An Introduction to the Poisson Distribution

Summary

Das Video bietet eine Einführung in die Poisson-Verteilung, eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird verwendet, um die Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeitraum oder Raum zu zählen. Voraussetzung ist, dass die Ereignisse unabhängig und mit konstanter Rate auftreten. Es wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung vorgestellt und anhand eines Beispiels erklärt, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von radioaktiven Zerfällen berechnet. Es wird auch erläutert, wie die Verteilung mit der Binomialverteilung zusammenhängt und warum sie oft als Annäherung verwendet wird.

Takeaways

• 📊 Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Vorkommnisse eines Ereignisses in einem festen Zeitraum oder Raum zählt.
• 🔄 Ereignisse treten unabhängig voneinander auf, d.h. das Auftreten eines Ereignisses gibt keine Information über das nächste Ereignis.
• 📉 Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bleibt über die Zeit konstant, was eine der Voraussetzungen für die Poisson-Verteilung ist.
• 🔢 Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Poisson-Verteilung ist gegeben durch: (λ^x * e^(-λ)) / x!, wobei λ der Mittelwert der Verteilung ist.
• 🧮 Der Mittelwert (mu) und die Varianz (sigma²) der Poisson-Verteilung sind beide gleich λ.
• 🧪 Ein Beispiel ist das Zerfallen von Plutonium-239, das im Durchschnitt 2,3 radioaktive Zerfälle pro Sekunde aufweist. Die Anzahl der Zerfälle in einer bestimmten Zeitspanne folgt näherungsweise einer Poisson-Verteilung.
• 🧑‍🏫 Um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Ereignissen zu berechnen, wird die Poisson-Wahrscheinlichkeitsfunktion verwendet, z. B. für genau 3 Zerfälle in 2 Sekunden: 0,163.
• 📈 Die Verteilung hat eine leichte Rechtsschiefe, die von dem Wert von λ abhängt. Wenn λ groß ist, ist die Verteilung fast symmetrisch, bei kleinen Werten ist die Schiefe stärker.
• ➕ Um Wahrscheinlichkeiten für mehrere Ereignisse zu summieren, kann man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren, wie im Beispiel der Wahrscheinlichkeit von höchstens 3 Zerfällen.
• 🔄 Die Poisson-Verteilung ist oft eine gute Näherung für die Binomialverteilung, insbesondere wenn die Anzahl der Versuche (n) groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) klein ist.

Q & A

Was ist die Poisson-Verteilung und wann wird sie verwendet?

Die Poisson-Verteilung ist eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die verwendet wird, um die Anzahl der Ereignisse in einer bestimmten Zeiteinheit, Entfernung, Fläche oder Volumen zu zählen. Sie wird oft verwendet, wenn Ereignisse unabhängig voneinander und zufällig auftreten.

Welche Annahmen müssen erfüllt sein, damit eine Zufallsvariable der Poisson-Verteilung folgt?

Die Ereignisse müssen unabhängig voneinander auftreten, und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem bestimmten Zeitraum darf sich nicht ändern. Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander auftreten.

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung?

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung ist p(x) = (λ^x * e^(-λ)) / x!, wobei λ die mittlere Anzahl von Ereignissen und x eine nicht-negative ganze Zahl ist.

Was bedeuten λ und μ in der Poisson-Verteilung?

λ steht für die mittlere Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitraum, während μ das Mittel der Zufallsvariable X darstellt. In der Poisson-Verteilung sind λ und μ gleich.

Was ist ein Beispiel für die Anwendung der Poisson-Verteilung?

Ein Beispiel ist das Zählen der Anzahl radioaktiver Zerfälle eines Plutonium-239-Isotops in einem bestimmten Zeitraum. Die durchschnittliche Anzahl der Zerfälle kann mit der Poisson-Verteilung modelliert werden.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Ereignisse in einem Zeitraum auftreten?

Man setzt die Werte in die Wahrscheinlichkeitsfunktion ein: p(3) = (λ^3 * e^(-λ)) / 3! Für λ = 4.6 ergibt dies p(3) = 0,163.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Ereignisse auftreten?

Man berechnet die Wahrscheinlichkeiten für die Werte 0, 1, 2 und 3 und addiert diese. In diesem Fall ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Ereignisse zu 0,326.

Welche Beziehung besteht zwischen der Binomial- und der Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung ist eine Näherung der Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Versuche n groß ist und die Wahrscheinlichkeit p eines einzelnen Ereignisses klein ist, wobei np konstant bleibt.

Warum wird die Poisson-Verteilung als gute Annäherung verwendet?

Obwohl die Poisson-Verteilung die Realität nicht immer genau widerspiegelt, wird sie oft als eine gute Annäherung verwendet, besonders wenn die Ereignisse selten und unabhängig sind.

Wie beeinflusst der Wert von λ die Form der Poisson-Verteilung?

Wenn λ klein ist, weist die Poisson-Verteilung eine starke Rechtsschiefe auf. Wenn λ größer wird, nähert sich die Verteilung einer symmetrischen Form an.