Grandes temas de la matemática: Capítulo 9: Lógica y paradojas

Summary

El guion explora las paradojas matemáticas y cómo desafían la lógica tradicional. Se menciona a Bertrand Russell y su paradoja de los conjuntos, que cuestiona la consistencia de la lógica y la matemática. También se habla de Kurt Gödel y su teorema de incompletitud, que demuestra la existencia de enunciados verdaderos pero no demostrables dentro del sistema aritmético. La narrativa sugiere que la matemática, a pesar de ser vista como una ciencia exacta, tiene su espacio para la incertidumbre y la contradicción.

Takeaways

• 🧑‍🔬 La matemática, a menudo vista como una ciencia exacta, presenta paradojas donde una afirmación puede ser cierta y falsa al mismo tiempo.
• 🌐 La paradoja de Russell desafía la lógica tradicional al presentar un enunciado que no se puede determinar si es verdadero o falso.
• 📚 Bertrand Russell, a la edad de 11 años, se interesó en la geometría y más tarde desafió las bases de la matemática con la lógica.
• 🌳 La teoría de conjuntos, fundamentada por Frege, fue cuestionada por Russell al encontrar un error en su sistema de axiomas.
• 🐕 La paradoja del perro Fido ilustra la dificultad de definir si un conjunto puede contener a sí mismo como elemento.
• 🔄 La paradoja de Russell muestra la autorreferencia y cómo puede llevar a contradicciones lógicas dentro de la matemática.
• 🌐 Kurt Gödel, con su teorema de incompletitud, demostró que hay proposiciones matemáticas que son verdaderas pero no demostrables dentro de un sistema formal.
• 📚 La lógica clásica, que buscaba fundamentar la matemática, se vio desafiada por la aparición de paradojas como la de Russell.
• 🚀 La matemática se vio expandida y diversificada, lo que llevó a la necesidad de encontrar maneras de formalizar y asegurar sus fundamentos.
• 🌀 La paradoja de Pímenides ('Yo miento') fue utilizada por Gödel para desarrollar su teorema de incompletitud, impactando la visión de la lógica matemática.

Q & A

¿Qué es una paradoja lógica y cómo se relaciona con la matemática?

Una paradoja lógica es una proposición que parece ser verdadera pero contiene una contradicción lógica en su esencia. En matemáticas, una paradoja puede desafiar los fundamentos de la lógica y la certeza, llevando a la exploración de conceptos como la veracidad indecidible y la incertidumbre.

¿Quién fue Bertrand Russell y qué aportó a la filosofía y la matemática?

Bertrand Russell fue un filósofo, matemático y escritor inglés que contribuyó significativamente a la filosofía analítica y a la lógica matemática. Descubrió la paradoja de Russell en la teoría de conjuntos, lo que desafinó los límites de la lógica y la matemática de su tiempo.

¿Qué es la paradoja de Russell y cómo afecta a la teoría de conjuntos?

La paradoja de Russell, también conocida como la paradoja de los conjuntos autoreferenciados, plantea la pregunta de si un conjunto puede contener a sí mismo como elemento. Esta paradoja desafía la consistencia de la lógica y la matemática, llevando a la necesidad de redefinir las nociones de conjuntos y sus propiedades.

¿Qué es la paradoja del barbero y cómo funciona?

La paradoja del barbero es un ejemplo de paradoja lógica donde el barbero afirma afeitar solo a aquellos que no se afeitan a sí mismos. Al preguntarse quién afeita al barbero, se enfrenta a una contradicción lógica, ya que si se afeita o no, se violaría su propia afirmación.

¿Qué es la paradoja de los perros Fido y cómo se relaciona con la autoreferencia?

La paradoja de los perros Fido plantea un dilema similar al de Russell, pero con perros que pueden o no figurar en su propia lista de perros que pueden ser olfateados. Esto lleva a una contradicción lógica al intentar determinar si Fido, que tiene en su lista a todos los perros blancos, puede ser negro o blanco.

¿Qué es el principio de no contradicción y cómo se ve afectado por las paradojas?

El principio de no contradicción es una ley lógica que afirma que una proposición no puede ser a la vez verdadera y falsa. Las paradojas, como la de Russell o la del barbero, presentan situaciones que parecen violar este principio, desafiando la lógica clásica y la certeza matemática.

¿Quién fue Kurt Gödel y qué significó su teorema de incompletitud para la matemática?

Kurt Gödel fue un matemático y lógico austríaco conocido por su teorema de incompletitud. Este teorema demuestra que en cualquier sistema formal suficientemente complejo para describir la aritmética, hay enunciados que son verdaderos pero no demostrables desde dentro del sistema mismo, lo que indica una inherente incompletitud en la matemática.

¿Cómo se relaciona la teoría de la incompletitud de Gödel con las paradojas lógicas?

El teorema de incompletitud de Gödel es una consecuencia de las paradojas lógicas y la incertidumbre que estas introducen. Muestra que no es posible tener un sistema lógico y matemático completamente cerrado y demostrativo, ya que siempre existirán verdades que no pueden ser demostradas dentro de ese sistema.

¿Qué implica la paradoja de los conjuntos autoreferenciados para la filosofía de la ciencia?

La paradoja de los conjuntos autoreferenciados sugiere que hay límites en la capacidad de la lógica para describir y comprender el universo. Esto lleva a la filosofía de la ciencia a considerar la incertidumbre y la limitación de las herramientas conceptuales que utiliza para entender el mundo.

¿Cómo la paradoja de Russell influyó en el desarrollo de la lógica y la filosofía matemática?

La paradoja de Russell llevó a una reevaluación de los fundamentos de la lógica y la matemática, impulsando el desarrollo de sistemas alternativos y la búsqueda de axiomas más estables. También influenció en la filosofía matemática, cuestionando la idea de que toda proposición matemática es decidible.

Outlines

00:00

📐 Matemáticas y Paradojas

Este párrafo introduce la matemática como una ciencia exacta donde las afirmaciones son generalmente consideradas ciertas o falsas. Sin embargo, plantea la posibilidad de que una afirmación pueda ser a la vez cierta y falsa, o que no pueda decidirse su veracidad, lo cual desafía la lógica. Se menciona la paradoja de Bertrand Russell y cómo esta y otras paradojas llevan a la matemática al límite de lo que es flexible en la lógica y cómo la incertidumbre se vuelve un espacio inquietante. La historia de Bertrand Russell y su amor por la geometría desde los 11 años se narra, mostrando cómo su curiosidad lo llevó a cuestionar los axiomas matemáticos y a desarrollar una rebeldía intelectual. También se habla de la influencia de Frege en la lógica matemática y cómo la matemática se multiplicaba en diferentes ramas, lo que llevó a los matemáticos a buscar formalizar los fundamentos de sus saberes.

05:02

🔎 La Paradoja de Russell

En este párrafo se explora la paradoja de Russell como un ejemplo de una proposición que parece verdadera pero contiene una contradicción lógica. Se describe la paradoja del barbero, que plantea una situación donde no se puede determinar si el barbero se afeita a sí mismo o no, desafiando así la lógica tradicional. Se explica cómo Russell encontró un enunciado que no podía ser ni verdadero ni falso, lo que representó un límite para la lógica. Se sugiere que la paradoja es un problema intrínseco de la lógica y que si aparece en un sistema lógico, puede desmoronar todo el sistema. El relato del perro Fido y las reglas para olfatear a otros perros se utiliza para ilustrar cómo las reglas pueden ser contradictorias y llevar a una paradoja.

10:03

🐕 La Paradoja del Perro Fido

Este párrafo profundiza en la paradoja del perro Fido, que vive en un planeta de perros de dos colores y sigue reglas contradictorias sobre quién puede olfatear a quién. Se plantea la pregunta de si Fido puede ser blanco o negro y se analiza la autorreferencia como la dificultad central de la paradoja. Se discute la naturaleza de los conjuntos y si un conjunto puede contenerse a sí mismo, lo que lleva a la conclusión de que hay conjuntos que sí y otros que no pueden contenerse a sí mismos. La paradoja de Russell se vuelve un problema de auto referencia y se sugiere que cualquier conjunto que se tuviera a sí mismo como elemento no es un conjunto.

15:05

🤔 La Incompletitud de Gödel

Se presenta la obra de Kurt Gödel y su teorema de incompletitud, que desafía la idea de que todos los fundamentos de la matemática pueden ser demostrados desde la lógica y la teoría de conjuntos. Gödel demostró que hay enunciados dentro de un sistema formal que son verdaderos pero que no pueden ser demostrados formalmente. Se utiliza la analogía de un juego donde se debe elegir una frase que sea verdadera para ganar un premio, y se muestra cómo la frase 'Usted no me va a dar la moneda de un peso' es un ejemplo de una afirmación auto-referente que no se puede demostrar como verdadera o falsa desde dentro del sistema. Se sugiere que hay limitaciones inherentes en los sistemas formales para demostrar la veracidad de algunas afirmaciones.

20:07

🧠 Genialidad, Locura y Matemáticas

Este párrafo reflexiona sobre la relación entre la genialidad y la locura, citando el ejemplo de Kurt Gödel, quien a pesar de su gran contribución a la matemática, sufrió de inestabilidad mental y paranoia. Se plantea la idea de que la matemática, con sus lógicas y paradojas, es una expresión de lo complejo y a la vez de lo incompleto del conocimiento humano. Se concluye que la matemática, con sus teoremas y paradojas, nos enseña a aceptar nuestra propia incompletitud y a cuestionarnos constantemente lo que sabemos y cómo lo sabemos.

Keywords

💡Matemáticas

Las matemáticas son una ciencia que estudia la estructura, la cantidad, la magnitud y el espacio mediante métodos formales. En el vídeo, se explora cómo las matemáticas, consideradas una ciencia exacta, pueden ser cuestionadas a través de paradojas que desafían la lógica tradicional, mostrando que algunas afirmaciones pueden ser inciertas o indecibles.

💡Paradojas

Una paradoja es una proposición o situación que se presenta como verdadera pero que al analizarse en profundidad contiene una contradicción. En el vídeo, las paradojas son un elemento central que lleva a la matemática a sus límites, desafiando la certeza de la lógica y presentando un terreno de incertidumbre.

💡Lógica

La lógica es el estudio de la razón y la论证, y se utiliza para determinar si una afirmación es verdadera o falsa. En el vídeo, la lógica clásica de Aristóteles se enfrenta a desafíos cuando se encuentran enunciados que no pueden ser determinados como verdaderos o falsos, lo que lleva a una reevaluación de los fundamentos de la lógica misma.

💡Bertrand Russell

Bertrand Russell fue un filósofo y matemático británico que contribuyó significativamente a la lógica y la filosofía de las matemáticas. En el vídeo, Russell descubre una paradoja en la teoría de conjuntos que desafía los fundamentos de la lógica y la matemática, mostrando que ciertos enunciados pueden ser ni verdaderos ni falsos.

💡Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia conjuntos, que son colecciones de objetos definidos por una propiedad en común. En el vídeo, la paradoja de Russell se origina en esta teoría, donde se cuestiona si un conjunto puede contener a sí mismo como elemento.

💡Incompletitud

La incompletitud se refiere a la idea de que un sistema formal de matemáticas es incapaz de demostrar ciertas verdades matemáticas. En el vídeo, se menciona el teorema de incompletitud de Kurt Gödel, que demuestra que hay enunciados en matemáticas que son verdaderos pero no demostrables dentro del sistema.

💡Kurt Gödel

Kurt Gödel fue un matemático y lógico austríaco conocido por su teorema de incompletitud. En el vídeo, Gödel es presentado como alguien que modificó las reglas y desafió las creencias establecidas sobre la capacidad de la lógica para fundamentar completamente las matemáticas.

💡Autoreferencia

La autoreferencia es cuando un enunciado o una expresión se refiere a sí mismo. En el vídeo, la autoreferencia es clave en la explicación de las paradojas, como en el caso del barbero que se afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos, y en la paradoja de Russell sobre los conjuntos.

💡Principio de no contradicción

El principio de no contradicción es una ley lógica que establece que no puede existir una proposición que sea a la vez verdadera y falsa. En el vídeo, este principio es cuestionado por las paradojas que presentan situaciones donde una afirmación parece ser tanto verdadera como falsa.

💡Formalización

La formalización es el proceso de expresar pensamientos, enunciados o teorías de manera rigurosa y precisa, generalmente utilizando un sistema formal. En el vídeo, se discute cómo los matemáticos intentaron formalizar los fundamentos de las matemáticas para asegurar su consistencia y evitar paradojas.

Highlights

La matemática tradicionalmente se considera una ciencia exacta donde las afirmaciones son ciertas o falsas.

Se plantea la posibilidad de que una afirmación pueda ser cierto y falso al mismo tiempo o que nunca se pueda decidir su veracidad.

Las paradojas, como las verdades indecidibles, desafían la lógica y la certeza matemática.

Bertrand Russell descubre una paradoja en la teoría de conjuntos que cuestiona los límites de la lógica.

La paradoja de Russell sugiere que no todo enunciado puede ser ni verdadero ni falso, desafiando la lógica clásica.

La paradoja del barbero de Russell plantea un dilema de autorreferencia que desafía la lógica tradicional.

La paradoja del perro Fido ilustra la dificultad de determinar la naturaleza de un conjunto que se refiere a sí mismo.

La paradoja de Russell sugiere que algunos conjuntos pueden contenerse a sí mismos, mientras que otros no.

La paradoja de Russell desafía la idea de que cualquier conjunto puede o no contenerse a sí mismo como elemento.

La paradoja de Russell plantea la existencia de un conjunto que no puede pertenecer a sí mismo, lo cual es contradictorio.

La paradoja de Russell muestra que la lógica puede ser incompleta y que hay enunciados que son verdaderos pero no demostrables.

Kurt Gödel demuestra que hay proposiciones dentro de un sistema formal que son verdaderas pero no demostrables dentro de ese sistema.

Gödel utiliza una reformulación de la paradoja de Pitágoras para introducir la paradoja dentro de un sistema formal.

La teoría de la incompletitud de Gödel sugiere que la matemática es inherentemente incompleta y que hay limitaciones en la capacidad de demostrar la verdad.

La paradoja de la moneda y el televisor ilustra la idea de que una afirmación puede ser verdadera y no demostrable dentro de un sistema.

Gödel y Einstein compartían momentos reflexivos sobre la ciencia y la vida, evidenciando la conexión entre genialidad y locura.

La obra de Gödel y Russell desafía la percepción de la matemática como una estructura de conocimiento completa y estable.

Transcripts

Generalmente pensamos a la matemática

como una ciencia exacta en realidad lo

es o en todo caso las afirmaciones que

se hacen o bien son ciertas o bien son

falsas no parece haber un lugar en el

medio pero Será posible que algo sea

cierto y falso al mismo tiempo o más aún

podría pasar que uno haga una afirmación

de la cual nunca pueda decidir si es

verdadera o

falsa o lo que es lo mismo algo sobre lo

cual sea imposible decidir su

veracidad lógica paradojas

verdades afirmaciones indecidibles un

terreno en donde hasta el más seguro

resbala se desacomoda y si lo toman

desprevenido

[Música]

cae en el programa de hoy las paradojas

llevan a la matemática a hasta el límite

de lo que es

flexible la lógica a la vez reivindica

el inquietante espacio de la

incertidumbre

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cuentan que de Chico bertrand Russell

era solitario y le gustaba pasear Por

los jardines de de su casa en Inglaterra

Russell parecía ser un niño tímido

retraído solitario solía Pasar mucho

tiempo en la biblioteca de su abuelo en

donde precozmente demostró un gran amor

por la literatura y por la

historia en 1880 bertran y su hermano

Frank se mudaron a una ciudad que se

llama pem launch una residencia oficial

de la corona donde por hacerles un favor

un favor real vivían su abuelo lord John

y su abuela Lady Russell Quién sería la

responsable de

educarlo si bien Russell disfrutaba de

leer historia y literatura lo apasionaba

la

matemática sus biógrafos cuentan que a

los 11 años se enamoró de la

geometría El joven Russell se propuso

reformular sus bases habló de las de la

geometría pero Frank su hermano y

profesor le advirtió que en matemática

los axiomas no se contradicen se

aceptan habrá sido en ese instante

cuando Russell comenzó a criar su

Rebeldía los hombres discuten con su

época si tienen suerte Russell tuvo un

compañero e inspirador a su medida fue

el Alemán friedrich freg padre de la

lógica moderna en el siglo XIX la

matemática se multiplicaba en diferentes

ramas las hipótesis crecían y las que se

demostraban se convertían en teorema

era confiable el edificio que se estaba

levantando había que encontrar una

manera de formalizar los

saberes los matemáticos se empezaron a

preocupar por encontrar y apuntalar los

cimientos de los edificios que empezaban

a erigirse para asegurar que perduren en

el tiempo y que ningún terremoto los

destruya lo que llamamos lógica clásica

es lo que funda Aristóteles pero

realidad hasta ese momento o sea toda la

antigüedad hasta prácticamente siglo XIX

la lógica era más bien visto como una

parte de la filosofía no o sea es como

de alguna forma lo

que ordena si uno quiere el

pensamiento justamente en el siglo XIX

surge un matemático bueno lógico Pero

bueno un matemático famoso llamado Bull

que escribió un texto llamado las leyes

del pensamiento que de alguna manera

empiezan a a darle una formalidad

matemática a todo ese

a todo ese sistema que había inventado

mucho tiempo antes Aristóteles

y a partir de ahí es como que ya está

abierta la puerta para lo que es la

lógica matemática de alguna forma es una

teoría matemática pero de otra forma en

realidad es como la gramática de toda la

matemática o sea toda la matemática se

escribe este a partir de los lenguajes

de la lógica no bre montó su lógica

sobre la teoría de conjuntos a través de

dos simples frases como para todo o para

al menos un formalizó una gran cantidad

de argumentos

aritméticos la estructura se estaba

solidificando en el año 1900 en París se

celebraba el segundo congreso

internacional de matemáticos o de

matemáticas si ustedes quieren David

hilbert influyente entre los más

influyentes le propuso a sus colegas

lograr una demostración ambiciosa él

quería comprobar si a través de los

nuevos fundamentos lógicos toda

afirmación matemática podía establecerse

como verdadera o como

falsa las teorías de fregue marcaban el

territorio pero una carta inesperada le

hizo dudar de su propia lógica en el año

1902 con las pruebas de su segundo libro

en la imprenta recibió una nota del

joven inglés bertron Russell qué habrá

pensado al abrir el

sobre fregue se enfrentó sin buscarlo a

una paradoja roseli o russeliana como

quiera

Qué es una paradoja es una idea extraña

opuesta al sentido común Es una

proposición que en apariencia es

verdadera pero que guarda en su esencia

una contradicción

lógica Cuántas veces habrá dudado

Russell en enviar su carta al fin y al

cabo él era un joven de 30 y pico de

años que se metía con un científico

reconocido el matemático inglés le

estaba planteando su problema

por ejemplo el único barbero de la

ciudad dice que afeitar únicamente a

todos aquellos que no se afeiten a sí

mismo también asegura que todo el mundo

se afeitar ya sea por sí mismo o en la

barbería Pero entonces cabe la pregunta

y quién va a afeitar al barbero si no se

afeitar a sí mismo es una de las

personas que tiene que ir a la barbería

pero si se afeita también falta la

Consigna

bertran Russell había descubierto un

enunciado que no podía ser ni verdadero

ni falso había encontrado los límites

que la lógica imponía En aquellos

tiempos bueno la paradoja de russel es

en teoría de conjuntos que la del

barbero pero expresada en términos

técnicos son todos los conjuntos que no

se pertenecen a sí mismos Ese Conjunto

no es una contradicción es la idea de

contradicción no O sea por qué la

paradoja uno lo ve como algo raro Por

qué uno ve como raro ese hecho de que si

yo miento digo la verdad Y si digo la

verdad miento y porque hay un principio

en la lógica que es el principio de no

contradicción que a grandes rasgos dice

que algo no puede ser verdadero y falso

al mismo tiempo m entonces Claro si es

verdad que miento estoy diciendo que yo

miento y digo la verdad a la vez

Entonces hay una contradicción una

contradicción del punto de vista de la

lógica uno

le tendría que tener miedo porque si uno

está haciendo una teoría que se llega

una contradicción se destruye todo

paradoja pasa a ser un problema muy

intrínseco de la lógica o sea de alguna

manera Uno tiene por empezar una

cuestión fundamental cuando en un

sistema lógico aparece una paradoja eso

tira por abajo Todo el sistema o sea

como que hace que se derrumbe todo el

sistema no un sistema de axiomas un

sistema

formal no puede permitir derivar

contradicciones qué agujero había

encontrado Russell qué agujero había

encontrado Russell en la teoría escuchen

la historia que quiero contarles de lo

que se llama el perro Fido y le será más

fácil entenderlo piénselo así Fido vive

en un planeta lejano habitado supongamos

por infinitos perros Los perros son de

dos colores nada más blancos y negros

todos soportan las estrictas leyes de un

rey que mata a quien no las

cumple cada animal tiene una única lista

de los perros que puede olfatear la

tiene colgando pero con una

particularidad para poder olfatear un

perro tiene que figurar en su propia

lista y justamente Esos son los perros

negros todo perro negro se contiene a sí

mismo en su propia lista en cambio los

perros blancos son aquellos que no se

contienen a sí mismo en la lista que

tienen colgando Ah un par de detalles

más todas las listas de todos los perros

se blancos o negros son diferentes y por

otro lado si uno elige cualquier

subconjunto de perros y forma con ellos

una lista esa tiene que ser la lista de

algún perro tiene que haber algún perro

que tenga a ese subconjunto de perros en

su lista y son aquellos a los que él

puede olfatear Cómo ve hay veces que no

es fácil ser perro se anima ahora junto

conmigo a adivinar Quién es Fido Quién

es Fido yo le voy dar los datos para que

lo reconozca es un perro que tiene en su

lista a todos los animales de color

blanco tiene que haber un perro que

tenga a todos los todos los perros que

tengan su lista sean todos blancos

justamente a ese perro lo llamamos Fido

y la pregunta clave es de qué color será

Fido vamos a ver podría ser un perro

blanco si lo fuera Él debería figurar en

su propia lista porque su lista contiene

a todos los perros blancos que hay pero

en ese caso al figurar en su lista él

podría olfatear a sí mismo pero Si eso

fuera cierto entonces Fido tendría que

ser un perro negro porque solo los

negros pueden olfatear a sí mismo o sea

la conclusión es que Fido no puede ser

un perro blanco entonces Fido debe ser

negro no sin embargo si fuera negro es

porque él puede olfatear a sí mismo Pero

en ese caso debería formar parte de su

lista pero eso diría que hay un perro

negro en la lista de perros de Fido Y

eso contradice el hecho de que la lista

de perros que tiene Fido son todos

blancos Si usted piensa que las reglas

son contradictorias está en lo cierto

los perros de ese planeta lejano van a

hacer una Revolución Pero cuál es la

clave en esta

paradoja le voy a dar una ayuda la

dificultad va por el lado de la

autorreferencia

puede un conjunto de objetos contenerse

a sí mismo usted qué dice que sí o que

no le propongo recorrer un camino para

llegar a la respuesta la primera parada

es qué es un conjunto es una colección

de objetos que guardan alguna

característica en común por ejemplo el

conjunto de los árboles el conjunto de

los equipos de fútbol todos los números

naturales también forman parte de un

conjunto pero

infinito algunos tienen como elementos a

otros

conjuntos la teoría avanza sola sin

tropiezos hasta que se presenta la

pregunta de bertron Russell puede un

conjunto tenerse a sí mismo como

elemento quieres saber la respuesta que

dio bertron Russell le va a sorprender

hay una clase de conjuntos que sí y otra

clase de conjuntos que no El barbero se

fue es que está un poco nervioso no sabe

si tiene que afeitarse o no afeitarse

lo va a seguir a él o se queda a saber

el final de esta

historia vamos a probar con otro ejemplo

junte entre las mesas las cucharitas de

té en este caso está todo claro todo el

conjunto de las cucharitas de té no es

Una cucharita Entonces es fácil

decidirlo No es un conjunto que sea un

elemento de sí mismo en cambio el

conjunto de todas las personas que

caminan por la calle tampoco es una

persona no es una elemento del

conjunto ahora qué tipo de conjuntos

habrá encontrado Russell que se

contengan a sí mismo como un elemento

más piense en el conjunto de todos los

objetos que no son cucharitas de té

contiene todo menos cucharitas de té

entonces puede tener como un elemento

más el conjunto de todas las cosas que

no son cucharitas de té pero este

conjunto no es Una cucharita de té

russel fue por más llevó el planteo a

fondo qué conjunto le faltaba descubrir

el conjunto de todos los conjuntos que

no se contienen as sí mismo como

elementos en este conjunto podemos

encontrar por ejemplo el conjunto de

todas las capitales de países

sudamericanos el conjunto de todos mis

hermanos el conjunto de los cubiertos de

la cocina y tantos otros que puede usted

anotar en la

lista me lo imagino pensando que se va a

salvar de la pregunta pero no es el

conjunto de todos los conjuntos que no

se contienen a sí mismo como elemento un

conjunto que se contiene a sí mismo como

elemento o

no pruebe con la respuesta

positiva inmediatamente hay que

retroceder varios

casilleros si se trata de un conjunto

que se contiene a sí mismo no puede

formar parte de el conjunto de todos los

conjuntos que no se contienen a sí mismo

como elementos

Ya sé hay que volver Al Punto de partida

Y si la respuesta fuera

negativa no se tiende a mover todavía

las fichas en ninguna dirección si no se

contiene a sí mismo como elemento

debería formar parte del conjunto de

todos los conjuntos que no se contienen

a sí mismo como

elementos tira el tablero y se va a la

barbería a

pensar una decisión parecida tomaron los

científicos a principios del siglo XX

Aunque llegaron a un acuerdo postularon

que cualquier conjunto que se tuviera a

sí mismo como elemento no es un conjunto

una votación a libro cerrado años más

tarde bertron Russell se iba a

sorprender tras la aparición de un

matemático Al menos

atrevido no solo modificó algunas reglas

sino que dio vuelta al tablero lo pateó

y comenzó a jugar con las fichas

cambiadas un adelanto

me estoy refiriendo a Kurt gedel un

amigo de Albert

Einstein

demostró algo Bastante interesante que

tiene que ver con o sea tiene que ver

con una idea de incompletitud dentro de

la matemática o sea ese teorema

específico que se hizo famoso dice a

grandes rasgos que un sistema formal que

describa la aritmética O sea que

describa la teoría de los números

naturales en realidad

esencialmente es incompleto en el

sentido de que hay enunciados que uno

dentro de ese sistema puede de alguna

manera saber que son verdaderos pero

formalmente no lo puede demostrar los

dos se exilar de la Europa nazi hacia

los Estados Unidos gedel no era judío

Pero de todos modos fue perseguido por

el régimen totalitario de adolf Hitler

caminaba todos los días junto a Einstein

en su regreso desde el Instituto para

estudios avanzados de princeton

de qué hablaban de qué hablarían estas

dos personas consideradas genios por

supuesto es un secreto que quedó entre

ellos Einstein confesó alguna vez que su

propio trabajo ya no le importaba mucho

que llegaba al instituto únicamente para

tener el privilegio de caminar a su casa

junto con

gedel en el año

1931 a los 25 años cuando todavía vivía

en Viena gedel realizó uno de los

descubrimientos más conmovedores del

terreno de la lógica la teoría de la

incompletitud el título dígame la verdad

no suena intrigante más aún si viene de

un hombre de ciencia usted ya escuchó

sobre la lógica de fregue y se animó

hasta a las paradojas de bertrand

Russell enfrentará ahora un problema

gued deliano es el último boleto que le

falta comprar a través de este viaje por

la lógica de este lado una moneda de un

peso de este otro lado un televisor de

Última Generación un plasma el juego es

entre usted y yo usted me deberá decir

solo una frase si usted denuncia una

frase que es verdadera va a poder

llevarse alguno de los dos objetos cuál

depende de sus palabras en cambio Si lo

que usted dice es falso se va con las

manos

vacías Qué puede decirme Usted para

llevarse el

televisor a ver pruebe con la siguiente

frase

supongamos que usted me dice usted no me

va a dar la moneda de un

peso si esa frase fuera falsa podría

significar que sí se va a llevar una

humilde moneda pero un momento en verdad

falta la regla de oro si es falsa usted

se quedaba sin nada por lo tanto la

frase que pronunció no puede ser falsa

porque se estaría llevando algo que

sería la moneda de modo que su

afirmación tiene que ser verdadera y se

puede llevar o el televisor o la moneda

pero no se puede llevar la moneda porque

su frase se convertiría en falsa y

gracias a Kurt gedel se ha ganado un

televisor mire si hubiera sido un

concurso

verdadero a principios del siglo XX la

comunidad científica sostenía que todos

los fundamentos de la matemática se

podían demostrar desde la lógica y la

teoría de conjuntos un joven se animó a

desafiar los saberes que pisaban fuerte

y señaló que era falso y a

cambio presentó su teorema de

incompletitud

en realidad en la demostración de ese

teorema justamente de alguna forma lo

que se hace es usar una reformulación de

la paradoja de pimen o sea muy muy

concretamente digo hay que ser habría

que ser un poquito más preciso pero muy

concretamente lo que gedel hizo fue

agarrar la paradoja de pimenides que

dice yo miento Y de alguna manera como

reformular Y lograr introducirla dentro

el sistema formal lo que concretamente

gedel logró hacer es a grandes rasgos

inventarse una proposición p dentro de

un sistema formal que diga algo así como

yo no soy demostrable Dentro de este

sistema es como yo te dijera en un

juicio no vos imaginate no sé una

persona está sentada en el banquillo de

los acusados y yo como testigo

tengo que de alguna manera Mostrar

lograr demostrar que que ese tipo

cometió el crimen y no sirve de nada que

yo sepa que el tipo lo cometió o sea

tengo que probarlo siguiendo las reglas

del juicio o sea por más que yo agarre

los jueces diga bueno créanme que fue es

así si no logro demostrarlo siguiendo

las reglas específicas de ese sistema

que es el sistema si uno quiere judicial

Eh bueno mi demostración no va a servir

entonces de alguna manera es eso uno

sabe que algo es verdadero pero no lo

puede demostrar con las reglas de ese

sistema gedel postulaba que era

imposible comprobar la verdad o falsedad

de algunas afirmaciones matemáticas

desde su propio universo

lógico quiero dar un ejemplo para abogar

a su favor Por ejemplo si usted dice

esta frase no es cierta vamos a analizar

si fuera cierta estaría afirmando que es

falsa pero si es falsa puede ser cierta

no hay ningun una manera de demostrar si

es verdadera o falsa porque la frase

habla de sí misma es necesario mirarla

desde otro lugar para decidir sobre su

veracidad

gedel era un hombre de su época pero

veía un poquito más lejos a lo largo de

su vida sufrió periodos de inestabilidad

y además de enfermedad mental en los

últimos años estaba seguro que iban a

envenenarlo y murió de hambre pesaba

aproximadamente 30 kg sabe cuándo fue su

primera internación psiquiátrica el año

que descubrió el teorema sobre la

incompletitud

Cuántas veces está relacionada la

genialidad con la locura es seguramente

una historia

gedel la ciencia que parece llevarse

bien Con los principios gelian aprende a

soportar su propia incompletitud es

verdadero es falso las dos a la vez

ninguna de las dos lógica y paradojas es

la matemática en su más fina expresión

es por eso que uno tiene que pensar

saberes completos abstenerse

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