AREA ENTRE CURVAS EJEM2

Rodrigo Lugo
22 Nov 202013:18

Summary

TLDREn este vídeo se explica cómo calcular el área entre dos curvas. Se inicia con la importancia de la gráfica de las funciones y cómo encontrar los puntos de intersección para establecer el intervalo de integración. Luego, se igualan las funciones para resolver la ecuación y determinar qué curva está por encima de la otra. Finalmente, se plantea la integral y se resuelve paso a paso, integrando la función superior menos la inferior. El resultado se verifica con Geogebra, obteniendo un área de 2.66 unidades cuadradas entre las curvas.

Takeaways

  • 📉 Es importante saber graficar las funciones, incluso si tienes herramientas como GeoGebra a mano.
  • 📊 Las dos funciones dadas son parábolas: una que abre hacia arriba y otra hacia abajo.
  • 📍 Los puntos de intersección de las parábolas son x = -1 y x = 1, lo que define el intervalo de integración.
  • 📝 Para encontrar los puntos de intersección, se igualan las funciones y se resuelve la ecuación cuadrática resultante.
  • 🔢 El siguiente paso es determinar cuál función está por encima de la otra en el intervalo de integración.
  • 📐 La integral que se debe resolver es la resta de las funciones, integrando desde -1 hasta 1.
  • ➗ Se simplifican las expresiones dentro de la integral antes de proceder a integrarlas.
  • ✍️ El proceso de integración se realiza término a término, obteniendo una solución exacta para el área.
  • ✅ El área calculada entre las dos curvas es 2.66 unidades cuadradas, comprobada con GeoGebra.
  • 📈 El procedimiento para resolver áreas entre curvas es directo si sabes graficar y resolver ecuaciones cuadráticas.

Q & A

  • ¿Cuál es el primer paso recomendado para resolver el área entre dos curvas?

    -El primer paso recomendado es graficar las funciones para tener una representación visual clara, aunque muchos profesores prefieren que primero se igualen las funciones.

  • ¿Qué sucede cuando se igualan las funciones f(x) = x^2 + 1 y g(x) = -x^2 + 3?

    -Al igualar las funciones se obtiene una ecuación cuadrática 2x^2 - 2 = 0, la cual al resolverla da como soluciones x = -1 y x = 1, que son los puntos de intersección de las gráficas.

  • ¿Cómo se determinan los límites de integración en este ejercicio?

    -Los límites de integración son los puntos donde las curvas se intersectan, es decir, x = -1 y x = 1. Estos puntos se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática resultante de igualar las funciones.

  • ¿Qué función está por encima de la otra en el intervalo de integración?

    -En el intervalo de integración, la función g(x) = -x^2 + 3 está por encima de f(x) = x^2 + 1.

  • ¿Cómo se plantea la integral para encontrar el área entre las curvas?

    -La integral se plantea como ∫_{-1}^{1} [(g(x) - f(x))] dx, lo que equivale a ∫_{-1}^{1} [(-x^2 + 3) - (x^2 + 1)] dx.

  • ¿Cuáles son los pasos para simplificar la integral antes de resolverla?

    -Primero, se simplifican los términos dentro de la integral, quedando ∫_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) dx. Luego, se separan en dos integrales: -2 ∫_{-1}^{1} x^2 dx + 2 ∫_{-1}^{1} dx.

  • ¿Cómo se evalúan las integrales resultantes?

    -Se evalúan las integrales utilizando las fórmulas estándar. Para ∫_{-1}^{1} x^2 dx, se obtiene 2/3, y para ∫_{-1}^{1} dx, se obtiene 2. Al multiplicar y sumar los resultados, el área total es 8/3 o aproximadamente 2.67 unidades cuadradas.

  • ¿Cómo se confirma el resultado del área obtenida manualmente?

    -El resultado se confirma utilizando un software como GeoGebra, que muestra que el área entre las curvas es 2.67 unidades cuadradas, coincidiendo con el resultado calculado manualmente.

  • ¿Qué aspecto se menciona como el más complicado al calcular áreas entre curvas?

    -El aspecto más complicado al calcular áreas entre curvas es resolver la ecuación que determina los puntos de intersección, especialmente si es de segundo o tercer grado.

  • ¿Qué importancia tiene saber graficar las funciones manualmente según el script?

    -Saber graficar las funciones manualmente es importante, incluso si se usa software como GeoGebra, ya que permite tener una mejor comprensión visual de la situación y de las funciones involucradas.

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