Binary Operations (Closure) : ExamSolutions Maths Revision

Summary

In diesem Video wird erklärt, was es bedeutet, wenn eine Menge unter einer binären Operation abgeschlossen ist. Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn das Anwenden der Operation auf zwei beliebige Elemente der Menge immer ein weiteres Element derselben Menge ergibt. Anhand von Beispielen wie den reellen Zahlen unter Addition und einer eingeschränkten Menge {1, 2, 3} unter der Subtraktion werden diese Konzepte verdeutlicht. Zusätzlich wird gezeigt, wie man mit einer Tabelle überprüft, ob eine Menge unter einer bestimmten binären Operation abgeschlossen ist. Das Video endet mit einer Vorschau auf das Thema der Kommutativität in der nächsten Lektion.

Takeaways

• 😀 Ein Satz ist unter einer binären Operation geschlossen, wenn das Ergebnis der Operation zwischen zwei Elementen des Satzes immer ein Mitglied dieses Satzes ist.
• 😀 Ein Beispiel für einen geschlossenen Satz ist die Menge der realen Zahlen unter der Addition, da die Addition von zwei realen Zahlen immer eine reale Zahl ergibt.
• 😀 Wenn wir zwei reale Zahlen wie 2 und 3 addieren, erhalten wir 5, was ein Mitglied der Menge der realen Zahlen ist.
• 😀 Wenn wir 6 und -9 addieren, erhalten wir -3, was ebenfalls eine reale Zahl ist und somit zu der Menge der realen Zahlen gehört.
• 😀 Ein Beispiel für einen nicht geschlossenen Satz ist die Menge S = {1, 2, 3} unter der Subtraktion, da das Ergebnis der Subtraktion nicht immer ein Mitglied der Menge ist.
• 😀 Die Subtraktion von 1 und 2 ergibt -1, was nicht in der Menge S = {1, 2, 3} enthalten ist, was bedeutet, dass der Satz nicht unter dieser Operation geschlossen ist.
• 😀 Um zu überprüfen, ob ein Satz unter einer Operation geschlossen ist, kann eine Tabelle der verschiedenen Kombinationen der Elemente des Satzes erstellt werden.
• 😀 Für die Menge S = {1, 2, 3} unter der Subtraktion werden Werte wie -1 und 5 berechnet, die nicht in der Menge enthalten sind, was die Nicht-Verschlossenheit zeigt.
• 😀 Ein weiteres Beispiel für einen geschlossenen Satz ist die Menge S = {0, 2, 4} mit der binären Operation a * b = (a + b - ab) / 2, da alle Ergebnisse der Operation in der Menge enthalten sind.
• 😀 Die Schließung unter einer binären Operation stellt sicher, dass alle Ergebnisse der Operation innerhalb des Satzes bleiben, was für die Menge S = {0, 2, 4} unter der gegebenen Operation zutrifft.
• 😀 Der nächste Schritt im Lernprozess wird die Untersuchung der Eigenschaft der Kommutativität sein, die ein weiteres wichtiges Konzept in der Mathematik darstellt.

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