aquí a
la salida
voy a tener esto que yo tengo aquí igual
una sumatoria de impulsos multiplicadas
por su factor alfa n y sus respuestas al
impulso con un cierto retardo cada una
de ellas le repito es ésta una
particularización de lo que ya vimos que
esta expresión esta expresión la que
tengo yo aquí
asteriscos es usada para obtener lo que
vamos a llamar como integral de
superposición la cual expresa la
respuesta de un sistema lineal
invariante en el tiempo a una entrada
arbitraria en términos de la respuesta
al impulso de un sistema es decir con
esto
yo puedo obtener la respuesta a entradas
de cualquier tipo que sea arbitraria o
se aumenta la cuenta de la que sea ok
por eso es tan importante es la
respuesta al impulso consideramos una
señal de entrada arbitraria x dt ésta
puede ser representada como lo vemos
aquí en esta señal xd t como la integral
de menos infinito infinito multiplicada
por la señal x en irlanda multiplicada
por un impulso en un con un ser total
holanda diferencial de la na
por la propiedad de desplazamiento del
impulso unitario
aproximando la integral anterior como
una suma se obtiene es decir esta esta
señal también la puedo expresar
de una manera diferente en donde lugares
de 90 la puedo tener como una sumatoria
y xd viene dada como las materias de n
igual a n1 n2
multiplica de la señal en ciertos
instantes de tiempo con incrementos por
los impulsos unitarios en ciertos
valores siempre y cuando del tate sea
mucho menor a 1 donde este valor de 1 ya
lo voy a transformar lo discreta y set
de una manera de decirlo n 1 es el
tiempo inicial de la señal y t2 es el
tiempo final de la ciudad que es n 220 y
que uno es lo vamos a ver n 11
click
la salida
usando la expresión que vimos que nadie
dt como la sumatoria de impulsos
multiplicada por un factor y su
respuesta al impulso la salida con alfa
dna ahora de este valor alfa en ese
valor que multiplica vamos va a ser
igual a x en el n multiplica porque
pequeños incrementos tiempo por otros
del tate y donde tiene va a ser
simplemente nt es esta la salida a
partir de utilizando las expresiones
anteriores viene dando esto que tengo yo
aquí es lo mismo que vamos atrás que
habíamos visto pero ahora expresado de
manera discreta en pequeños instantes de
tiempo delta de ok en el límite mientras
delta te tiende a cero y delta y n del
tate se aproxime a una variable continua
lambda
la suma se convierte nuevamente en la
integral es decir a la salida tengo yo
esto que tengo yo aquí menos infinito
infinito de x de lambda h
dt - delanteros a la función de impulso
cada x
de entrada porque haciendo la
sustitución nada más
ahora vamos a llamar a sigma igual a t
menos lambda se obtiene un resultado
equivalente esta expresión que tengo yo
aquí abajo es igualita a esta nada más
que en lugar obviamente como os digo que
vamos sigma en lugar de ok
debido a que estas ecuaciones 1 y 2 las
que tengo yo aquí fueron obtenidas por
superposición de un número de respuestas
elementales a cada impulso individual
estas se llaman integrales de
superposición y como bien está dada por
una serie de impulsos en diferentes
centros de tiempo para que me va a
servir esto para poder representar una
señal
acuérdense que estábamos hablando de una
señal xp que podíamos depositar la de
esa manera y que la salida podríamos
tenerla de otra manera ok entonces tengo
una señal x 7 como la que veo aquí ya
esa señal yo puedo representarla a
través de una serie de impulsos
unitarios cada uno separados un cierto
valor n del cadete y es decir tengo su
señal
xd y su aproximación mediante una
secuencia de impulsos esto luego nos va
a quedar más claro en temas posteriores
otro concepto de sistemas es la
estabilidad del sistema un sistema
lineal fijo es de entrada acotada salida
acotada así lo traduje en inglés es vivo
donde tipo de wounded o por introducción
fue la que escucha ese ratito si cada
entrada acotada resulta de una salida
contada es decir un sistema es estable
vivo
y sólo si la integral de menos infinita
infinito del valor absoluto de la
respuesta el impulso es menor que
infinito es decir tiene un valor finito
otra función de transferencia aplicando
el teorema de convolución de la
transformada de fourier a 7 o sea las
dos señales que tuvimos esa suerte de
menos infinito infinito de x de lambda
por la respuesta al impulso en lambda y
ésta que tengo aquí en valores de sigma
tenemos que llegar a la salida y
simplemente hdf x df es decir la salida
simplemente la multiplicación de la
función de transferencia por la entrada
que yo tengo pero tienen que estar ambas
en el dominio de la frecuencia ok en el
dominio del tiempo son convolución es en
el dominio de la frecuencia puede ser
una simple multiplicación así como la
que vemos aquí donde x df como vemos es
la función o más bien la transformada de
fourier de x dt es decir esa señal x dt
en función del tiempo las transformamos
a función de la frecuencia de f
nuevamente la transformada de fourier de
la señal de la salir ayer este pero
en el dominio de la frecuencia por qué
y bueno podemos hacerlo de esta manera
la función de transferencia es igual a
la transforma la función de
transferencia en tu medio de la
frecuencia va a ser igual a transformada
de fourier de la respuesta al impulso
donde está definida de esta manera la
respuesta al impulso multiplicados es
simplemente toda la definición la
transformada de fourier y la respuesta
al impulso en el dominio del tiempo la
re función de transferencia va a ser
igual a
la transformada inversa de fui el bhd
efe y es esto que tengo yo aquí hdf la
que tengo aquí es conocida como la
función de transferencia en frecuencia
son cosas muy diferentes cuando la van
en tiempo o en frecuencia y a lo mejor
los otros cursos las van a van a ver en
otros dominios del sistema hd efe o hdt
son una buena caracterización del
sistema mediante una transformada
inversa de fourier sobre esta señal que
tengo aquí y edf es igual a hdf x
efectuadas en el dominio de la
frecuencia entonces la salida se
convierte para pasar a esta salida del
dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia simplemente tengo que hacer
las integral de menos infinito infinito
de x en el dominio la frecuencia en la
multiplicación de hf tengo aquí
simplemente como ven esto la
transformada inversa de furia
otro concepto sobre sistemas lineales
causalidad
un sistema es causal si no se anticipa a
su entrada todos los sistemas físicos
reales son causales algo tiene que
producir
una respuesta yo a que es causa y efecto
no puedo tener un efecto sin tener una
causa si descubren algo así ya estoy
ganando un premio nobel
en términos de la respuesta al impulso y
revolucionaron la física por completo
resulta que para un sistema causal
invariante en el tiempo es decir su
respuesta al impulso debe ser cero para
tiempos menores a cero en lo que estaba
diciendo un sistema es causal si no se
anticipa su entrada por lo tanto para
tiempos menores a cero o antes de que yo
meta el impulso por su respuesta debe
ser igual a cero
no puedo anticiparme a eso cuando la
causalidad es vista desde el punto de
vista de la función de respuesta en
frecuencia del sistema vamos a tener
problemas nuestro cuerpo este perdón por
la improvisación winner hampa ley
establece que la integral de menos
infinita infinito del valor absoluto de
la respuesta al impulso elevado al
cuadrado es igual a la integral de menos
infinito infinito de la función de
transferencia
en función de la frecuencia o la
respuesta al impulso en función en
función de la frecuencia elevada al
cuadrado desde s es menor
infinito es decir este valor es finito
cuando con la respuesta al impulso por
definición es igual a cero para ti es
menor o igual a cero es entonces
necesario que se cumpla esta integral
que tengo aquí no voy a hacer todo al
análisis no es este parte evitar el
objetivo el objetivo es que si se
aprendan esto que está aquí cuando un
sistema es causal debe de cumplir esto
que tengo aquí y que no puedo tener
sistemas no vamos algún ejemplo
ejemplo mostrar que el sistema con
respuesta al impulso es decir yo tengo
un sistema que quiero ser lo mejor un
filtro como dudaba de que sea le metí un
impulso a mi sistema y su respuesta al
impulso viene dada por esta función a la
menos 2 dt coseno de 10 pide tener un dt
por escalón unitario
es estable vive es causa primero vamos a
ver si es estable
considerando la integral que vamos a ver
tras ser restrictivos exactitud si la
integral de menos infinito infinito del
valor absoluto de la función respuesta
al impulso es menor que lo infinito aquí
tengo mi condición de estabilidad
entonces vamos a hacer la subscribir la
integral de menos infinita infinito de
mi respuesta el impulso es igual a la
mente al menos infinito infinito de mi
respuesta que es todo lo que vemos aquí
era la menos 2 dt coseno de 10 pide t de
t diferencial de términos dado que tengo
aquí en mi escala unitario y está
definido a partir de cero entonces mi
integral ya no necesita ir de menos
infinito a infinito puede ser desde cero
a infinito y cesc y ésta se transforma
en esto que tengo aquí es real a menudo
este valor absoluto del coseno de 10 y
10 pide este diferencial éter el dt éste
lo saqué del valor absoluto dado que es
un valor
este puramente real sin embargo el coche
no permanece adentro porque sabemos que
el coche no es igual a un medio de la
cuota de ala menos cuota de t es decir
esto pues podría llegar a expresarlo
como un número complejo
y a partir de la definición de valor
absoluto
sabemos que el valor absoluto de un
número complejo bueno un número complejo
lo podemos expresar el sabio olvidado
como
este que su magnitud y un ángulo donde
entonces la valor absoluto de dicho
número
es simplemente esta enriqueció tengo
aquí y entonces bueno esto nada más la
razón de por qué no lo saqué de de los
de las barritas sabemos que el valor
coseno va a variar de variables de menos
1 a 1 y su valor absoluto obviamente va
a ser menor o igual a 1
eso para simplemente simplificar me la
la existencia facultad no me interesa
realmente saber el valor
entonces esto lo podemos sustituir aquí
y entonces
la integral de menos infinita infinito
de hdt va a ser menor o igual a la
integral de marcelo a infinito de al
menos 2 desde si es una argucia
matemática la que hicimos aquí pero
sobre tal vamos a entonces esto es igual
a menos uno entre dos cuando resolvieron
la integral por él a menudo usted deseo
infinito y esto es igual a menos un
medio lo que voy a obtener de este valor
como quedamos aquí
a partir de esto pues va a ser menor o
igual a un medio con eso simplemente ya
se me da la condición de estabilidad
porque va a ser va a tener un valor
finito por lo tanto se cumple el sistema
estable eso lo que me importa va a saber
el sistema eso no es estable si está
integral
si toda esta integral había dado algún
valor infinito y entonces si ahí tengo
yo un
este no es estable y si yo hubiera hecho
directamente con cocina que se puede
resolver cuando yo sustituya los límites
en el infinito obviamente no me iba a
resultar se me iba a indeterminado a lo
mejor si el vasco de esta manera
utilizando las identidades geométricas
ya me da un resultado como numérico no
infinito no se determina pero decidí
hacerlo así que también viene el sistema
es causa ya que hdt bueno a su vez el
sistema es causal ya que la respuesta al
impulso es igual a cero parte menor
igual que cero
es decir si yo sustituyó el valor de
tres menores a lo mejor aquí si me da un
valor pero recuerden que el impulso
unitario simplemente me va a estar
definiendo me va a estar
acotando de que nada más desde cero
hacia los valores positivos de t por lo
tanto si se cumple que mi sistema se
causal y mi sistema esté estable que era
lo que impedía el ejercicio unas últimas
definiciones de bueno propiedades de
simetrías de la función de transferencia
la función de respuesta en frecuencia hf
también las consumos conjuntos de
transferencia de un sistema lineal y
variante en el tiempo es en general una
cantidad compleja por lo tanto puede
escribirse de esta manera es decir ese
valor a es una cantidad completa puede
ser como lo que vimos una magnitud valor
absoluto y su ángulo
tengo aquí donde este valor absoluto es
la amplitud o magnitud de la función
respuesta y esto que tengo aquí es la
tasa o es la fase perdón es la fase de
la función respuesta al sistema
es decir esto va a ser muy importante
porque la función a otra respuesta el
impulso
dominó la frecuencia tiene dos
componentes me puede afectar a mi
entrada tanto en amplitud como en fase
no vamos vamos bien 2h df es la
transformada de fourier de una función
real en tiempo o de una función del
tiempo en respuesta al impulso hdt por
lo tanto hdf el valor absoluto es igual
su magnitud es igual a esta categoría y
sus ángulos también los puedo expresar
yo
de esta manera
la amplitud la respuesta de un sistema
con respuesta al impulso de valores
reales es una función par
como vemos aquí es una función si no lo
había notado es una función par de la
frecuencia y la fase de la respuesta es
una función y par de la frecuencia
una función para la función para función
y para ok tienes que declarar
qué otro concepto respuesta a entradas
periódicas consideremos la respuesta al
estado estacionario de un sistema lineal
fijo a una señal de entrada exponencial
compleja como la que hemos hecho
ok usando la integral de superposición
tenemos la siguiente de cerezas y lo
vamos a llamar es en función de t es
igual a la salida tendrán que dar
nuestra infinita infinito hombre la
respuesta del impulso de lambda de señal
a la entrada que tengo aquí
de cada por términos de crf 00 hacemos
la integral la sacamos las partes que
podemos integrar las que no sacamos todo
esto de la integral hacemos esto y esto
simplemente es hd efe deseo esto que
tengo aquí expuesta el impulso en el
dominio de la frecuencia multiplicada
por este factor que yo tengo aquí que
quiere decir esta expresión
la salida es una señal exponencial
compleja
de la misma frecuencia pero la amplitud
de escalonar hdf y desplazada en fase
por un valor en frecuencia relativas a
la amplitud de la fase y de la entrada
que quiere decir por ejemplo si yo estoy
metiendo en tantas estas tengo mi
sistema y yo meto una señal x esa señal
a la salida va a estar multiplicada por
un cierto factor un factor h df nada va
a modificar en su actitud pero también
vamos a modificar su fase de dicho señal
en qué valor pues dependerá de cómo esté
caracterizado de cuáles sean los
elementos que tenga capacitores
inductores transistores lo logrado no lo
van a ver
van a ver incluso en el control con
polos y demás cosas
ok pero entonces mi sistema se ve
afectado tanto en la amplitud o más bien
mi señal se ve afectada por el sistema
tanto en amplitud como en la fase usando
superposición se concluye que la salida
de estado estacionario debido a una
entrada periódica arbitraria está
representada por la serie de forma
exponencial compleja que estamos aquí y
esta que tenemos aquí expresada de otra
manera simplemente como los componentes
de x de en el gas buenos recuerde que es
una quedamos que da una información
periódica pues entonces por
multiplicadas por este factor y también
va a tener sus ángulos de las
componentes y los ángulos la función de
transferencia y la podemos ok entonces
eso aquí es para una entrada periódica
la magnitud de cada componente espectral
de la entrada es atenuada o amplificada
por la función respuesta actitud es
decir que estoy multiplicando
o amplificando dependiendo este valor
este valor puede ser mayor puede ser
menor si podría estar hablando de
filtros obviamente no va a atenuar
ciertas frecuencias
o de algún sistema con pérdidas el
embate de un amplificador obviamente
hasta entonces esto se refiere a la
ganancia que depende del sistema ok eso
quiere decir para una entrada periódica
la magnitud de cada componente espectral
de la entrada es atenuada o amplificada
por la función respuesta a la actitud de
frecuencia de la componente espectral
particular y la fase de cada componente
espectral es desplazada por el valor de
función desplazamiento de fase del
sistema a la frecuencia de la componente
espectral particular porque estamos
hablando entonces vimos ya sabemos que
existen diferentes componentes en una
señal periódica que puede ser
descompuesta enseguida fui el que para
tener componentes cada uno de sus
componentes va a actuar el sistema puede
actuar de manera diferente dependiendo
de la frecuencia se ha demostrado
descomponer sobre una frecuencia de
segundo una frecuencia f 12 efectos etc
etc entonces el sistema
va a aceptar de manera diferente cada
componente espectral
dependiendo de la frecuencia
dice la fase de cada componente
espectral es desplazada por el valor de
la función de desplazamiento de fase del
sistema a la frecuencia de la componente
espectral particular a diferentes
valores de frecuencia 2 va a tratar de
diferentes maneras o puede tratarlos de
todos igual va a depender de la
característica del sistema ok y las va a
desplazar de la misma manera no va a
desplazar de la misma manera a f1 a f2 a
f3 no va a multiplicar la va a atenuar
de la misma manera f 1 que hace 2 que
afecte lo puede ser de manera totalmente
diferentes
vamos a hablar luego un poquito más en
esto dolomitas es todo y nos vemos en
nuestro símil
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