87. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO
Summary
TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate, fácil', se explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea. Se propone una solución de la forma \( y = e^{rx} \), se derivan y se sustituyen en la ecuación original, conduciendo a la ecuación característica. A través de factorización, se resuelven los valores de \( r \) y se obtienen dos soluciones linealmente independientes. La solución general se expresa como una combinación de ambas soluciones, multiplicadas por constantes arbitrarias. Además, se invita a los espectadores a practicar con un ejercicio similar y se anima a la interacción a través de comentarios y sugerencias.
Takeaways
- 🧮 En este video se resolverá una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes.
- 📊 La ecuación diferencial homogénea a resolver es: y'' + 4y' + 3y = 0.
- 🔧 El primer paso es proponer una solución de la forma y = e^(rx) y sustituirla en la ecuación diferencial.
- 📉 Al sustituir las derivadas, se obtiene una ecuación algebraica llamada ecuación característica.
- ✏️ La ecuación característica es r² + 4r + 3 = 0, una ecuación de segundo grado.
- 📐 Esta ecuación se puede resolver fácilmente mediante factorización: (r + 1)(r + 3) = 0.
- 🧑🏫 Las soluciones para r son r = -1 y r = -3, lo que permite obtener dos soluciones linealmente independientes.
- 📝 La solución general de la ecuación diferencial es: y = c1 * e^(-x) + c2 * e^(-3x).
- 🔍 Se deja un ejercicio similar al espectador: resolver la ecuación diferencial y'' - 10y = 0.
- 👍 Se invita a los espectadores a suscribirse al canal y dejar preguntas o sugerencias en los comentarios.
Q & A
¿Cuál es la ecuación diferencial de segundo orden que se resuelve en el vídeo?
-La ecuación diferencial de segundo orden que se resuelve es \( y'' + 4y' + 3y = 0 \).
¿Qué método se utiliza para resolver la ecuación diferencial mencionada?
-Se utiliza el método de la ecuación característica para resolver la ecuación diferencial de segundo orden.
¿Cómo se propone una solución inicial para la ecuación diferencial?
-Se propone una solución de la forma \( y = e^{rx} \) y se sustituye en la ecuación diferencial para calcular las derivadas y simplificar.
¿Qué es la ecuación característica y cómo se obtiene?
-La ecuación característica es una ecuación algebraica que se obtiene de la ecuación diferencial al sustituir \( y = e^{rx} \), \( y' = re^{rx} \) y \( y'' = r^2e^{rx} \) y simplificar.
¿Cómo se resuelve la ecuación característica para la ecuación diferencial dada?
-Se resuelve la ecuación característica \( r^2 + 4r + 3 = 0 \) mediante factorización, encontrando los valores de \( r \) que satisfacen la ecuación.
¿Cuáles son los valores de \( r \) que se obtienen al resolver la ecuación característica?
-Los valores de \( r \) que se obtienen son \( r = -1 \) y \( r = -3 \).
¿Qué significan los valores de \( r \) en el contexto de la ecuación diferencial?
-Los valores de \( r \) representan las soluciones exponenciales de la ecuación diferencial, y son los exponentes de las soluciones particulares.
¿Cómo se determina la solución general de la ecuación diferencial?
-La solución general se determina como una combinación lineal de las soluciones particulares, que son \( c_1e^{-x} \) y \( c_2e^{-3x} \), donde \( c_1 \) y \( c_2 \) son constantes arbitrarias.
¿Por qué son necesarias dos soluciones linealmente independientes para la solución general?
-Son necesarias dos soluciones linealmente independientes para asegurar que la solución general abarque todo el espacio solución de la ecuación diferencial de segundo orden.
¿Cómo se relaciona la ecuación diferencial resuelta con las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes y homogéneas?
-La ecuación diferencial resuelta es un ejemplo de una ecuación diferencial de coeficientes constantes y homogénea, lo que significa que los coeficientes de las derivadas no dependen de la variable independiente y no hay términos no homogéneos.
Outlines
📘 Resolución de una ecuación diferencial de segundo orden
El vídeo comienza explicando cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea. Se propone una solución de la forma y = e^(rx) y se procede a calcular las primeras y segundas derivadas para sustituir en la ecuación diferencial. Se menciona que la ecuación característica se puede obtener directamente de la ecuación diferencial sin la necesidad de derivar y sustituir, simplemente reemplazando donde aparece la segunda derivada con r^2, la primera derivada con r y la función y sin derivar sin r. Al aplicar esto, se obtiene la ecuación característica r^2 + 4r + 3 = 0, que se resuelve factorizando y encontrando los valores de r. Se explica que para una ecuación diferencial de segundo orden, se necesitan dos soluciones linealmente independientes, que en este caso son e^(-x) y e^(-3x). Finalmente, se escribe la solución general de la ecuación diferencial como una combinación de estas dos soluciones con constantes arbitrarias c1 y c2.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación diferencial
💡Segundo orden
💡Coeficientes constantes
💡Homogénea
💡Solución
💡Ecuación característica
💡Factorización
💡Linealmente independientes
💡Solución general
💡Condiciones iniciales
Highlights
Introducción al vídeo sobre cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden.
Ecuación diferencial de segundo orden presentada: javi prima más 4y prima + 3y igual a 0.
La ecuación es una ecuación diferencial de coeficientes constantes y es homogénea.
Proponer una solución de la forma y = e^(rx).
Calcular la primera y segunda derivada de y y sustituir en la ecuación diferencial.
Obtener la ecuación característica directamente desde la ecuación diferencial.
La ecuación característica es r^2 + 4r + 3 = 0.
Resolver la ecuación algebraica de segundo grado por factorización.
Factorizar la ecuación para obtener (r + 1)(r + 3) = 0.
Determinar los valores de r como -1 y -3.
Explica que se necesitan dos soluciones linealmente independientes para la solución completa.
Solución 1: y = e^(-x).
Solución 2: y = e^(-3x).
Forma de la solución general de la ecuación diferencial.
Ejemplo de cómo escribir la solución general con constantes arbitrarias c1 y c2.
Ejercicio propuesto para el público: resolver la ecuación y'' - 10y' = 0.
Recordatorio de que la ausencia de y' en la ecuación no es un problema para la resolución.
Invitación a los espectadores a resolver el ejercicio y a compartir sus dudas en los comentarios.
Solicitud de like, suscripción y compartición de los videos.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a resolver la
siguiente ecuación diferencial de
segundo orden
javi prima más 4 y prima + 3g igual a 0
es una ecuación diferencial de
coeficientes constantes y es homogénea
cuando tenemos una ecuación de este tipo
lo que hacemos es empezar proponiendo
una solución de esta forma que iguala a
la rx y la sustituimos en nuestra
ecuación diferencial básicamente lo que
hacemos aquí es calcular la primera
derivada y la segunda derivada y
sustituirlas en la ecuación diferencial
como ya expliqué en un vídeo anterior
cuando hacemos esto esto nos conduce a
una ecuación algebraica en la cual
nuestra incógnita va a ser r a esa
ecuación se le llama ecuación
característica y la podemos obtener
directamente desde la ecuación
diferencial sin necesidad de hacer todo
el procedimiento de derivar y de
sustituir y simplificar simplemente
donde aparezca la segunda derivada de y
vamos a poner ere cuadrada donde
aparezca la primer derivada de que vamos
a poner r
y donde aparezca únicamente ye sin
derivada ahí no ponemos ninguna ninguna
ere nada más ponemos el puro número
entonces obtenemos la ecuación es re
cuadrada más 4 del más 3 igual a 0 la
cual es una ecuación algebraica de
segundo grado que podemos resolver
mediante el uso de ya sea de la fórmula
general para resolver este tipo de
ecuaciones o bien mediante factorización
en este caso es muy sencillo resolver
esta ecuación mediante factorización
simplemente hay que encontrar dos
números que multiplicados nos den 3 y
que sumados nos den 4 en este caso esos
números son 1 y 3 porque cuando
multiplicamos 1 por 3 nos da 3 y 13 nos
da 4 entonces ponemos en un paréntesis r
más uno y en otro paréntesis r 3 y esto
igual a cero bueno todo esto es simple
álgebra es un pequeño repaso de
factorización bueno aquí ahora lo que
hacemos es igualar cada factor a cero
osea ponemos que r más uno es igual a
cero y que el 3 es igual a 0 y de aquí
simplemente despejamos este 1 que está
sumando pasamos
al lado derecho y este 3 lo pasamos
restando el lado derecho y nos queda que
r es igual a menos 1 que es igual a
menos 3 entonces hemos obtenido dos
valores para r y esto es así porque
recuerden que cuando tenemos una
ecuación diferencial de segundo orden
vamos a tener bueno tenemos que
encontrar dos soluciones que son
linealmente independientes para obtener
la solución completa de la ecuación
diferencia en este caso una de las
soluciones la vamos a obtener
sustituyendo el primer valor de r que es
menos 1 aquí y entonces obtenemos que 1
o sea la solución uno va a ser igual a e
elevado a la r que es menos uno menos 1
x que simplemente lo podemos poner como
menos x
y cuando sustituimos la otra solución
menos 3 obtenemos la segunda solución
que es linealmente independiente de 2
igual ha elevado a menos 3 por x ya que
tenemos dos soluciones de la ecuación
diferencial podemos escribir la solución
general de la siguiente manera
simplemente escribimos una constante
arbitraria c1 multiplicada por ea la
menos x más otra constante arbitraria c2
multiplicada por ala menos 3x y está de
aquí es la solución general de esta
ecuación diferencial
bueno así es como se resuelve en este
tipo de ecuaciones diferenciales ahora
les dejo a ustedes un ejercicio similar
para que practiquen un poco calcular la
solución general de esta ecuación
diferencial y evi prima menos 10 igual a
0 noten que aquí no aparece prima pero
eso no es ningún problema cuando
obtengamos la ecuación característica de
esta ecuación diferencial recuerden que
donde aparece la segunda derivada la
erre cuadrada donde aparece la primera
derivada r pero como aquí no aparece la
primera derivada significa que no va a
haber una r y donde aparece que no se
pone ninguna r solamente se pone el
coeficiente que en este caso es un 1 con
eso en mente los invito a que ustedes
resuelvan esta ecuación y ya en el
siguiente vídeo les muestro
procedimiento completo para que
verifiquen su respuesta si les gustó
este vídeo apoyen me regalándome un like
suscríbase a mi canal y compartan mis
vídeos y recuerden que si tienen
cualquier pregunta o sugerencia pueden
dejarla en los comentarios
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