Integrales por sustitución - cambio de variable | Introducción
Summary
TLDREste video ofrece una introducción al método de sustitución o cambio de variable en la integración. Se explica que este método se utiliza para transformar una función en otra más fácil de integrar. El script destaca la importancia de identificar cuál es la variable a integrar y cómo realizar un cambio de variable en casos específicos, como cuando hay una raíz o una división con ciertas características. Se proporcionan dos ejemplos para ilustrar cómo el cambio de variable simplifica el proceso de integración, y se ofrecen consejos para identificar cuándo es beneficioso realizar este cambio. Además, se presentan los pasos generales a seguir para realizar una integral utilizando el método de sustitución y se invita al espectador a seguir el canal y explorar más contenido sobre el tema.
Takeaways
- 📚 El método de sustitución o cambio de variable se utiliza para transformar una integral difícil en otra más fácil de integrar.
- 🔍 Para aplicar el cambio de variable, es necesario identificar casos específicos, como raíces o divisiones con ciertas características.
- ✅ El diferencial de la variable (dx, dy, etc.) es clave para identificar la variable a integrar y para el proceso de cambio de variable.
- 🌟 Uno de los casos típicos para hacer un cambio de variable es cuando hay una raíz y algo por fuera de la raíz.
- 📉 Otra situación en la que se realiza el cambio de variable es cuando hay una división y su derivada cumple con condiciones específicas.
- 📌 Antes de hacer el cambio de variable, es importante verificar si la derivada de la parte de abajo de la fracción es igual a la parte de arriba.
- 🔢 El primer paso en el cambio de variable es reemplazar lo que está en la parte de abajo de la fracción por una nueva variable, comúnmente 'u'.
- 📐 Se realiza la derivada de la nueva variable 'u' con respecto a la variable original (generalmente 'x') para encontrar el diferencial de 'u'.
- 🔄 El segundo paso es cambiar todas las ocurrencias de la variable original y su diferencial en la integral por la nueva variable y su diferencial.
- 📝 Una vez realizada la integración con la nueva variable, el último paso es reemplazar la nueva variable por la original para obtener la solución en términos de la variable inicial.
- ➡️ Recordar que el objetivo del cambio de variable es simplificar el proceso de integración y, al final, siempre se debe volver a la variable original.
Q & A
¿Cuál es el propósito del método de sustitución o cambio de variable en la integración?
-El propósito del método de sustitución o cambio de variable es convertir una función en otra más fácil de integrar.
¿Qué identifica el diferencial 'dx' en una integral?
-El diferencial 'dx' en una integral indica la variable que se está integrando.
¿Cuándo es beneficioso realizar un cambio de variable en una integral?
-Es beneficioso realizar un cambio de variable cuando la derivada de la expresión que está abajo en la integral es exactamente igual a la expresión que está arriba.
¿Qué condiciones deben cumplirse para hacer un cambio de variable?
-Para hacer un cambio de variable, la derivada de la expresión en la parte inferior de la integral debe ser igual a la expresión en la parte superior.
¿Qué es lo que se busca al derivar la expresión que está abajo en la integral con respecto a 'x'?
-Al derivar la expresión que está abajo con respecto a 'x', se busca encontrar la relación entre 'du' y 'dx', lo que permite realizar el cambio de variable.
¿Cómo se realiza el primer paso para hacer un cambio de variable?
-El primer paso es identificar y reemplazar la expresión en la parte inferior de la integral con una nueva variable, generalmente 'u'.
¿Qué se hace en el segundo paso del cambio de variable?
-El segundo paso consiste en derivar la nueva variable 'u' con respecto a la variable original 'x', para encontrar la relación entre 'du' y 'dx'.
¿Cómo se realiza el tercer paso del cambio de variable?
-El tercer paso es reescribir la integral utilizando la nueva variable 'u' y el diferencial 'du' en lugar de 'x' y 'dx'.
¿Qué integral se obtiene después de hacer el cambio de variable en el ejemplo proporcionado?
-Después del cambio de variable, se obtiene una integral del tipo ∫(du/u), que es la integral del logaritmo natural.
¿Qué se hace después de integrar con la nueva variable?
-Después de integrar con la nueva variable, se vuelve a cambiar la variable de vuelta a la original 'x' y se añade la constante de integración.
¿Por qué se añade una constante de integración al final de la integral?
-Se añade una constante de integración porque la función original era una antiderivada y no se especificó un valor inicial, por lo que la constante representa el valor arbitrario que podría haber en la antiderivada.
¿Cómo se puede practicar más con el método de sustitución o cambio de variable?
-Se puede practicar más con el método de sustitución o cambio de variable realizando ejercicios similares y viendo otros videos del curso para aplicar y consolidar el concepto.
Outlines
📚 Introducción al Método de Sustitución de Variable
Este párrafo introduce el método de sustitución o cambio de variable en la integración. Se menciona que el objetivo es simplificar una función para facilitar su integración. Se destaca la importancia de identificar la variable a integrar, que en este caso es 'x'. Además, se presentan dos ejemplos que demuestran cómo el cambio de variable puede transformar una integral complicada en una más simple. Se destaca la utilidad de este método cuando se tiene una raíz o una división con características específicas.
🔍 Pasos para Realizar el Cambio de Variable
En este párrafo se detallan los pasos para realizar una integración utilizando el método de sustitución de variable. Se comienza identificando si se puede hacer el cambio de variable, lo cual generalmente es posible cuando hay una división y la derivada de la parte inferior es igual a la parte superior. Seguidamente, se reemplaza la parte inferior por una nueva variable, en este caso 'u', y se derivan las expresiones con respecto a 'x' para encontrar el nuevo diferencial. Finalmente, se resuelve la integral con la nueva variable y se vuelve a la variable original, añadiendo la constante de integración.
🔧 Aplicación del Método con un Ejemplo
Este párrafo aplica el método de sustitución de variable a un ejemplo específico. Seguidiendo los pasos previamente mencionados, se realiza el cambio de variable, se resuelve la integral con la nueva variable y se traduce el resultado de vuelta a la variable original. El autor resalta la simplicidad del resultado final y anima al espectador a practicar más con este método en futuros videos. Además, se ofrecen recursos adicionales y se alienta a los espectadores a interactuar con el contenido y suscribirse al canal.
Mindmap
Keywords
💡Integración
💡Método de sustitución
💡Cambio de variable
💡Derivada
💡Diferencial
💡Logaritmo natural
💡Raíz
💡División
💡Constante de integración
💡Identificación de casos
💡Práctica
Highlights
Introducción a la integración por el método de sustitución o cambio de variable
El cambio de variable se realiza para convertir una función en otra más fácil de integrar
La variable en la integral es la 'x', y se buscará cambiarla por otra variable como 'u'
Se presentan dos ejemplos de integrales difíciles que se simplifican con el cambio de variable
Se identifica un caso específico de cambio de variable cuando hay una raíz y algo por fuera
Otro caso para el cambio de variable es cuando hay una división con ciertas características
Se explica que la derivada de lo que está abajo en la división debe ser igual a lo que está arriba para ser beneficioso el cambio de variable
Se describen los pasos generales para realizar una integral utilizando el método de sustitución o cambio de variable
Se destaca la importancia de la condición que debe cumplir la división para hacer el cambio de variable
Se muestra cómo derivar la nueva variable 'u' con respecto a 'x' para encontrar el diferencial correcto
Se resalta que el diferencial de 'u' es igual a la derivada de 'u' con respecto a 'x' multiplicado por el diferencial de 'x'
Se realiza el cambio de variable en la integral, reemplazando 'x' y su diferencial por 'u'
Se resalta la simplicidad de la integral después del cambio de variable, facilitando su integración
Se menciona que la integral de 'du' sobre 'u' es el logaritmo natural de 'u' más una constante de integración
Se indica que la respuesta final debe tener la variable inicial 'x' y no la variable de sustitución 'u'
Se proporciona una guía detallada para volver a cambiar la variable de 'u' a 'x' al final de la integración
Se invita a los espectadores a seguir el canal y a comentar sus deseos, compartiendo el video con compañeros
Se alienta a los espectadores a suscribirse al canal y a darle like al video
Transcripts
qué tal Amigas y amigos Espero que estén
muy bien en este video vamos a hacer una
pequeña Introducción a la integración
por el método de sustitución o cambio de
variable se puede decir de cualquiera de
las dos formas porque lo que vamos a
hacer es sustituir o sea cambiar una
variable primero que todo para qué es
que hacemos este método para qué es que
lo utilizamos o para qué es que nos
sirve en este caso se realiza un cambio
de variable obviamente para convertir
una función en otra más fácil de
integrar Recuerda que la variable por
ejemplo aquí tenemos esta integral
Recuerda que el diferencial una de las
cosas para la que sirve es para
ayudarnos a identificar cuál es la
variable que vamos a integrar en este
caso aquí dice diferencial de X O sea
que la variable que tenemos en esta
integral es la x aquí obviamente
encontramos la x la x la x Esa es la
variable lo que vamos a hacer es cambiar
la variable en este caso bueno en los
siguient siguentes videos vamos a ver
todos los diferentes casos en los que
generalmente se realiza el cambio de
variable y vamos a ver las
características que debe cumplir un
ejercicio para que cuando lo veamos ya
de una vez sepamos Ah ya esto lo tengo
que resolver por cambio de variable
tengo que hacer un cambio de variable y
listos Bueno entonces aquí te tengo dos
ejemplos mira que aquí tenemos una
integral que se ve super difícil y si
llegamos a hacer el cambio de variable
que ya lo vamos a ver nos quedaría mira
que aquí tiene una la variable x y si
llegáramos a hacer el cambio de variable
nos quedaría convertida esta integral en
esta que mira que esta integral ya
obviamente tiene otra variable que sería
la variable u estamos cambiando la
variable Pero además cuando cambiamos la
variable mira lo sencilla que nos queda
convertida esta integral o sea esta
integral es esta misma al hacer el
cambio de variable Obviamente si a ti te
dijeran Cuál quieres integrar esta o
esta pues obviamente o más bien cuál te
parece más fácil pues obviamente esta
integral es muy sencilla ya la vimos en
videos anteriores Bueno este sería un
caso que es Cuando tenemos una raíz y
algo por fuera ya te voy a enseñar a
identificarla como te digo en los
siguientes videos bueno Y más adelante
vamos a hacer un ejercicio muy similar a
este otra forma en la que nosotros vemos
Generalmente que se puede realizar
cambio de variable es cuando hay una
división Y esa división cumple ciertas
características en este caso Esta
división cumple esas características que
ya te las voy a decir y en este caso
aquí tenemos una función que vamos a
integrar que tiene la variable t Y si
hacemos el cambio de variable aquí nos
quedó la variable u nos queda convertida
esta integral en esta que es muy fácil
de integral es pero que ya sepas que
esta integral es logaritmo natural de 1
ya lo vimos en videos anteriores Bueno
pero entonces así se haría obviamente
haríamos el cambio de variable
integramos y ya volvemos a a la variable
inicial y listos sí eso es lo que lo que
generalmente se hace no entonces lo que
hacemos Es el cambio de variable para
que quede más fácil vamos a ver un
ejemplo y aquí están Pues los pasos que
generalmente uno sigue para realizar una
integral utilizando el método de
sustitución o cambio de variable no los
voy a leer porque Generalmente pues uno
ya se lo sabe de memoria sí lo primero
que tenemos que hacer es ver si sí
podemos hacer cambio de variable aquí
este es uno de los casos como te decía
Mira Cuando tenemos una división Pero
además qué Otra condición debe cumplir
para que podamos hacer el cambio de
variable o para que no sea beneficioso
hacer el cambio de variable la condición
que debe cumplir es la siguiente
generalmente la mayoría de las veces no
siempre pero la mayoría de las veces
como te digo en los siguientes videos
vamos a ver todos los casos la mayoría
de las veces cuando tenemos una división
Y si la derivada de lo que está
abajo hagamos el ejercicio miremos la
derivada de lo que está abajo cuidado
que mira que te estoy diciendo diciendo
deriv demos o sea aquí no vamos a
integrar para comprobar si se puede
hacer cambio de variable Entonces si
derivamos lo que está abajo recordemos
derivadas la derivada de X cu Le bajamos
el exponente y le restamos 1o queda 2x
la derivada de Bueno aquí dice menos la
derivada de X que acuérdate que es 1 más
la derivada de 4 que es una constante o
sea 0 entonces quitamos ese más entonces
mira que en este caso la derivada de lo
que está abajo es Exactamente igual a lo
que está arriba siempre que suceda Esto
entonces es porque nos es beneficioso
realizar cambio de variable y lo vamos a
hacer no entonces aquí pues obviamente
mira que lo que está arriba es la
derivada de lo que está abajo y pues
además siempre va a estar el diferencial
no siempre tenemos la integral debe
tener el diferencial listos Entonces ya
identificamos que sí se puede puede
hacer cambio de variable obviamente este
ejercicio lo voy a hacer supremamente
despacio explicándote todo para que ya
Incluso en el siguiente video hagas eso
como una práctica listos Entonces ya
sabemos que se puede hacer cambio de
variable Entonces ahora sí empezamos a
resolver cuál sería el primer paso pues
Buscar qué es lo que tenemos que cambiar
que es muy sencillo En estos casos
siempre reemplazamos lo que está abajo
por qué lo reemplazamos Pues por otra
variable mira que aquí la variable era
la x vamos a cambiarlo por otra variable
Tú puedes escoger la variable a b c pero
Generalmente en este tema uno yo no sé
ya Por qué cambia por la variable u
Entonces vamos a cambiar por la variable
u todo lo que estaba abajo Qué es lo que
está abajo x cu - x +
4 o sea que ahora cuando nosotros
escribamos nuevamente la integral en
lugar de todo esto vamos a escribir
solamente la letra u Y mira que
obviamente nos hace más fácil la
integral Si en lugar de todo esto dice
solamente la u pues es muy fácil de
integrar Pero además como tenemos que
cambiar la variable debemos cambiar
todas las demás variables o sea debemos
cambiar esta variable y también el
diferencial debe decir la misma variable
o la O sea la variable u Entonces cómo
hacemos para buscar todo esto demás que
tenemos que cambiar Pues para eso lo que
hacemos Es derivar entonces derivamos
aquí derivamos con respecto a x o sea a
la variable que teníamos inicialmente
listos aquí derivamos Recuerda que
cuando nosotros
derivándose derivada de u con respecto a
x que nosotros también podíamos escribir
las derivadas como derivada de y con
respecto a x Si fuéramos a derivar con
respecto a x listos entonces Recuerda
que estamos derivando no escribimos así
sino escribimos derivada de u con
respecto a x entonces escribimos eso no
derivamos la u con respecto a x Sí mira
que de aquí ya vamos a encontrar por qué
vamos a cambiar este diferen sí Ahora
derivamos aquí también con respecto a x
entonces derivada Aquí bajamos el
exponente y le restamos uno derivada
bueno menos esta derivada ya la habíamos
hecho es uno y la derivada de 4 es 0
entonces aquí qué es lo que vamos a
buscar el diferencial Sí este
diferencial que cuidado que esto no es
una división Pero lo podemos hacer como
que se comporta como una división
podríamos decir que el diferencial de X
está dividiendo y pasa a multiplicar
entonces aquí nos queda daría
diferencial de u es igual a 2x -
1 multiplicado por el diferencial de X
Cuidado Que vuelvo a decirte no es
multiplicado es que el diferencial Bueno
si quieres averiguar un poquito más te
invito a Que investigues un poquito más
esto listos entonces mira que aquí ahora
ya sabemos que en nuestra integral en
donde diga x cu - x + 4 que es esto lo
vamos a cambiar por la letra u Y además
lo bueno que tiene esto es que en donde
diga 2x - 1 con el diferencial de X todo
eso lo vamos a cambiar simplemente por
el diferencial de u que mira que es
exactamente lo que dice aquí por eso es
que primero comprobamos No mira que dice
2x - 1 con el diferencial de x o sea
todo eso de arriba lo vamos a cambiar
por el diferencial de u listos Entonces
ya hicimos el primer paso Ya hicimos el
segundo que era deriv ar para buscar lo
demás ahora vamos a hacer el tercer paso
que es pues cambiar la variable entonces
escribimos nuevamente esta integral o
sea igual a la misma integral pero ya
vamos a hacer el cambio de variable
entonces mira que aquí dice una división
obviamente aquí va a seguir quedando una
división qué decía arriba de la división
arriba decía 2x - 1 dx Recuerda que este
diferencial de X se puede poner aquí o
se puede poner arriba 2x - 1 diferencial
de X todo eso lo cambiamos por
simplemente diferencial
deu ahora abajo Qué dice X cu - x + 4
todo eso lo reemplazamos por simplemente
la u y mira lo sencillo que quedó ahora
sí como te decía Pues nos quedó una
integral muy fácil de realizar Entonces
espero que ya la sepas la integral de du
sobre u o del diferencial de u sobre u
es logaritmo natural de u y y obviamente
le sumamos la constante de integración
Ya integramos ahora nos falta el último
paso recuerda que siempre como el
ejercicio inició con la variable x debe
terminar con la variable x O sea qué es
lo que vamos a hacer aquí esta u no
puede estar en la respuesta porque debe
estar la x qué es lo que hacemos pues
nos devolvemos digámoslo así O sea
volvemos a cambiar esta u
por x cu - x + 4 entonces aquí
escribimos igual a logaritmo natural d Y
en lugar de la u devolvemos el paso y
ahora escribimos x
cu - x + 4 y Qué sigue después sigue más
la constante de integración y ya
terminamos nuestra integral mira lo
fácil que es en los siguientes videos
como te decía vamos a practicar con
todos los casos en los que se puede
utilizar cambio de variable y pues bueno
Espero que te haya gustado mi forma de
explicar y si es así te invito a que
veas los demás videos del curso para que
ahora sí practiquemos con sustitución o
cambio de variable Aquí también te dejo
Algunos videos que estoy seguro que te
van a servir No olvides comentar lo que
desees comparte este video con tus
compañeros y compañeras y seguro te lo
van a agradecer te invito a que te
suscribas al Canal a que le des un buen
like a este video y no siendo más bye
bye
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