96. Ecuación diferencial de coeficientes constantes, raíces repetidas. EJERCICIO RESUELTO.
Summary
TLDREn este video, se resuelve una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Se introduce la solución propuesta \( y = e^{r \cdot x} \), derivando la ecuación característica. La ecuación cuadrática resultante se resuelve utilizando la fórmula general, obteniendo una única solución para \( r \). Para hallar una segunda solución linealmente independiente, se multiplica la primera por \( x \). Finalmente, se presenta la solución general combinando ambas soluciones. El video concluye con un ejercicio de ecuación diferencial de tercer orden para resolver de manera similar.
Takeaways
- 📘 La ecuación diferencial tratada en el video es de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes.
- 🔍 Se propone una solución de la forma y = e^(r*x) para resolver la ecuación diferencial.
- 📐 Se forma una ecuación característica al igualar el coeficiente de la segunda derivada de y a r^2, la primera derivada a r y la función y a cero.
- 🔢 Se resuelve la ecuación característica de segundo grado usando la fórmula general de解二次方程.
- 📈 Se calcula el valor de r utilizando la fórmula r = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A, donde A=4, B=-12 y C=9.
- 🔄 Se obtiene un único valor para r, que es 3/2, indicando una solución de la ecuación diferencial.
- 🌐 Se obtiene una solución de la ecuación diferencial sustituyendo el valor de r, que es y = e^(3/2*x).
- 📝 Se menciona que para una solución general de una ecuación diferencial de segundo orden se necesitan dos soluciones linealmente independientes.
- 🔄 Se obtiene una segunda solución multiplicando la primera solución por x, dando lugar a y = x * e^(3/2*x).
- 🔑 Se presenta la solución general como una combinación lineal de las dos soluciones obtenidas: y = C1 * e^(3/2*x) + C2 * x * e^(3/2*x).
- 🔍 Se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio de ecuación diferencial de tercer orden antes de ver el siguiente video.
Q & A
¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el video?
-Se resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes.
¿Cuál es la forma general de las soluciones para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes?
-Las soluciones generalmente tienen la forma y = e^(r*x).
¿Cómo se obtiene la ecuación característica de una ecuación diferencial?
-Se reemplaza la segunda derivada de y por r^2, la primera derivada de y por r y a la función y simplemente se coloca un 1 en lugar de y.
¿Cuál es la ecuación característica para la ecuación diferencial dada en el video?
-La ecuación característica es 4r^2 - 12r + 9 = 0.
¿Cómo se resuelve la ecuación algebraica de segundo grado obtenida?
-Se resuelve mediante la fórmula general o mediante factorización. En el video se usa la fórmula general.
¿Cuál es la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado?
-La fórmula general es x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
¿Cuál es el valor de 'a', 'b' y 'c' en la ecuación característica?
-En la ecuación característica, 'a' vale 4, 'b' vale -12 y 'c' vale 9.
¿Cuál es el resultado de la ecuación característica resuelta?
-El resultado es r = 3/2, lo que indica una única solución.
¿Cómo se obtiene la primera solución de la ecuación diferencial?
-La primera solución se obtiene sustituyendo el valor de r en la forma y = e^(r*x), dando como resultado y = e^(3/2*x).
¿Cómo se obtiene la segunda solución de la ecuación diferencial?
-La segunda solución se obtiene multiplicando la primera solución por x, dando como resultado x * e^(3/2*x).
¿Cómo se escribe la solución general de la ecuación diferencial?
-La solución general se escribe como una combinación lineal de las dos soluciones obtenidas: y = C1 * e^(3/2*x) + C2 * x * e^(3/2*x).
¿Qué significa que las soluciones sean linealmente independientes?
-Significa que no se puede expresar una solución como una combinación lineal de la otra, lo cual es necesario para escribir la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.
Outlines
🧑🏫 Resolución de ecuación diferencial de segundo orden
En este video, el presentador explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden homogénea con coeficientes constantes: 4y'' - 12y' + 9y = 0. Se propone que la solución tiene la forma y = e^rX, lo que lleva a una ecuación característica: 4r^2 - 12r + 9 = 0. La ecuación cuadrática se resuelve usando la fórmula general, obteniendo r = 3/2. Como solo hay una solución, la segunda solución se encuentra multiplicando la primera por x, obteniendo así dos soluciones linealmente independientes. La solución general de la ecuación es y = C1 * e^(3/2 * x) + C2 * x * e^(3/2 * x).
📚 Presentación de una ecuación diferencial de tercer orden
El presentador deja como ejercicio una ecuación diferencial de tercer orden: y''' - y'' - 2y' = 0. Esta también es homogénea y de coeficientes constantes, y se debe resolver de manera similar a la ecuación anterior. Se sugiere escribir la ecuación característica: r^3 - r^2 - 2r = 0 y luego factorizar. En el próximo video se mostrará el procedimiento completo. El presentador concluye el video pidiendo a los espectadores que den like, se suscriban y compartan los videos.
💬 Interacción y cierre del video
El presentador invita a los espectadores a dejar cualquier pregunta o sugerencia en los comentarios, recordándoles que está disponible para responder a sus inquietudes.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación diferencial de segundo orden
💡Coeficientes constantes
💡Solución característica
💡Ecuación característica
💡Fórmula general
💡Solución linealmente independiente
💡Combinación lineal
💡Raíz de la ecuación
💡Ecuación de tercer grado
💡Factorización
Highlights
Resolución de una ecuación diferencial de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes.
Propuesta de solución en la forma de y = e^(r*x).
Obtención de una ecuación característica a partir de la ecuación diferencial.
Ecuación característica resultante: 4r^2 - 12r + 9 = 0.
Resolución de la ecuación algebraica de segundo grado mediante la fórmula general.
Valores de a, b y c en la fórmula general: a=4, b=-12, c=9.
Cálculo de la solución r = -b ± √(b² - 4ac)/2a.
Resultado de la ecuación característica: r = 3/2.
Una única solución para la ecuación diferencial obtenida.
Obtención de la primera solución de la ecuación diferencial: y = e^(3/2*x).
Necesidad de dos soluciones linealmente independientes para la ecuación diferencial.
Obtención de la segunda solución multiplicando la primera solución por x.
Segunda solución: y = x * e^(3/2*x).
Escritura de la solución general como una combinación lineal de las dos soluciones.
Introducción de constantes arbitrarias c1 y c2 en la solución general.
Presentación del siguiente ejercicio: ecuación diferencial de tercer orden.
Ecuación diferencial de tercer orden: y''' - y'' - 2y' = 0.
Ecuación característica para la ecuación diferencial de tercer orden: r³ - r² - 2r.
Factorización de la ecuación característica y resolución del factor de segundo grado.
Invitación al público a intentar resolver el ejercicio antes de ver el siguiente video.
Sugerencia de dejar comentarios para preguntas o sugerencias.
Transcripts
Hola y bienvenidos a otro video de Mate
fácil en este video vamos a resolver la
siguiente ecuación diferencial 4y B
prima - 12y prima + 9y = 0 Esta es una
ecuación diferencial de segundo orden
homogénea y de coeficientes constantes
Así que las soluciones de esta ecuación
tendrán esta forma y = e elevado r * X
en este caso cuando proponemos este tipo
de solución obtenemos aquí una ecuación
característica que podde deducir a
partir de la propia forma de la ecuación
diferencial simplemente en donde
aparezca la segunda derivada de y vamos
a poner r cuadrada donde aparezca la
primer derivada de y vamos a poner una r
y donde aparezca la propia y nada más la
quitamos y nos quedamos con el puro
coeficiente O sea que en este caso nos
va a quedar 4r cu - 12r + 9 = 0 y ahora
hay que resolver esta ecuación que es
una ecuación algebraica de segundo grado
que podemos resolver mediante la fórmula
general o mediante factorización yo lo
voy a hacer mediante la fórmula general
Esta es la fórmula general x = - B + men
ra cuadrada de B cuada - 4ac sobre 2a
aquí hay que recordar que a es el
coeficiente de r cuadrada que vale 4 B
es el coeficiente de r que en este caso
Vale -1 y C es el término independiente
que en este caso vale 9 Entonces
sustituimos y nos queda que r es = a *
-1 + men ra cu -1 cu
- 4 * 4 * 9 sobre 2 * 4 simplemente
sustituí el valor de cada una de las
letras en la fórmula y ahora lo que
vamos a hacer es realizar las
operaciones que están aquí indicadas
empezamos multiplicando aquí elevando
aquí al cuadrado haciendo estas
multiplicaciones y entonces nos queda
esto de aquí menos por menos es más
entonces queda 12 positivo afuera aquí
adentro -1 cu es 12 * 12 que son 144 y
queda positivo luego Aquí 4 * 4 16 * 9
también son 144 y 2 * 4 88 ahora hacemos
esta resta que está aquí adentro de la
raíz 144 - 144 es 0 y la raíz de 0 es 0
Y si a cualquier número le sumamos o le
restamos 0 sigue siendo el mismo número
o sea que toda esta parte de aquí se
cancela porque vale cer Y nada más nos
queda entonces
12/8 podemos simplificar la fracción
sacando aquí cuarta y cuarta o mitad dos
veces mitad de 12 nos da 6 mitad de 8 4
mitad de 6 3 mitad de 4 2 o sea sacamos
Mitad y Mitad dos veces entonces
llegamos a
3/2 bueno Esta es entonces la única
solución de esta ecuación de segundo
grado en este caso obtuvimos una sola
solución así que a partir de aquí
podemos obtener una sola solución para
la ecuación diferencial sustituyendo
aquí el valor de r que en este caso r
vale 3/2 sustituimos aquí y nos queda
que y es igual a e elevado 3/2 * x bueno
Bueno entonces nada más tenemos una
solución pero para poder resolver la
ecuación diferencial necesitamos dos
soluciones linealmente
independientes en este caso cuando
solamente podemos obtener una solución
de la ecuación característica obtenemos
la segunda solución de nuestra ecuación
diferencial multiplicando esta solución
por x o sea que la segunda solución va a
ser x * e elevado 3/2 x y así hemos
obtenido Entonces dos soluciones
linealmente independientes y ya podemos
escribir la solución general como una
combinación lineal de estas dos
soluciones de la siguiente manera
ponemos que y es igual a una constante
arbitraria c1 por la primer solución e
elevado 3/2 * x más una constante C2 * x
* e elevado 3/2 de x y ya tenemos
entonces la solución
general Ahora les dejo a ustedes el
siguiente ejercicio bueno en este caso
tenemos una ecuación diferencial de
Tercer orden aquí tenemos la tercer
derivada de y menos la segunda derivada
de y menos dos veces la derivada de y =
a 0 Esta es una ecuación de Tercer orden
Pero también es de coeficientes
constantes y también es homogénea se
resuelve de la misma manera que hemos
estado resolviendo las ecuaciones hasta
ahora aquí se va a empezar escribiendo
la ecuación característica de esta
ecuación diferencial la cual en este
caso donde aparece la tercer derivada va
a ir r cúbica donde aparece la segunda
derivada va a ir r cuadrada donde
aparece la primer derivada va a ir r
Entonces nos va a quedar r cúbica - r cu
- 2r Y a partir de ahí hay que resolver
esa ecuación que es una ecuación de
tercer grado pero que podemos resolver
ya que podemos factorizar una r y nos va
a quedar otro factor que es de segundo
grado que podemos resolver mediante la
fórmula general les digo todo esto para
que ustedes intenten resolverla antes de
ver el siguiente video y De cualquier
manera en el siguiente video yo les
muestro el procedimiento completo para
que verifiquen su respuesta si les gustó
este video apóyenme regalando un like
suscríbanse a mi canal y compartan mis
videos y Recuerden que si tienen
cualquier pregunta o sugerencia pueden
dejarla en los comentarios
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