Grafica de la función cosecante

Hernan Prada Alzate

25 Nov 202314:33

Summary

TLDREl guion trata sobre cómo graficar la función cosecante, una trigonométrica que es el inverso de la función seno. Se utiliza la circunferencia unitaria concéntrica para dividir el plano cartesiano en cuatro cuadrantes y se explica cómo se comporta la cosecante en cada uno. Se detalla el proceso de dibujo paso a paso, destacando que la función cosecante es positiva en los primeros dos cuadrantes y negativa en los últimos dos, con valores que oscilan entre -1 y 1. El periodo de la función es de 360 grados y su amplitud, infinita.

Takeaways

📐 La función cosecante es el inverso de la función seno y se representa en la circunferencia unitaria concéntrica.
🔄 La circunferencia se divide en múltiplos de cuatro para alinear con los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.
🔢 Se dividen en ocho partes para obtener ángulos de 45 grados cada uno, que representan los arcos y ángulos utilizados para graficar.
📏 Se utiliza una recta tangente a la circunferencia y paralela al eje x para determinar los valores de la función cosecante.
⬆️ En los primeros y segundos cuadrantes, donde el seno es positivo, la cosecante también lo es.
⬇️ En los tercer y cuarto cuadrantes, donde el seno es negativo, la cosecante también es negativa.
🚫 La cosecante no está definida en los ángulos de 0 y 180 grados.
📈 Se grafica la función cosecante extendiendo los ángulos en la recta tangente y marcando los puntos correspondientes.
🔄 El período de la función cosecante es de 360 grados, y su amplitud varía desde -∞ a -1 y de 1 a ∞.
🔢 El valor de la cosecante en 45 grados se calcula como el inverso del seno de 45 grados, dando un resultado de √2/2.

Q & A

¿Qué función trigonométrica se discute en el guion?
-Se discute la función cosecante, que es el inverso de la función seno.
¿Cuál es la razón por la que se utiliza una circunferencia unitaria y concéntrica para graficar la cosecante?
-Se utiliza porque el centro de la circunferencia corresponde al punto de origen del plano cartesiano y su radio representa la unidad, facilitando la representación de los ángulos y sus correspondientes valores cosecante.
¿Por qué se divide la circunferencia en múltiplos de cuatro?
-Se divide en múltiplos de cuatro porque el plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes, y esto facilita la división en ocho partes, doce partes, dieciséis partes, etc.
¿Cuál es la longitud de cada arco si se divide la circunferencia en ocho partes?
-Si se divide en ocho partes, cada arco tendría una longitud de 45 grados.
¿Cómo se determina la recta tangente a la circunferencia para obtener la función cosecante?
-La recta tangente se determina por ser paralela al eje x y tangente a la circunferencia en un punto común, lo cual se utiliza para representar los valores cosecante en los primeros y segundos cuadrantes.
¿Cuál es la significación de que la función cosecante sea positiva en los primeros y segundos cuadrantes?
-Como la función seno es positiva en los primeros y segundos cuadrantes, y la cosecante es su inversa, también será positiva en esos cuadrantes.
¿Cómo se determina si la función cosecante es definida o indefinida para ciertos ángulos?
-La función cosecante es indefinida para los ángulos donde la recta tangente no intercepta la circunferencia, como ocurre en los ángulos de 0 grados y 180 grados.
¿Cuál es el valor de la cosecante en 45 grados y cómo se calcula?
-El valor de la cosecante en 45 grados es √2/2, ya que es el inverso del seno de 45 grados, que es √2/2, y se calcula racionalizando la fracción.
¿Cuál es el periodo de la función cosecante y cómo se determina?
-El periodo de la función cosecante es de 360 grados, ya que se repite cada 360 grados, lo cual se determina por la división de la circunferencia en 360 grados.
¿Cuál es la amplitud de la función cosecante y cómo se determina?
-La amplitud de la función cosecante es de 1 a -1, ya que los valores de la función oscilan entre -∞ y -1, y de 1 a ∞.

Outlines

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📐 Introducción a la Gráfica de la Función Cosecante

El primer párrafo introduce la función cosecante, una trigonométrica que es el inverso de la función seno. Se explica que la función cosecante se puede representar usando una circunferencia unitaria y concéntrica, centrada en el origen de un plano cartesiano. La circunferencia se divide en ocho partes para facilitar la representación en los cuatro cuadrantes del plano. Cada división representa un ángulo que varía de 45 grados, y se detalla cómo se calculan estos ángulos al sumar 45 grados sucesivamente desde el 0 hasta el 360 grados. Además, se menciona la necesidad de una recta tangente a la circunferencia para determinar los valores de la función cosecante en los primeros y segundos cuadrantes, donde la función cosecante es positiva debido a que la función seno es positiva.

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📈 Construcción de la Gráfica de la Función Cosecante

Este segundo párrafo se enfoca en la construcción de la gráfica de la función cosecante. Se describe cómo se prolonga un ángulo hasta que intercepta una recta paralela al eje X, y cómo esa interceptación determina el valor de la cosecante para ese ángulo. Se explica que la cosecante de 45 grados es positiva y se calcula como el inverso del seno de 45 grados, que es \(\sqrt{2}/2\). También se menciona que la cosecante de 0 grados y 180 grados no está definida, y se procede a buscar los valores para otros ángulos como 90 grados, donde la cosecante es 1, y para ángulos en el segundo cuadrante, donde los valores son los mismos que en el primer cuadrante pero invertidos en signo. Se destaca la importancia de la proyección para visualizar cómo la gráfica nunca se uniría en los puntos donde la cosecante no está definida.

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🔍 Detallando la Gráfica en los Cuadrantes

El tercer párrafo profundiza en la gráfica de la función cosecante para los ángulos en los tercer y cuarto cuadrantes. Se describe cómo la prolongación de los ángulos hasta la recta intercepta valores negativos para la cosecante, debido a que la función seno es negativa en estos cuadrantes. Se detallan los valores específicos para ángulos como 225 grados y 270 grados, y se remarca la repetición de los valores en 360 grados, que es igual a 0 grados. Se enfatiza que la gráfica de la función cosecante es periódica con un periodo de 360 grados y su amplitud varía entre -1 y 1, extendiéndose hacia infinito en ambos lados. Finalmente, se concluye con una reflexión sobre la importancia de la práctica en la gráfica de funciones trigonométricas y se menciona la posibilidad de explorar este tema en futuras ocasiones.

Mindmap

Keywords

💡Cosecante

La cosecante es una función trigonométrica que representa el cociente del seno de un ángulo. En el video, se describe cómo se relaciona con la función seno y cómo se gráfica a partir de la circunferencia unitaria. La cosecante es el inverso de la función seno, y su gráfico muestra valores positivos en los primeros y segundos cuadrantes y negativos en los terceros y cuartos.

💡Circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria es una herramienta matemática que representa todos los ángulos en un círculo de radio 1. En el video, se usa para explicar la relación entre los ángulos y las funciones trigonométricas, como la cosecante. Se divide en múltiples partes para facilitar la visualización de los ángulos y sus correspondientes valores trigonométricos.

💡División en ocho partes

La división en ocho partes se refiere a cómo se divide la circunferencia unitaria para facilitar la gráfica de la función cosecante. Cada una de estas partes representa un ángulo de 45 grados, y se usa para determinar los puntos de intersección entre la recta tangente a la circunferencia y los ángulos específicos.

💡Recta tangente

La recta tangente es una línea que toca la circunferencia unitaria en un solo punto y es paralela al eje X. En el video, se usa para determinar los valores de la cosecante en los diferentes ángulos. La recta tangente es crucial para obtener los puntos de intersección que definen el gráfico de la cosecante.

💡Ángulo

El ángulo es una medida que se forma entre dos líneas que se encuentran en un punto. En el video, los ángulos se miden en grados y se usan para determinar los valores de la cosecante en la circunferencia unitaria. Los ángulos se dividen en diferentes cuadrantes y se relacionan con los valores positivos y negativos de la cosecante.

💡Cuadrante

Los cuadrantes son las divisiones del plano cartesiano formadas por las dos ejes X e Y. En el video, se explica cómo la cosecante varía en los cuatro cuadrantes, siendo positiva en los primeros y segundos y negativa en los terceros y cuartos, basándose en la posición de los ángulos dentro de estos cuadrantes.

💡Proyección

La proyección se refiere a cómo se extiende un ángulo desde el origen hasta intersectar con la recta tangente para determinar el valor de la cosecante. En el video, se describe cómo se realizan estas proyecciones para diferentes ángulos y cómo se relacionan con los valores positivos y negativos de la cosecante.

💡Periodicidad

La periodicidad de la función cosecante se refleja en su gráfico, que se repite cada 360 grados. Esto indica que la función cosecante tiene un ciclo predecible que se repite a intervalos regulares, lo cual es un aspecto clave de las funciones trigonométricas.

💡Amplitud

La amplitud de una función se refiere al valor máximo o mínimo que puede alcanzar la función antes de repetirse. En el video, se menciona que la amplitud de la función cosecante es desde -1 hasta 1, lo que indica que los valores de la cosecante oscilan entre -1 y 1.

💡Indefinido

Un valor se dice que es indefinido cuando no puede ser calculado o determinado en un punto específico. En el video, se menciona que la cosecante es indefinida en los ángulos de 0 y 180 grados, ya que en estos puntos la recta tangente es perpendicular al eje X y no se puede determinar un valor finito para la cosecante.

Highlights

Introducción al propósito de graficar la función cosecante, una función trigonométrica.

La función cosecante es el inverso de la función seno.

Uso de la circunferencia unitaria y concéntrica para representar la función cosecante.

División de la circunferencia en múltiplos de cuatro para facilitar la representación en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.

División de la circunferencia en ocho partes para representar los ángulos de 45 grados.

Uso de la recta tangente a la circunferencia para representar la función cosecante en los primeros y segundos cuadrantes.

La función cosecante es positiva en los primeros y segundos cuadrantes, donde la función seno también es positiva.

Representación de la función cosecante en los tercer y cuarto cuadrantes, donde es negativa.

Dimensión sobre el eje X para representar la función cosecante.

Creación de una tabla de valores para los ángulos y sus correspondientes valores de cosecante.

Determinación de la primera línea trigonométrica para la función cosecante.

Proyección del ángulo de 45 grados para encontrar el valor de la cosecante.

La cosecante de 45 grados es positiva y se calcula como el inverso del seno de 45 grados.

La cosecante de 0 grados no está definida, ya que la recta tangente no intercepta a la circunferencia.

La cosecante de 90 grados es igual al radio de la circunferencia, es decir, 1.

Proyección de la función cosecante en el segundo cuadrante, donde se mantiene la misma longitud que en el primer cuadrante.

La gráfica de la función cosecante tiene una forma que refleja su comportamiento en los diferentes cuadrantes.

La función cosecante tiene un periodo de 360 grados y su amplitud varía desde -∞ a -1 y de 1 a ∞.

Conclusión del proceso de graficación de la función cosecante y su aplicación práctica.