3. Числовой ряд. Признак сравнения рядов. Предельный признак сравнения рядов.

Summary

This script discusses sufficient criteria for determining the convergence or divergence of series with non-negative terms, often referred to as positive series. It introduces the comparison test, highlighting its application when comparing two series. The script also covers standard series for comparison, such as geometric and harmonic series. Examples are provided to illustrate how to apply the comparison test and the limit comparison test to assess series convergence, emphasizing the importance of recognizing equivalent infinitesimally small quantities.

Takeaways

• 🔢 Non-negative series are those where all terms are greater than or equal to zero.
• 📚 The comparison test is a sufficient condition to determine the convergence or divergence of series with non-negative terms.
• 📐 Standard series used for comparison include geometric progression, harmonic series, and generalized harmonic series.
• 🔄 Multiplying a series by -1 to make it positive does not affect its convergence properties.
• 🔄 The geometric series converges if the absolute value of its common ratio is less than one and diverges otherwise.
• ♾ The harmonic series always diverges.
• 📉 The generalized harmonic series converges if the power of the terms is greater than one and diverges if the power is between zero and one, inclusive.
• 📊 When comparing series, it's beneficial to compare them with series whose behavior (convergence or divergence) is already known.
• 📖 The limit comparison test is used to determine if two series with positive terms converge or diverge simultaneously.
• 📘 Infinitesimal sequences are used to compare series by replacing terms with their equivalents that approach zero.

Q & A

What are the necessary conditions for a series to be considered as having non-negative terms?

A series is considered to have non-negative terms if for all natural numbers n, the term a_n is greater than or equal to 0.

What is the significance of comparing series with non-negative terms?

Comparing series with non-negative terms helps in determining the convergence or divergence of the series using sufficient convergence tests.

What is the Comparison Test for series convergence, as described in the script?

The Comparison Test states that if for all n, the term a_n of series 1 is greater than or equal to the term b_n of series 2, and series 1 converges, then series 2 also converges. Conversely, if series 2 diverges, then series 1 also diverges.

Why is it mentioned that multiplying a series by -1 does not affect its convergence properties?

Multiplying a series by -1 does not affect its convergence because the properties of convergent series are preserved under scalar multiplication, as long as the scalar is not zero.

What are the standard series used for comparison in the script?

The standard series used for comparison include the geometric series, harmonic series, and generalized harmonic series.

How does the convergence of a geometric series depend on its common ratio?

A geometric series converges if the absolute value of its common ratio q is less than 1, and it diverges if the absolute value of q is greater than or equal to 1.

Why is the harmonic series mentioned as always divergent?

The harmonic series is always divergent because the terms are the reciprocals of natural numbers, which do not decrease fast enough to ensure convergence.

What is the Generalized Harmonic Series, and how does its convergence depend on the power p?

The Generalized Harmonic Series is a series of the form 1/n^p, where p is a positive real number. The series converges if p > 1 and diverges if p is between 0 and 1, inclusive.

How can you determine if the series 1/log(n) (n starting from 2) converges or diverges?

By comparing it with the harmonic series using the Comparison Test, it can be shown that since the harmonic series diverges, and 1/log(n) grows slower than 1/n, the given series also diverges.

What is the Limit Comparison Test, and how is it applied in the script?

The Limit Comparison Test involves finding the limit of the ratio of the corresponding terms of two series as n approaches infinity. If this limit is a non-zero finite number, then both series converge or diverge together. In the script, it is used to compare series with known divergent behavior to determine the convergence of the series in question.

Why is the term 'equivalent infinitesimal sequences' used in the script, and how are they used?

The term 'equivalent infinitesimal sequences' is used for sequences that become infinitely small as n approaches infinity. They are used to simplify the comparison of series terms by replacing them with simpler functions that behave similarly as n grows large.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Non-Negative Series

The script introduces the concept of numerical series where all terms are non-negative, meaning each term 'a_n' is greater than or equal to zero for all natural numbers 'n'. These series are referred to as series with non-negative terms or positive series. The focus is on providing sufficient conditions to determine the convergence or divergence of such series. It is noted that multiplying a series with all terms less than or equal to zero by -1 will result in a positive series, and this operation does not affect the convergence of the series, recalling the properties of convergent series. The script emphasizes studying only positive series or those with non-negative terms. The first criterion discussed is the comparison test, which involves comparing two series with non-negative terms. If one series has terms greater than or equal to the corresponding terms of another series, and the first series converges, then the second series also converges. Conversely, if the second series diverges, so does the first. The script also introduces the concept of benchmark series, such as the geometric series, harmonic series, and generalized harmonic series, to determine the convergence of a series through comparison.

05:02

🔍 The Comparison Test and Benchmark Series

This section delves deeper into the comparison test, using benchmark series such as the geometric series, harmonic series, and generalized harmonic series to compare and determine the convergence of a given series. The geometric series is discussed in detail, with its convergence depending on the common ratio 'q'. If the absolute value of 'q' is less than one, the series converges, and if it's greater or equal, it diverges. The harmonic series, which always diverges, and the generalized harmonic series, which converges if the power 'p' is greater than one and diverges if 'p' is between zero and one inclusive, are also explained. An example is given to illustrate how to use the comparison test to determine if a series of the form '1/(logarithm(n))' converges or diverges by comparing it with the harmonic series.

10:04

📐 The Limit Comparison Test

The script explains the limit comparison test, which is used for series with positive terms. It states that if the limit of the ratio of corresponding terms of two series exists and is not zero or infinity as 'n' approaches infinity, then both series converge or diverge simultaneously. This test is also applicable to series with non-negative terms, and if the series has zero terms, they can be discarded without affecting the convergence. The script also mentions the use of equivalent infinitesimally small sequences and provides an example of how to apply the limit comparison test to determine the convergence of a series where the general term is 'tan(pi/8n)' by comparing it with the harmonic series.

15:06

📉 Applying the Limit Comparison Test to Series

This part provides an example of applying the limit comparison test to a series with alternating signs and terms that are not strictly positive. The series in question is 'n - 2 / (n^2 + n + 1)'. The script explains how to handle the first few terms that do not meet the criteria for the test by discarding them, as this does not affect the convergence of the series. It then demonstrates how to find an equivalent series to compare with, in this case, the harmonic series, and how to calculate the limit of the ratio of the corresponding terms to determine convergence.

20:08

🔢 Analyzing Series with Roots and Logarithms

The script continues with examples of applying the limit comparison test to series involving roots and logarithms. It discusses how to handle terms that approach infinity and how to replace them with equivalent terms to simplify the calculation of limits. An example is given for a series with the general term 'n^2 + sqrt(n) + 1' in the numerator and 'n^3 * sqrt(n + 1)' in the denominator. The script shows how to replace these terms with their equivalent forms and compare the series to a generalized harmonic series to determine divergence.

25:15

📘 Convergence of Series with Logarithmic Terms

The final paragraph discusses the convergence of a series with a general term involving a natural logarithm. The series in question is 'natural logarithm(1 + 2/n^2)'. The script uses the limit comparison test again, comparing this series to a series with the general term '2/n^2', which is known to converge. It explains how to simplify the terms to their equivalent infinitesimally small forms and calculate the limit to determine that the original series also converges.

Keywords

💡Non-negative Series

A non-negative series is a sequence of numbers where every term is greater than or equal to zero. This concept is fundamental to the video's theme as it sets the stage for discussing convergence and divergence of series. In the script, the instructor emphasizes studying series with non-negative terms, which simplifies the analysis of convergence because the properties of positive terms are well understood.

💡Convergence

Convergence in the context of series refers to the property that the sum of the series approaches a finite limit as the number of terms increases without bound. The video script discusses various tests to determine if a given series converges. For instance, the comparison test is used to compare a series with a known convergent series to infer convergence.

💡Divergence

Divergence is the opposite of convergence. It refers to a series where the sum does not approach a finite limit as the number of terms increases. The script mentions divergence in relation to series with negative terms and how multiplying such a series by -1 can turn it into a convergent series without affecting its divergence properties.

💡Comparison Test

The comparison test is a method to determine the convergence or divergence of a series by comparing it to another series whose behavior is already known. The script uses this test to compare an unknown series with a harmonic series, which is known to diverge, to conclude that the unknown series also diverges.

💡Geometric Series

A geometric series is a type of series where each term after the first is found by multiplying the previous one by a fixed, non-zero number called the common ratio. The script explains that a geometric series converges if the absolute value of the common ratio is less than 1 and diverges otherwise. It is used as a standard series for comparison.

💡Harmonic Series

The harmonic series is the sum of the reciprocals of the natural numbers. It is mentioned in the script as an example of a series that diverges. The instructor uses it as a reference series to compare with other series to determine their divergence.

💡Generalized Harmonic Series

This series is an extension of the harmonic series where each term is the reciprocal of the natural number raised to a power. The script explains that if the power is greater than 1, the series converges, and if it's between 0 and 1 inclusive, it diverges. It serves as another standard for comparison in the convergence tests.

💡Limit Comparison Test

The limit comparison test is a method used to determine the convergence of a series by comparing the ratio of its terms to the terms of another series whose convergence is known. The script uses this test to compare series by taking the limit of the ratio of their terms as the number of terms approaches infinity.

💡Equivalent Infinitesimal Sequences

Equivalent infinitesimals are sequences whose terms approach zero at the same rate. The script mentions that when comparing series, one can replace terms that are equivalently infinitesimally small with their arguments for easier computation of limits, especially when dealing with terms that approach zero.

💡Natural Logarithm

The natural logarithm is the logarithm to the base e (Euler's number). In the script, the instructor uses the natural logarithm in the context of series terms, such as '1/(natural logarithm(n))', to compare with harmonic series and determine the convergence of the series under study.

💡Power Series

Although not explicitly named in the script, power series are series where each term is the product of a constant and the variable raised to a power. The script discusses series where terms involve powers of n, such as '1/n^2', which is a type of power series. These are used in the comparison tests to determine convergence.

Highlights

Introduction to positive term series and their convergence criteria.

Definition of positive term series and their properties.

Explanation of the comparison test for series convergence.

Illustration of how to apply the comparison test with an example.

Introduction to standard series for comparison: geometric series, harmonic series, and generalized harmonic series.

Detailed explanation of the geometric series and its convergence criteria.

Explanation of the harmonic series and its divergence.

Introduction to the generalized harmonic series and its convergence criteria based on the power p.

Application of the comparison test to determine the convergence of a series with a logarithmic term.

Use of the limit comparison test and its application to series with positive terms.

Detailed example of applying the limit comparison test to a series with a tangent function term.

Explanation of equivalent infinitesimally small sequences and their role in the limit comparison test.

Detailed calculation of the limit in the limit comparison test for a series with a specific term structure.

Application of the comparison test to a series with a complex term involving roots and powers.

Use of equivalent infinite large sequences in the comparison test for series with rapidly growing terms.

Detailed analysis of a series with a natural logarithm term and its convergence using the limit comparison test.

Summary of the lecture's key points on the comparison tests for series convergence.

Transcripts

всем привет вот этими мы будем

рассматривать числовые ряды

все члены которых не отрицательны то

есть а n больше либо равно 0 для всех n

натуральных

такие ряды называются рядами с

неотрицательными членами или знака

положительными рядами и для таких рядов

дадим достаточные признаки с помощью

которых определяется сходимость или

расходимость и сделаем такое замечание

если вдруг все члены ряда меньше либо

равные 0 где n это натуральный номер то

есть ряд знака отрицательной то умножая

его на минус единицу получим знака

положительный ряд умножение на минус

единицу не влияет на сходимость ряда

вспоминайте свойства сходящихся рядов

поэтому давайте ограничимся изучением

только знака положительных рядов или как

их ещё называют

рядов с неотрицательными членами итак

первый признак это признак сравнения

пусть даны два ряда с неотрицательными

членами посмотрите сумма n от единицы до

бесконечности а.н.

где все а n больше либо равны 0 это ряд

один из ума от единицы до бесконечности

б.н.

все члены ряда бэн также больше либо

равны 0 и обозначили этот ряд 2

если для всех значений n выполняется

неравенство

что общий член ряда а n больше либо

равен бнт первое и сходимости ряда 1

следует сходимость ряда 2 то есть

посмотрите если сходится ряд с большими

членами

ряд а.н. то также будет сходиться ряд и

меньшей ряд б.н.

и второе и исра сходимости ряда 2

следует расходимость ряда 1 то есть если

меньше ряд расходится то больше будет

также расходиться и здесь надо сделать

такое замечание признак сравнения

справедлив и в том случае когда

неравенство а n больше либо равно б н а

выполняется не для всех членов рядов 12

а только начиная с некоторого номера это

будет следовать из вас числовых рядов

чтобы определить сходится

или расходится ряд по признаку сравнения

его надо сравнить с рядом поведение

которого в смысле сходимости известно

для этого используют так называемые

эталонные ряды например ряд

геометрической прогрессии

гармонический ряд или обобщенный

гармонический ряд

вот давайте поподробнее с ними

познакомимся

итак первый такой ряд это ряд

геометрической прогрессии посмотрите

сумма n от нуля до бесконечности а

умножить на у в степени n если я этот

ряд распишу при он равным нулю

первый член ряда а плюс а умножить на q

+

а q квадрат и так далее здесь а не равно

нулю каждый следующий ряд получается

умножением предыдущего наку

сходимость ряда геометрической

прогрессии зависит от ее знаменателю к

так вот если модуль q меньше единицы то

ряд геометрической прогрессии будет

сходиться и сумма этого ряда найдется по

формуле

а делить на единицу минус q если же

модуль q больше либо равен единице you

to read геометрической прогрессии будет

расходиться

второй наиболее часто встречающийся ряд

для сравнения это гармонический ряд

посмотрите мы с ним уже сталкивались

сумма n от единицы до без

конечности 1 делить на n это ряд

составленный из чисел обратных

натуральным единиц и 1 2 1 3 и так далее

так вот этот ряд всегда расходится

и 3 эталонный ряд это обобщенный

гармонический ряд

посмотрите сумма n от единицы до

бесконечности 1 делить на n в степени p

где показатель степени p положительной и

получаете единица плюс 1 делить на 2 в

степени p плюс и так далее

обозначим этот ряд 4

и тогда если п показатель степени больше

единицы то ряд 4 будет сходиться если

показатель степени p от нуля до единицы

причем включительно то ряд 4 будет

расходиться посмотрите при п равным

единице мы получаем гармонический ряд

который также расходятся эти ряды для

сравнения или как их ещё называют

эталонные ряды очень часто используются

поэтому вы пишете их себе отдельно или

запомнить и как они себя ведут

хорошо а теперь давайте рассмотрим

пример требуется исследовать ряд на

сходимость

n от двойки до бесконечности 1 делить на

десятичный логарифм н посмотрите

внимательно и начинается с двойки

потому что если бы у вас было единица то

у первого члена ряда выбор знаменателе

получили десятичный логарифм единица это

0

хорошо давайте воспользуемся признаком

сравнение рядов и сравним данный ряд с

гармоническим рядом и так сравниваем

общее члены этих рядов ряда который нам

дан 1 делить на логарифм н и

гармонического ряда которым мы взяли в

качестве эталонного 1 делить на n чтобы

сравнить эти две дроби посмотрите у них

числителе

единицы одинаковые надо сравнить их

знаменателе логарифм н и просто н и так

что больше из этих двух чисел

ну можно непосредственной подстановкой

да возьмите n10 логарифм 10 единица да

значит n больше возьмите n100 логарифм

100 двойка значит двойка меньше ста и

так можно несколько n взять или вообще

просто построить графики функций

десятичного логарифма и просто график

функции аргумент а значит он будет

больше чем десятичный логарифм н и

теперь сравнивая обратное значение чем

больше знаменатель тем меньше дробь

значит 1 делить на логарифм н

будет больше чем 1 делить на хорошо

правда не для всех н это не равенство

выполняется а только начиная с n равное

2 да потому что мы сказали что дробь 1

делить на десятичный логарифм единицы то

есть 1 делить на ноль будет у вас не

определено и так по признаку сравнения

так как гармонический ряд с общим членом

1 делить на n

расходится то есть это меньше ряд в

данном случае то делаем вывод что

исходный ряд с общим членом 1 делить на

логарифм н

где n от двойки до бесконечности также

будет расходиться

по признаку сравнения я рекомендую вам

указывать в скобках в вашем решении

признак согласно которому вы и сделали

вывод

сходится или расходится данный ряд

потому что у вас уже в арсенале

много средств по которым вы можете

исследовать сходимость ряда

это определение вследствие из

необходимого признака сходимости это

свойства сходящихся рядов и сейчас

начались достаточные признаки сходимости

рядов с положительными членами хорошо а

теперь давайте рассмотрим еще один

пример итак посмотрите дан ряд сумма n

от единицы до бесконечности 1 делить на

n 2 в степени n если ряд расписать то

это будет вот такая бесконечная сумма

и снова давайте воспользуемся признаком

сравнения и на этот раз ваш ряд

удобно будет сравнить с рядом

геометрической прогрессии а именно с

рядом вида посмотрите здесь сумма n от

единицы до бесконечности 1 делить на 2 в

степени n

здесь я взяла н начиная с единицы они не

с нуля как мы с вами говорили раньше

ничего можно отбросить несколько членов

ряда конечное число членов ряда это не

влияет на сходимость

или расходимость ряда и поэтому у меня

здесь n от единицы до бесконечности

именно в таком виде мне удобно

сравнивать

ряд геометрической прогрессии с моим

исходным рядом и так что я знаю про ряд

геометрической прогрессии так как у меня

в данном случае равен одной второй

и это меньше единицы то этот ряд

сходится и теперь давайте сравним общее

члены этих рядов 1 делить на n и на 2 в

степени 1 делить на 2 в степени

посмотрите чем больше знаменатель значит

тем дробь меньше и поэтому знак я ставлю

вот в эту сторону 1 делить на 2 в

степени n будет больше и

данный ряд сходится значит исходный ряд

также будет сходиться по признаку

сравнения хорошо у вас наверное возник

вопрос почему именно таким образом мы

подобрали эталонные ряд почему выбрали

ряд геометрической прогрессии для

сравнения они к примеру обычный

гармонический ряд

здесь в знаменателе есть множитель н

почему мы не сравнивали с рядом 1 делить

на n рассуждают в этом случае следующим

образом при увеличении n принц

стремящемся к бесконечности

последовательность 2 в степени t

а растёт быстрее чем сама н то есть

можно поставить знак что 2n будет больше

чем n и соответственно если я сравниваю

обратные величины

1 делить на 2 в степени n и 1 делить на

а то а не сравнятся с обратным знаком до

1 делить на and будет больше поэтому в

качестве эталонного я и взяла ряд 1

делить на 2 в степени n вот он он меньше

чем гармонически до

члены этого ряда меньше чем члены

гармонического ряда и поэтому взят он и

сравнивают с ним хорошо а теперь давайте

рассмотрим следующий признак сравнения и

он называется предельный признак

пусть даны два ряда с положительными

членами

этторе д-12 если существует конечный и

отличные от нуля предел отношениях общих

членов то есть лимит аян делить на bn

при n стремящемся к бесконечности то

ряды 1 и 2

сходятся или расходятся одновременно то

есть одинаковые себя ведут в смысле

сходимости и здесь такое замечание

предельный признак сравнения определен

для произвольных ряду с неотрицательными

членами если ряд имеет нулевые члены то

их нужно просто предварительно отбросить

и это не повлияет на сходимость

или расходимость ряда по свойству при

использовании предельного признака

сравнения также используют эталонные

ряды про них мы уже говорили и еще часто

используют эквивалентные бесконечно

малые последовательности а именно

посмотрите принц стремящемся к

бесконечности то есть когда м бесконечно

большая величина 1 делить на n будет

стремиться к нулю то есть это будет

бесконечно малая величина и тогда каждый

из этих последовательностей будет

эквивалентно 1 делить на n там еще есть

другие я здесь не все выписала надеюсь

вы помните эту тему и она была вами

хорошо изучена в предыдущем семестре и

вот здесь это удобно использовать хорошо

давайте теперь посмотрим пример и так

требуется исследовать на сходимость ряд

сумма n от единицы до бесконечности

тангенс аргумент api делить на 8 n и

здесь давайте применим второй признак

сравнения в качестве эталонного ряда

возьмем гармонический ряд

которые расходятся

и далее рассмотрим предел отношения

общих членов этих рядов

лимит при n стремящемся к бесконечности

тангенс

пи делить на 8 н а в знаменателе 1

делить на n и вот это как раз тот случай

о котором я говорила так как при n

стремящемся к бесконечности у вас 1

делить на n будет бесконечно малая

величина то есть стремится к нулю то

воспользуемся эквивалентными бесконечно

малыми величинами тангенс пей делить на

8 там также будет бесконечно малый

эквивалентен будет своему аргументу и

поделить на 8 н вот только что мы с вами

выписали эквивалентные бесконечно малые

здесь это очень удобно использовать при

вычислении предела и тогда предел n

стремится к бесконечности заменяем

тангенс на эквивалентную бесконечно

малую величину в знаменателе 1 делить на

n и тогда этот предел легко вычисляется

это будет лимит n стремится к

бесконечности и поделить на 8 n и

умножить 1 делить на и он перевернется

просто n будет

сократится останется пи делить на 8 и

предел этой величины так и будет

поделить на 8

это не ноль величина положительная не

равную нулю и следовательно по

предельному признаку сходимости мы можем

заключить что исходный ряд также будет

расходиться потому что сравнивали моего

с расходящимся гармоническим рядом

хорошо перейдем к следующему примеру и

так требуется исследовать сходимость вот

такого ряда давайте предварительно

распишем этот ряд первый член будет у

вас минус 1 3 2 0 при подстановке он

равного 2 3 1 13 далее будет 2 20 первых

плюс и так далее

общий член ряда н минус 2 на n квадрат

плюс n плюс 1 и так далее а вы помните

что

признаки сравнение применяются только к

рядом с положительными членами а у

данного ряда первых два члена

но не совсем удачный первый

отрицательный а 2 0 поэтому мы их просто

отбросим вы помните что

отбрасывание конечного числа членов не

влияет на сходимость

или расходимость ряда хорошо теперь

давайте чтобы применить предельный

признак сравнения

надо подобрать ряд эталоны ряд с которым

мы будем сравнивать

общий член исходного ряда рассуждают в

данном случае следующим образом

числитель общего члена ряда

н минус 2 и знаменатель н квадрат плюс n

плюс 1 неограниченно растут при n

стремящемся к бесконечности то есть n

минус 2 стремится к бесконечности с

ростом м и н квадрат плюс n плюс 1 также

стремится к бесконечности при n

стремящемся к бесконечности скорость

роста как быстро растут они

определяется старший степенью поэтому

эти последовательности можно заменить им

эквивалентными прям стремящемся к

бесконечности значит н минус 2 будет

эквивалентно последовательности н

при n стремящемся к бесконечности а н

квадрат плюс n плюс 1 будет эквивалентно

последовательности с общим членом н

квадрат также при на стремящемся к

бесконечности

еще раз скорость роста этих

последовательностей

определяется их старший степенью поэтому

мы составили вот такие к и валентности и

тогда общий член а это у нас / n минус 2

на n квадрат плюс n плюс 1 будет

эквивалентно дроби числитель и

знаменатель н квадрат и если эту дробь и

я сокращу

то получу 1 делить на н итак мы с вами

подобрали

эталонный ряд общий член его будет 1

делить на n и это будет гармонический

ряд и он расходится и теперь согласно

предельном а признак и сравнения мы

должны рассмотреть

предел отношения общих членов этих рядов

то есть предел вида

лимит n стремится к бесконечности н

минус 2 н квадрат плюс n плюс 1 это

общий член

исходного ряда поделить на общее член

эталонного ряда

это 1 делить на n посмотрите так как

здесь / и я не захотела писать 4 этажную

труб и просто поставила знак деления и

так вычислим этот предел

определение дроби переворачиваются и вы

получите предел при n стремящемся к

бесконечности и минус 2 умножить на n

поделить на n квадрат плюс n плюс 1

далее вы в числителе раскрываете скобки

и делите на старшую степени известный н

итак посмотрите такой предел равен

единице потому что при n стремящемся к

бесконечности 2 делить на n 1 делить на

и на 1 делить на n квадрат это

бесконечно малое стремящейся к нулю и

остался предел равны единице

единица нулю не равна и отсюда вы

делаете вывод что вы получили конечный

отличной от нуля предел и

исходный ряд будет тоже расходиться он

будет вести себя одинаково

в смысле сходимости с гармоническим

рядом с тем рядом который вы сравнивали

и так исходный ряд расходится согласно

предельному признак и сравнения хорошо и

перейдем к следующему примеру или так

требуется исследовать ряд на сходимость

с общим членом н квадрат плюс корень and

6 + 1 в знаменателе

м куб умножить на корень из плюс а-один

и снова мы применяем предельный признак

сравнения и подбираем эталонной ряд мы

будем действовать так же как в

предыдущем примере

при n стремящемся к бесконечности

имеют место эквивалентности бесконечно

больших последовательностей то есть вот

если у меня числитель н квадрат плюс

корень из n 6 + 1 то эта

последовательность будет неограниченно

расти при n стремящемся к бесконечности

и скорость ее роста определяется старший

степенью н

поэтому я говорю что ее можно заменить

эквивалентной бесконечно большой н куб

почему инкуб старший степень здесь он

квадрат под корнем квадратным n 6 это

как раз and куб и рассмотрю также

знаменатель n в кубе умножить на корень

из n плюс один здесь

заменяем на n в степени 3 целых 1 2

и тогда вся дробь которая задает общий

член ряда

можно будет заменить эквивалентной

дробью числителе которые н куб в

знаменателе м степени 3 целых 1 2

сократите и получите что эта дробь 1

делить на м степени 1 2 и вот подобрался

эталонный ряд следовательно будете

сравнивать с рядом сумма n от единицы до

бесконечности 1 делить на x в степени 1

2 это у вас обобщенный гармонический ряд

и он расходится

так как у вас степень п это одна вторая

и она меньше единицы

и далее согласно предельному признаку

сравнение вы вычисляете предел при n

стремящемся к бесконечности отношения

общих членов этих рядов

общее член исходного ряда

поделить на общий член эталонного ряда

или ряда с которым вы сравниваете у вас

это 1 делить на n в 1 2 но далее дело

техники вычисления пределов если вы

перевернете поделите

тогда получите

и далее я вам советую раскрыть скобки и

занести

and под корни после чего вы получите

кидали

те старшая степень в этой дроби m в

степени 7 вторых если вы поделите по

члены числитель и знаменатель на n в

степени 7 старых сократите учтете

свойства бесконечно больших бесконечно

малых у вас это получится единица число

конечная отличной от нуля и

следовательно вы делаете вывод что

исходный ряд расходится по предельному

признаку сравнение

хорошо и давайте решим еще один пример и

так требуется исследовать сходимость

ряда сумма n от единицы до бесконечности

натуральный логарифм от скобки единицу

плюс 2 делить на n квадрат есть вот

квадрат и так применим снова предельный

признак сходимости

при n стремящемся к бесконечности

величина

2 делить на n квадрат будет стремиться к

нулю то есть будет являться бесконечно

малой и поэтому мы вспоминаем

эквивалентные бесконечные малые я вам а

сегодня выписывала натуральный логарифм

единицы + 2 делить на n квадрат это тоже

будет весь логарифм величина бесконечно

малая принц стремящемся к бесконечности

и тогда это бесконечно малое будет

эквивалентно 2 поделить на n квадрат и

следовательно

в качестве эталонного ряда берем ряд то

есть сравниваем с рядом сумма n от

единицы до бесконечности 2 поделить на n

квадрат посмотрите внимательно вообще

ряд сумма n равна я от единицы до

бесконечности 1 делить на n квадрат

является обобщенным гармоническим рядом

для которого степень по эта двойка

больше единицы то есть он сходится а по

свойству рядов я помню что умножение

всех членов ряда на константу

не изменяет их сходимости или

расходимости поэтому этот ряд также

будет сходиться и можно его взять в

качестве эталонного

ряда и далее согласно предельному

признаку сравнения рассматриваем

пределах наш

не принц стремящемся к бесконечности

общих членов этих рядов

значит исходный ряд общий член это

натуральный логарифм единицы + 2 делить

на n квадрат а в знаменателе 2 поделить

на n квадрат или можно было взять 1

делить на n квадрат ничего страшного

и далее такой предел будет равен единице

потому что выбрали 2 эквивалентные

величины 2 бесконечно малы эквивалентные

величины и так если заменить в числителе

2 на n квадрат в знаменателе 2 наин

квадрат то этой как раз будет единица

конечное число отличное от нуля и

следовательно

исходный ряд также будет сходиться по

предельному признаку сравнения хорошо

сегодня на занятии мы рассмотрели

признаки сравнение

рядов с неотрицательными членами на

следующем занятии мы рассмотрим другие

достаточные признаки сходимости рядов