Diagonalización de matrices 2
Summary
TLDREl video ofrece una explicación detallada sobre cómo analizar si una matriz es Thiago analizable, es decir, si puede ser diagonalizable. Se comienza calculando el polinomio característico de la matriz A, que resulta en x^2. Luego, se examina si este polinomio se puede expresar como producto de polinomios de grado 1 y si la dimensión del subespacio propio asociado a cada valor propio coincide con su multiplicidad. En este caso, el único valor propio es 0 con multiplicidad 2. Sin embargo, al calcular el subespacio propio correspondiente a 0, se encuentra que su dimensión es 1, no cumpliendo con la condición necesaria. Por lo tanto, se concluye que la matriz A no es Thiago analizable. El video utiliza el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales y proporciona una base para el subespacio propio asociado al valor propio 0. El contenido es adecuado para estudiantes de universidad y secundaria interesados en la teoría de matrices y álgebra lineal.
Takeaways
- 🧮 La matriz A es analizable si el polinomio característico se puede expresar como producto de polinomios de grado 1 y la dimensión del subespacio propio asociado a cada valor propio coincide con su multiplicidad.
- 📏 El polinomio característico de la matriz A se calcula como el determinante de (A - xI), donde I es la matriz identidad.
- 🔍 El determinante de (A - xI) para una matriz 2x2 es desarrollado para encontrar el polinomio característico.
- ✅ El polinomio característico para la matriz A dada en el script es x^2, lo que indica que se puede expresar como producto de polinomios de grado 1.
- 🌟 El único valor propio encontrado para la matriz A es 0, con una multiplicidad de 2.
- 🔢 Para determinar los valores propios, se resuelven las ecuaciones Ax = λx, donde A es la matriz en cuestión y λ es el valor propio.
- 📉 El núcleo de la aplicación lineal asociada a la matriz A, que es el subespacio propio para el valor propio 0, se resuelve mediante un sistema de ecuaciones lineales homogeneas.
- 🎯 Al aplicar el método de Gauss a dicho sistema, se obtiene una ecuación que permite determinar el generador del subespacio propio asociado a 0.
- 🚫 La matriz A no es Thiago analizable ya que la dimensión del subespacio propio asociado al valor propio 0 (que es 1) no coincide con su multiplicidad (que es 2).
- 📚 El subespacio propio generado por un vector no nulo es una base para ese subespacio, y en este caso, el vector que lo genera es distinto de cero.
- 📝 La importancia de entender los conceptos de valores propios, multiplicidad y subespacios propios para determinar si una matriz es analizable o no.
Q & A
¿Qué es un polinomio característico en el contexto de la matriz A?
-El polinomio característico es el determinante de la matriz resultante de restar x a los elementos de la diagonal de la matriz A y se utiliza para encontrar los valores propios de la matriz.
¿Cómo se forma la matriz de paso en el caso de la matriz A 2x2?
-La matriz de paso se forma restando la matriz identidad por el valor x a la matriz A. Esto se hace para calcular el determinante del polinomio característico.
¿Por qué es importante que el polinomio característico pueda expresarse como producto de polinomios de grado 1?
-Es importante porque esto indica que la matriz es diagonalizable, lo que significa que puede ser escrita como una combinación de matrices de Householder y matrices de reflexión.
¿Cuál es el único valor propio de la matriz A en el ejemplo dado?
-El único valor propio de la matriz A en el ejemplo es cero, ya que el polinomio característico es x al cuadrado.
¿Cómo se determina si una matriz es Thiago analizable?
-Una matriz es Thiago analizable si cumple con dos condiciones: el polinomio característico se puede expresar como un producto de polinomios de grado 1 y la dimensión del subespacio propio asociado a cada valor propio coincide con su multiplicidad.
¿Qué es el subespacio propio y cómo se relaciona con los valores propios de una matriz?
-El subespacio propio es el conjunto de vectores no nulos que se transforman en vectores colineales bajo la aplicación de la matriz. Está asociado a cada valor propio y su dimensión indica la multiplicidad de ese valor propio.
¿Cómo se resuelve el sistema lineal homogéneo para encontrar el subespacio propio asociado al valor propio 0?
-Se resuelve utilizando el método de Gauss o cualquier otro método para sistemas lineales. En este caso, se busca encontrar vectores que satisfagan la condición Av=0, donde A es la matriz y v es el vector del subespacio propio.
¿Por qué la matriz A en el ejemplo no es Thiago analizable?
-La matriz A no es Thiago analizable porque, aunque el polinomio característico cumple con la primera condición, la dimensión del subespacio propio asociado al único valor propio (0) es 1, lo que no coincide con su multiplicidad, que es 2.
¿Cómo se determina la base del subespacio propio asociado al valor propio 0?
-Se determina resolviendo el sistema lineal homogéneo y encontrando un vector no nulo que satisfaga la condición de ser transformado en cero por la matriz A. Este vector se utiliza como generador del subespacio propio.
¿Qué implica que un vector sea un generador de un subespacio propio?
-Significa que todo el subespacio propio se puede obtener como combinación lineal de ese vector. En el caso del subespacio propio asociado al valor propio 0, el vector generador indica que el subespacio propio es de una dimensión.
¿Por qué es crucial comprobar que la dimensión del subespacio propio coincida con la multiplicidad del valor propio para determinar si una matriz es Thiago analizable?
-Es crucial porque esta coincidencia garantiza que la matriz se puede descomponer en una suma de matrices de Jordan, que es una condición necesaria para que la matriz sea Thiago analizable.
Outlines
🧮 Análisis de Matriz y Polinomio Característico
En el primer párrafo, se aborda un problema típico de análisis de matrices. Se presenta una matriz A de 2x2 y se inicia el proceso para calcular su polinomio característico, definido como el determinante de la matriz A menos x por la matriz identidad. A través de cálculos, se desarrolla el determinante y se obtiene el polinomio característico p(x) = x^2. Se discuten las condiciones para que una matriz sea diagonalizable: la factorización del polinomio en factores de grado 1 y la dimensión del subespacio propio asociado a cada valor propio coincidiendo con su multiplicidad. Se determina que el único valor propio es cero con multiplicidad 2, y se calcula el subespacio propio asociado.
🔍 Determinación del Subespacio Propio y Análisis de Diagonalización
El segundo párrafo se enfoca en el cálculo del subespacio propio asociado al valor propio 0. Se resuelve un sistema de ecuaciones lineales homogéneo para encontrar los vectores que generan el subespacio propio. A través del método de Gauss-Jordan, se simplifica el sistema y se identifica que el subespacio propio está generado por un único vector, lo que indica que su dimensión es 1. Sin embargo, esto entra en conflicto con la multiplicidad del valor propio 0, que es 2. Como resultado, se concluye que la matriz A no es diagonalizable, no cumpliendo con la segunda condición para la diagonalización.
📺 Conclusión del Vídeo y Llamado a la Interacción
El tercer párrafo no contiene información técnica, sino que es un mensaje final dirigido al espectador. El presentador expresa su aprecio por los 'me gusta' y las suscripciones a su canal, donde se ofrecen miles de videos educativos para repasar conceptos de universidad y secundaria de manera detallada. Se cierra el video agradeciendo y despidiendo al público.
Mindmap
Keywords
💡Matriz
💡Diagonalizable
💡Polinomio característico
💡Valores propios
💡Subespacio propio
💡Multiplicidad
💡Método de Gauss
💡Núcleo de una aplicación lineal
💡Sistema generador
💡Base de un espacio vectorial
💡Thiago analizabilidad
Highlights
Se analiza si la matriz A mostrada en pantalla es Thiago analizable.
Se calcula el polinomio característico de la matriz A, que resulta en x^2.
Para que la matriz sea Thiago analizable, el polinomio característico debe expresarse como producto de polinomios de grado 1.
Se determina que el único valor propio de la matriz A es cero, con multiplicidad 2.
Se resuelve el sistema lineal homogéneo para encontrar el subespacio propio asociado al valor propio 0.
El subespacio propio asociado al valor propio 0 se identifica como el núcleo de la aplicación lineal.
Se utiliza el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
Se encuentra que el subespacio propio generado por el vector (-1/2, 1) es un sistema libre.
La dimensión del subespacio propio asociado a 0 es 1, lo que no coincide con su multiplicidad.
Se concluye que la matriz A no es Thiago analizable debido a que no se cumple la segunda condición.
El polinomio característico de la matriz A es x^2, lo que indica que la matriz tiene un valor propio múltiple.
La matriz identidad 2x2 es utilizada para calcular el determinante del polinomio característico.
Se resalta la importancia de las condiciones para que una matriz sea Thiago analizable.
Se describe el proceso de desarrollo del determinante para llegar al polinomio característico.
Se resalta la necesidad de que la dimensión del subespacio propio coincida con la multiplicidad del valor propio.
Se explica que la matriz A, con un valor propio de cero, no cumple con la condición de Thiago analizabilidad.
Se proporciona una guía detallada paso a paso para el análisis de la matriz A.
El vídeo ofrece una revisión didáctica de la organización y análisis de matrices en contextos matemáticos.
Transcripts
[Música]
analicemos si la matriz a que aparece en
pantalla es thiago analizable y en caso
afirmativo calculemos una matriz
diagonal semejante y una matriz de paso
estamos ante un problema típico de
thiago organización tenemos una matriz a
2 x 2 entonces lo primero que vamos a
hacer es calcular el polinomio
característico de a sea este px entonces
por definición tenemos que es el
determinante de la matriz a menos x por
la matriz identidad 2 por todos entonces
esto nos quedaría sustituyendo la matriz
a y la matriz identidad determinante de
a pues ponemos su valor menos x por la
matriz de identidad 2 por 2 es 100 1
entonces esto sería pues tendríamos
determinante de la matriz a menos x por
la matriz identidad multiplicamos x por
cada uno de los elementos tenemos x 0 0
x y esto nos quedaría el determinante de
la resta de esas matrices
entonces vamos a tener una matriz por lo
tanto no ponemos los paréntesis y restar
esas matrices pues menos 2
x menos 10 140 4 y 2 - x
observa que obtenemos el determinante de
la matriz que resulta de restar x a los
elementos de la diagonal de a así
podrías hacer esto tú directamente
escribir directamente que el polinomio
característico es el determinante pues
lo dicho de la matriz que resulta de
restar x a los elementos de la diagonal
de a todos vamos a desarrollar este
determinante pues tendríamos menos dos
menos x por 2 - x menos 4 x menos 1 y
esto te quedaría si desarrollamos el
producto menos dos por dos menos 4 - 2
por menos x + 2 x - x por 2 - 2x y menos
x por menos x + x al cuadrado ahora
menos 4 x menos 14 entonces aquí serían
menos 4 con el + 4 el 2x con el menos
dos equis y obtendríamos x al cuadrado
así ya tenemos el polinomio
característico entonces vamos a borrar
todo el desarrollo y vamos a dejar
solamente que p de x es igual a x el
cuadrado ahí está y recuerda que la
matriz a va a ser diagonal y tablet si
cumple dos condiciones en primer lugar
que el polinomio característico pueda
expresarse como producto de polinomios
de grado 1 y en segundo lugar que para
cada valor propio la dimensión del sub
espacio propio asociado coincida con su
multiplicidad entonces en primer lugar
observa que nuestro polinomio
característico pd xx al cuadrado puede
expresarse claramente como producto por
los números de grado 1 ya que podría
escribirse como x por x por lo tanto se
cumple la primera condición para que la
matriz sea thiago analizable y ahora nos
faltaría la segunda condición la
relativa a los valores propios
así determinemos éstos como sabes los
valores propios son los lambda
pertenecientes a er
tal que existe un vector v distinto de 0
tal que a por v es la cndh a v
escribiendo este vector como una matriz
columna y a la hora de calcular se no
tienes que olvidar lo anterior pero para
calcularlo sabes que son las raíces del
polinomio característico nuestro caso
polinomio característicos x al cuadrado
claramente la única raíz que tenemos es
0 por lo tanto el único valor propio de
a es cero
y el exponente del factor que anula 0 en
el polinomio característico es x que
está elevado a 2 por lo tanto tendría
multiplicidad 2 entonces ahora veamos la
segunda condición para el único valor
propio que tiene nuestra matriz que es 0
entonces tenemos que ver que la
dimensión del sub espacio propio
asociado a 0 coincide con la
multiplicidad de 0 que sabes que estos
entonces calculamos en su espacio propio
asociado 0 que denotamos por v de 0 como
sabes son los vectores xy pertenecientes
a r 2 tales que a por xy es igual a 0
por x y entonces sustituyendo la
expresión de a y realizando el producto
la segunda parte de la igualdad
tendríamos que estos serían los xy
pertenecientes a r2 tales que
sustituimos a menos dos menos 142 por x
si te queda igual a cero por xy es cero
cero
entonces aunque no lo vamos a utilizar
observa que tendríamos como siempre que
vd 0 sub espacio propio asociado al
valor propio 0 sería el núcleo de la
aplicación lineal tal que su matriz
respecto de la base canónica sería la
matriz a bueno entonces el sub espacio
propio asociado al valor propio 0 sería
el núcleo de dicha aplicación como digo
esto no lo vamos a utilizar pero lo
citamos aquí para que te suene y
entonces pues vamos a desarrollar ese
producto en matrices que tenemos ahí
entonces esto nos quedaría los x xi
pertenecientes a r2 se observa que
tenemos una matriz 2 x 2 multiplicada
por una matriz 2 por 1 esto nos quedaría
una matriz dos por uno igual haríamos
elemento a elemento con la matriz de la
parte derecha de la igualdad que es cero
cero luego igualamos cada uno de los
elementos del producto a cero
en primer lugar tendríamos menos 2 x
más menos 1 por y que es menos y igual a
0 y ahora tendríamos 4 x 2 x y igual a
cero entonces tenemos que los elementos
dvd 0 serían las soluciones de este
sistema de ecuaciones lineales homogéneo
entonces vamos a resolverlo no hacemos
por el método de caos escribimos ahí la
matriz este sistema entonces tenemos que
hacer ceros con este menos 2 abajo qué
número hay que multiplicar a menos 2 tal
que al sumarlo con 4 nos dé 0 claramente
2 entonces hacemos 2 por la primera fila
más la segunda fila escribimos una
matriz la primera fila como es la que
hace ceros que da igual y en lugar de la
segunda fila escribimos 2 por la primera
fila más la segunda fila tendríamos dos
x menos 2 menos 4 4 0 2 x menos uno
menos 2 20 y 2 por 0 0 0 0 entonces
nuestro sistema sería equivalente
sistema cuya matriz sería esta que
aparece aquí en la matriz ampliada
observa que la última fila todos los
elementos son 0 entonces se traduce como
la ecuación o mejor dicho la identidad 0
igual a 0 eso pues ya lo sabemos ignora
y solo nos quedaremos con la primera
fila obtenemos un sistema formado por la
ecuación menos 2 x menos y igual a cero
entonces al acabar el proceso de caos
tenemos dos incógnitas menos una
ecuación igual a un parámetro con las
incógnitas siempre nos tenemos que fijar
en la definición de su espacio tenemos
xy porque puede ocurrir que en las
ecuaciones se te vaya alguna pero
también sería incógnita aunque no
aparezcan las ecuaciones entonces
empezamos con el final el parámetro va a
ser te llamamos igual te te variarán r
entonces esto lo sustituimos en la
primera ecuación tendríamos menos 2 x
menos y que esté igual a 0 entonces éste
te lo pasamos a la parte derecha tenemos
menos 2 x igual a ti y entonces
sería igual a de partido 2 escribimos
una raya de fracción más entre menos es
menos lo ponemos arriba de medios
entonces tenemos que toda solución del
sistema considerado pues tiene esta
forma x menos de medios y igual para un
cierto valor de t entonces ya sabes que
se considera es un xy perteneciente a v
de 0 sería solución de ese sistema y por
lo tanto tendría esa forma tendríamos
que xy sería igual a la x es menos de
medios la y este entonces de aquí
sacamos de fuera tenemos t que
multiplica menos un medio uno entonces
todo vector dvd 0 como veces combinación
lineal de menos un medio uno luego el
conjunto formado por este vector sería
un sistema generador dvd cero tendremos
que vd 0 estaría generado por el vector
menos un medio 1
entonces vamos a borrar todo lo que
tenemos aquí y escribimos esto ahí en la
parte izquierda donde es una vez que
tenemos esto observa qué
el vector que genera v de 0 es un vector
distinto de 0 por lo tanto tenemos que
el conjunto formado por este vector
sería un sistema libre un sistema libre
que genera v de 0 por lo tanto
tendríamos que el conjunto formado pro
vector menos un medio 1 sería una base
de v de 0 así llegamos a que la
dimensión dvd 0 como tenemos una base
con un elemento sería 1 pero esto es
distinto de la multiplicidad de 0 que
recuerda que estos por lo tanto para
alguno de los valores propios no se
satisfacen la segunda condición de hecho
no se satisface para el único valor
propio con que falle con alguno pues ya
está se obtiene que la matriz a no es
thiago realizable y hemos terminado
espero que te haya gustado este vídeo si
es así gracias por pulsar me gusta y lo
que te agradezco un montón es que te
suscribas a mi canal donde encontrarás
miles de vídeos de universidad y también
de secundaria para repasar todo
explicado paso a paso
muchísimas gracias
hasta pronto
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