Limites algebraicos | expresiones con raíces | Cálculo diferencial
Summary
TLDREl guión de este video ofrece una visión detallada sobre cómo resolver límites algebraicos en cálculo diferencial utilizando métodos algebraicos. Se discute la importancia de simplificar expresiones antes de sustituir valores indefinidos, como en el ejemplo donde se factoriza y se racionaliza para encontrar límites. Se enfatiza la necesidad de comprobar cada paso cuidadosamente, destacando la utilización de técnicas como la factorización de sumas de cubos y la diferencia de cuadrados para simplificar las expresiones. Además, se presenta la racionalización del numerador como una técnica para eliminar términos indeterminados y determinar límites de funciones complejas.
Takeaways
- 📚 El script es una lección sobre cómo resolver límites algebraicos en cálculo utilizando métodos algebraicos.
- ✍️ Cuando se enfrenta a una indeterminación (como 0/0), se busca simplificar la expresión antes de sustituir el valor de x.
- 🔍 Se utiliza la factorización para simplificar términos que contienen sumas de cubos y diferencias de cuadrados.
- 🧩 Al simplificar, se busca cancelar términos y reducir la complejidad de la expresión para facilitar la sustitución de límites.
- 🔢 Se resuelve un ejemplo específico donde x tiende a -2, y se aplica la factorización para encontrar el límite.
- 📉 Se destaca la importancia de la alternancia de signos en las factorizaciones y cómo esto afecta la simplificación.
- 🎓 Se menciona la técnica de racionalización no solo del denominador, sino también del numerador cuando es necesario.
- 🤔 Se resalta la dificultad de factorizar expresiones con raíces, lo que lleva a la racionalización para eliminar términos indeseados.
- 📝 Se aborda el proceso de racionalización como un paso crítico para transformar expresiones complejas en formas más sencillas.
- 📌 Se enfatiza la necesidad de chequear cada paso cuidadosamente al realizar cálculos de límites, especialmente cuando se usan técnicas de racionalización.
- 🏁 Al final, se resuelve el límite y se obtiene un resultado determinado, evitando así la indeterminación inicial.
Q & A
¿Qué métodos algebraicos se mencionan en el script para resolver límites indefinidos en cálculo diferencial?
-El script menciona la factorización y la racionalización como métodos algebraicos para resolver límites indefinidos.
¿Cuál es el primer paso que se sugiere para resolver un límite indefinido cuando la sustitución directa resulta en un resultado indefinido?
-El primer paso sugerido es buscar un método que simplifique la expresión, como la factorización, para encontrar un resultado real en la matemática.
¿Cómo se simplificó la expresión en el script utilizando la factorización de sumas de cubos y diferencia de cuadrados?
-Se simplificó factorizando la suma de cubos como la raíz cúbica del primer término más la raíz cúbica del segundo término, y la diferencia de cuadrados como la raíz cuadrada del primer término menos la raíz cuadrada del segundo término.
¿Qué es lo que se hace cuando se llega a una expresión que no se puede simplificar más directamente?
-Se procede a realizar una racionalización, ya sea del numerador o del denominador, para poder eliminar términos y simplificar la expresión.
¿Cómo se utiliza la racionalización en el script para resolver un límite indefinido?
-Se utiliza la racionalización multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, lo que permite simplificar la expresión y eliminar términos indeterminados.
¿Cuál es el resultado final del primer límite que se resuelve en el script?
-El resultado final del primer límite resuelto es -3/8 (menos tres octavos).
¿Qué significa 'trabarse' en el contexto del script y cómo se resuelve?
-En el contexto del script, 'trabarse' se refiere a encontrarse con una situación en la que no se puede continuar con la simplificación de una expresión. Se resuelve revisando los pasos previos y buscando una alternativa para simplificar la expresión.
¿Cómo se maneja la expresión 1/h en el script para evitar resultados indefinidos?
-Se maneja realizando una simplificación de fracciones y luego aplicando la multiplicación de binomios conjugados para evitar la indeterminación y poder sustituir h por cero.
¿Cuál es la importancia de racionalizar expresiones en el cálculo diferencial?
-La racionalización es importante para eliminar términos con raíces y simplificar expresiones, lo que permite calcular límites y derivadas de manera más eficiente.
¿Por qué es necesario factorizar antes de sustituir valores en límites indefinidos?
-Es necesario factorizar antes de sustituir valores para poder eliminar términos que resultan en indeterminaciones, como 0/0, y así poder encontrar un resultado definido para el límite.
¿Cuál es el resultado final del segundo límite que se resuelve en el script?
-El resultado final del segundo límite resuelto es -1/2 (menos una mitad).
Outlines
📚 Resolución de Límites Algebraicos en Cálculo
El primer párrafo presenta un ejemplo de cómo resolver límites algebraicos en el tema de cálculo diferencial. Se menciona la importancia de suscribirse al canal 'profesor particular puebla puntocom'. Se describe el proceso de resolver límites aplicando métodos algebraicos, especialmente cuando la sustitución directa resulta en un resultado indefinido, como en el caso de 'menos 2 a la cuarta'. Se sugiere buscar métodos de simplificación, como la factorización, para encontrar límites definidos. Se ejemplifica con la factorización de términos como la suma de cubos y la diferencia de cuadrados, para simplificar la expresión y encontrar el límite cuando x tiende a menos 2. El proceso lleva a una solución de '-3/8', y se enfatiza la necesidad de revisar cada paso cuidadosamente para evitar errores.
🔍 Análisis y Simplificación de Fracciones en Límites
El segundo párrafo se enfoca en el análisis y simplificación de fracciones dentro de un límite. Se describe el proceso de simplificar '1/raíz de uno más h', utilizando técnicas como la multiplicación de binomios conjugados y la racionalización. Se explica cómo se maneja la expresión '1/h' y cómo se simplifica pasando el término 1/h al otro lado de la fracción. Luego, se utiliza la racionalización del numerador para eliminar la h de la expresión, llegando a una solución donde h tiende a cero, y el límite se simplifica a '-1/2'. Se resalta la complejidad del proceso y la importancia de cada paso para llegar a la solución correcta.
📘 Racionalización y Factorización para Resolver Límites
El tercer párrafo continúa con la temática de la racionalización y factorización en la resolución de límites. Se describe cómo se multiplica el numerador por su conjugado para simplificar la expresión y eliminar la h. Se detalla el proceso de desarrollo del binomio y cómo se cancelan términos para llegar a una expresión más simple. Finalmente, se sustituye h por cero y se simplifica para encontrar el límite de la expresión, que resulta en '-1/2'. Se enfatiza la dificultad de la manipulación algebraica y la necesidad de revisar cada paso para garantizar la precisión del resultado.
Mindmap
Keywords
💡Límites Algebraicos
💡Cálculo Diferencial
💡Factorización
💡Suma de Cubos
💡Diferencia de Cuadrados
💡Indeterminado
💡Sustitución Directa
💡Racionalización
💡Complejo Conjugado
💡Binomio
💡Profesor Particular
Highlights
Introducción al tema de límites algebraicos en cálculo diferencial.
Importancia de suscribirse para seguir el curso de cálculo.
Métodos algebraicos para resolver límites cuando la sustitución directa resulta en un valor indefinido.
Ejemplo de limites donde la sustitución directa no es aplicable.
Uso de la factorización en el término superior para simplificar la expresión.
Factorización de la suma de cubos y diferencia de cuadrados en el término inferior.
Simplificación de la expresión mediante la alternancia de signos y factorización.
Determinación del límite cuando x tiende a -2 utilizando la simplificación algebraica.
Análisis de la indeterminación en límites y la necesidad de métodos algebraicos.
Proceso de racionalización para simplificar fracciones con raíces.
Multiplicación de binomios conjugados para eliminar términos indeterminados.
Uso de la racionalización del numerador para eliminar la variable h.
Eliminación de términos mediante factorización y simplificación.
Sustitución de h por cero para determinar el límite de la expresión.
Resultado final del límite de la expresión después de la simplificación y racionalización.
Emphasizing the importance of checking each step in algebraic manipulation.
Double use of rationalization to simplify the expression until substitution is possible.
Transcripts
[Música]
ah
hola bienvenido seguimos viendo otro
ejemplo de límites algebraicos del tema
de cálculo cuando ya de hecho un cálculo
diferencial
vamos a proseguir la siguiente manera
recuerden suscribirse nosotros somos
profesor particular puebla puntocom
vamos a resolver cada uno de estos
límites aplicando métodos algebraicos
recordemos que estos métodos se aplican
cuando si yo sustituyó cuando x tiende a
menos 2 y sustituyó dentro directamente
lo que me arroja es algo indefinido
porque menos 2 a la cuarta me da menos
me da 16
16 - 16 me arroja trabajo del dominador
sería un 0 y arriba me daría menos ocho
más 8 también un 0 por lo tanto esto es
indeterminado entonces no puedo
sustituir y distribuir directamente el
menos 2
tengo que buscar un método que me
permita simplificar más esa situación
que me permite encontrar algo real en la
matemática vemos que podemos aplicar
factorización a los dos términos por lo
tanto la factorización en el término de
arriba es una suma de cubos o la suma de
cubos es la raíz cúbica del primero más
la raíz cúbica del segundo término
multiplicando a el primer término de la
primera raíz al cuadrado menos el
producto de los dos de las dos raíces 2x
y más el cuadrado de la raíz del segundo
término en este caso 2 por 24 luego el
término de abajo
se simplifica se factorizar como una
diferencia de cuadrados recordamos que
la diferencia de cuadrados es la raíz
cuadrada del primer término que es x
cuadrado
y la raíz cuadrada del segundo término
en este caso es 4 y simplemente se
alternan los signos sin embargo vemos
todavía que este término es otra
diferencia de cuadrados que también se
puede simple no voy a ponerla así x
menos 4 voy a dar otro paso más copio
todo x + 2 x x 4 también 22 x
+ 4
sobre x cuadrado más 4 esto multiplica y
estos 2 este término se factorizar raíz
cuadrada de x x raíz cuadrada de 2 de 42
y se alternan dos hijos ahora como vemos
en la alternancia me da exactamente lo
que puedo simplificar x + 2 sobre x + 2
y lo que me queda es esto entonces
aplicando cuando x
tiende a menos 2 lo que me queda a
sustituir sería ahora si directamente al
menos 2 en cada una de las variables por
lo tanto sería menos 2
al cuadrado menos 2 x menos dos más
cuatro esto le va a dar un número
positivo
como vemos luego aquí sustituyó al menos
2 al cuadrado más 4
que multiplica
- 2 qué es esto en x menos 2 entonces
esto nos arroja menos 2
al cuadrado me da 4 positivo
voy a poner acá más 44 sobre la parte de
abajo entre paréntesis me da menos dos
al cuadrado me da cuatro más 48 y menos
dos por menos dos menos cuatro
102 - 2 - 42 estuviera arriba 12 sobre
menos 32 sacamos mitad y llegamos que
sería menos
mitad de este será 66 dieciseisavos
seguimos sacando mitad mitad menos tres
cuartos pero tres octavos
ahí está entonces nuestro límite del
primero sería menos tres octavos ya
vemos que no no podemos ya no nos da
algo indefinido ahora sí podemos definir
el límite muy bien dos voy a abordar
esto para que me dé espacio en el
ejercicio que el ejercicio que está al
lado
ya vimos cómo hacerlo si no hay un paso
por el que se traban entonces
simplemente rebobinar el vídeo y chequen
como hicimos la simplificación ahora
tenemos el otro límite si yo sustituyó h
directamente de igual manera aquí
nuevamente es decir 1 sobre sobre 0 me
da algo indefinido algo indefinido que
multiplica a todo esto pues me sigue
dando algo indefinido por lo tanto tengo
que recurrir al método algebraico
para poder determinar una expresión
entonces vamos a proceder de la manera
siguiente aquí estos dos lo puedo ver
con una fracción esto es como el mínimo
aquí sabemos que es 1 el mínimo de 1 y
de raíz de uno más h pues viene siendo 1
raíz de uno más h sí porque no hay otro
mínimo ahora raíz de uno más h entre
raíz de uno más h como una fracción
sencilla raíz de uno más h entre entre
esto me da uno por uno
aquí lo tenemos luego raíz de uno
masache entre uno pues viene siendo raíz
de uno más h por menos uno indicó la
multiplicación menos uno por raíz de uno
más h ahí está
esto digamos esta infracción ahora que
multiplica a 1 / h
siendo esto lo único que hemos
determinado o que hemos hecho es
determinar la digamos la simplificación
de las dos fracciones o de la fracción
que tenemos aquí 1 entre reyes los más h
menos uno que me da todo esto ahora
todavía sigo teniendo el problema del 1
sobre h para poder simplificar
por lo tanto tenemos eso
lo que debemos de hacer
es lo siguiente
voy a pasar ese término lo voy a pasar
acá para tener un poquito más de espacio
me sirve únicamente el tubo y encerrar
en verde
ahora puedo aplicar la multiplicación de
binomios conjugados
aquí lo voy copiando
pero
multiplicado perdón multiplicando aquí 1
por esto me queda todo esto ha hecho por
por el término de abajo me queda h
ok entonces digamos que el término ya
incluyó aún nos sobra hecho
multiplicando esta parte
note entonces ahora sí
después de eso bueno que seguiría vamos
a ver qué podemos digamos
el definir en este caso podemos
racionalizar recordamos que la
racionalización se da cuando multiplicó
la raíz de abajo por los dos términos
entonces la raíz de abajo viene siendo
uno más h sobre uno más a raíz de uno
más ahora sí multiplicando esta
racionalización el primer término me
queda uno por uno por raíz de uno más y
me queda uno más h raíz menos bueno esto
es 11 raíz de h por 16 de h por raíz 1
más h este uno lo borró porque el 1
digamos que aquí está indicado entonces
que me queda es el mismo término
multiplicándose por lo tanto me va a
quedar el mismo término si lo pudiéramos
ver sería el mismo término
multiplicándose a sí mismo entonces
sería al cuadrado como es raíz de uno
más h este término las raíces se
cancelan y me queda uno más h
y ojo con este paréntesis me indica el
signo de la expresión interna este signo
viene acá por eso colocó el paréntesis
para para asegurarme de que cuando yo
quiera expresar o quitar el paréntesis
este signo menos pasa a multiplicar la
mente a la h
sobre multiplicando la la h me queda
igual si hoy th por 1 en este caso me
queda h
ahora raíz unos más h por raíces más h
otra vez un regreso a lo mismo que sería
esta misma expresión elevada al cuadrado
y raíz cuadrada por lo tanto sería uno
más h y ahí está
ahora muy bien de esto
podemos simplemente
intentar ya simplificar tengo que sería
raíz de uno más h menos uno
- h entonces
no puedo hacer aquí mucho parece ser no
puedo sacar el no no tengo un factor
común
tengo simplemente las haches ahí
tratando de combinarse entonces ya
racionalizar nos vemos lo que es lo que
salió
si sustituye directamente a hecho igual
a cero
en este caso sigo teniendo abajo el cero
debido a esta h está aquí
entonces hay que digamos factorizar de
alguna manera para poder eliminar
sin embargo es muy difícil porque arriba
hay raíces y todo ese tipo de
situaciones y bien siguiendo vamos a ver
vamos a recurrir a la técnica poco
conocida como la racionalización no del
denominador sino de el numerador
entonces en la racionalización hacemos
exactamente lo mismo tenemos que
multiplicar a ambos x
el complejo conjugado del denominador
que en este caso el numerador perdón en
este caso es uno más h más
1 + h así es como estamos sacando una
multiplicación
debo de multiplicar tanto arriba como
abajo para que la igualdad no sea efecto
para que eso no se afecte ya que esto es
uno cualquier número mitigado por uno no
se afecta entonces aplicó el complejo
conjugado el numerador lo multiplicó
tanto arriba como abajo sin embargo
únicamente lo voy a expresar
multiplicado voy a lo voy a multiplicar
en la parte de arriba que nos queda como
cualquier
como cualquier regla
de la multiplicación de estas
expresiones
y nos queda lo siguiente
son multiplicaciones de
digamos binomios conjugados entonces
sería uno más h ya que la raíz se anula
al multiplicarse más en este caso perdón
menos paréntesis 1 + h y se está
multiplicando dos veces entonces voy a
poner al cuadrado sobre y de este lado
no voy a multiplicar únicamente voy a
poner la expresión
no más h así que multiplique a todo esto
que viene siendo raíz de una masa h más
entre paréntesis 1 + h
ahí está voy a dejar indicado así para
que para que arriba por ello desarrollar
sabemos que tengo uno más h y
desarrollando este binomio al cuadrado
sería menos
paréntesis sería uno más 2 h más h
cuadrada y desarrollo del binomio abajo
sigo teniendo la misma expresión no lo
voy a poner porque está muy larga me
paso de este lado tengo que sería
uno más h - 1 - 2 h - h cuadrados de
esta manera veo que se cancela este 1
con este 1 y la simplificación me queda
como + h menos 2 h me queda menos h - h
cuadrado sobre toda esta expresión
factor izando la parte de arriba me
queda
h que multiplica a menos 1 - h ahí está
entonces ahora sí poniendo todo lo que
es la expresión h por 1 mastache
por todo esto sería la raíz de uno más h
más uno más h
ahí está ok ahora si vemos que por fin
logramos anular esta h y lo que me queda
es esta expresión ya no tengo una h que
multiplica solamente tengo aquí es que
suman y en ese momento puedo sustituir
cuando h tiende a cero lo cual me
quedaría como sí
si todo lo que se ha hecho lo vamos a
sustituir por cero entonces arriba me
quedaría menos 1
no me queda más aquí abajo me queda uno
más h que me queda 1 en este paréntesis
en este de aquí que multiplica con un
corchete me queda raíz de uno más h pues
es raíz de uno que sería 1
más
en la parte que queda de este paréntesis
que sería uno más h que sería 10 pues es
un total de 11 2 2 x 1
me da 2
y me queda de esta manera menos un medio
ahora veo que el límite de esta
expresión totalmente ya hecho me da
menos un medio costó un poquito este
tipo de expresiones ojo con los pasos
hay que checar prácticamente cada paso
cada caso en cada caso deje break on
utilizamos dos veces la racionalización
hasta que no fue posible factorizar esa
h que de otra manera no iba yo poder
sustituir el valor de cero hasta que
logre eliminar por medio de
factorización es puedes sustituir el
valor de cero y ya no me dio algo
indefinido
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2019 SM P37 G11 023
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