🌟 ¿CUALES? NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
Summary
TLDREn este video se explica la evolución de los números desde los naturales hasta los irracionales. Se comienza con los números naturales utilizados para contar, luego se introducen los enteros, incluyendo el cero y los negativos. Después, se presentan los números racionales, que se pueden expresar como fracciones y decimales, y se diferencian de los irracionales, cuyos decimales son infinitos y no tienen periodo, como el número pi. Finalmente, se clasifica a todos estos números dentro del conjunto de los números reales, que abarcan naturales, enteros, racionales e irracionales.
Takeaways
- 🧮 Los números naturales son los primeros que usamos para contar, como el 1, 2, 3, y así sucesivamente.
- ➖ Después se descubrieron el 0 y los números negativos, lo que amplió el conjunto a los números enteros.
- 🍊 Los números racionales incluyen fracciones y decimales, como la mitad de una naranja, que es 1/2 o 0.5.
- 📏 Un número racional se puede escribir como una fracción (a/b), con la condición de que b no sea 0.
- 🧑🏫 Los números racionales pueden representarse como fracciones, decimales o números enteros, dependiendo de la fracción.
- ♾️ Algunos decimales se repiten infinitamente (decimales periódicos), mientras que otros terminan (decimales exactos).
- 🔄 Los decimales periódicos puros repiten el mismo número, mientras que los decimales periódicos mixtos repiten varios dígitos.
- 💡 Los números irracionales son aquellos que tienen decimales infinitos sin ningún periodo, como π o la raíz de 3.
- 📐 No es posible representar los números irracionales como fracciones, a diferencia de los racionales.
- 🔢 El conjunto de los números reales incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Q & A
¿Qué son los números naturales?
-Los números naturales son los más básicos que utilizamos para contar, como el 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente.
¿Qué sucedió después del descubrimiento de los números naturales?
-Se descubrió que también existía el número cero y los números negativos, lo que amplió el conjunto de números a los números enteros.
¿Qué son los números racionales?
-Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracciones, es decir, en la forma de a sobre b, donde 'a' y 'b' son números enteros y 'b' no puede ser cero.
¿Qué diferencia a los números enteros de los números racionales?
-Los números enteros incluyen los números positivos, negativos y el cero, mientras que los números racionales incluyen fracciones que pueden representar números decimales.
¿Cómo se identifica un número racional?
-Un número racional se identifica con la letra 'Q' mayúscula, que viene de la palabra inglesa 'quotient'.
¿Qué ocurre si se intenta dividir un número entre cero?
-Dividir un número entre cero no tiene sentido, ya que no es posible dividir algo entre nada.
¿Qué son los decimales periódicos puros?
-Son decimales en los que un número se repite infinitamente, como el caso de 7/3, que equivale a 2.3333... con un 3 que se repite infinitamente.
¿Qué son los números irracionales?
-Los números irracionales son aquellos que no se pueden representar como fracciones y cuyos decimales son infinitos sin que se repita ningún patrón, como el número pi (π).
¿Qué diferencia a los números irracionales de los racionales?
-La diferencia es que los números irracionales tienen decimales infinitos sin ningún periodo que se repita, mientras que los racionales sí pueden representarse como fracciones y a menudo tienen decimales periódicos.
¿Qué conjunto abarca a los números naturales, enteros, racionales e irracionales?
-Todos estos números pertenecen al conjunto de los números reales, que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Outlines
🧮 Introducción a los números naturales y enteros
El video comienza explicando los números naturales, que son los primeros que el ser humano descubrió, usados para contar: 1, 2, 3, etc. Luego se menciona la incorporación del número cero y los números negativos, lo que amplió el conjunto de números. Estos nuevos números, incluyendo los negativos y el cero, formaron el conjunto de los números enteros.
🍊 Descubrimiento de los números racionales
A medida que el ser humano dividía objetos como naranjas o barras de chocolate, surgió la necesidad de representar fracciones, lo que llevó al descubrimiento de los números racionales. Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracciones (a/b), donde b es diferente de cero. Estos números incluyen tanto decimales exactos como fracciones equivalentes.
🧮 Fracciones y decimales en los números racionales
Los números racionales permiten equivalencias entre fracciones y números decimales. Por ejemplo, 3/2 equivale a 1.5, y -9/5 equivale a -1.8. Además, algunos números racionales dan como resultado decimales periódicos, que pueden ser periódicos puros, como 2.444..., o periódicos mixtos, donde solo una parte del decimal se repite.
🔄 Representaciones múltiples de números racionales
Un número racional puede tener varias representaciones. Por ejemplo, el número 4 puede representarse como una fracción (16/4 o 8/2), o incluso como una raíz cuadrada (√16). Estas distintas formas no cambian el hecho de que el número sigue siendo racional.
♾️ Decimales periódicos y mixtos en fracciones
Algunos números racionales generan decimales infinitos que se repiten. Estos decimales pueden ser periódicos puros, donde solo un número se repite, o periódicos mixtos, donde una secuencia de varios números se repite infinitamente. Se dan varios ejemplos, como 7/3 que resulta en 2.333... y 245/198 que genera 1.23737... periódicamente.
🌀 Diferencias entre números racionales e irracionales
Los números irracionales, como el número pi, no pueden representarse como fracciones y tienen decimales infinitos sin periodo repetitivo. Se comparan con los racionales, que sí se pueden expresar como fracciones, y se introducen ejemplos de números irracionales como √3 y el número áureo.
🔢 Clasificación de los números reales
El video concluye mostrando la clasificación de los números reales, que incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Todos estos números forman parte del conjunto de los números reales, y se hace una revisión rápida de cada tipo, explicando cómo están relacionados.
Mindmap
Keywords
💡Números naturales
💡Números enteros
💡Números racionales
💡Fracción
💡Decimales
💡Decimal periódico
💡Números irracionales
💡Número pi
💡Raíz cuadrada
💡Números reales
Highlights
Los números naturales son los más básicos y se utilizan para contar: 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente.
El ser humano descubrió el número cero y los números negativos, ampliando el campo de las matemáticas.
Los números enteros incluyen los números positivos, negativos y el cero.
Para dividir números enteros, se descubrieron los números racionales que se pueden escribir en forma de fracción.
Un número racional se escribe en la forma a/b, donde b debe ser diferente de 0.
Los números racionales incluyen fracciones y decimales, como tres medios que equivale a 1.5.
Las fracciones pueden representar números enteros, como 8/4 que es igual a 2.
Un número racional tiene diferentes formas de representación, como 4 que se puede escribir como 16/4, 8/2 o raíz cuadrada de 16.
Algunos números decimales terminan, como 0.5, mientras que otros son periódicos, como 7/3, que equivale a 2.333 con repetición infinita.
Los decimales periódicos puros repiten el mismo número infinitamente, como 2.444 en 22/9.
Los decimales periódicos mixtos tienen más de un número en la repetición, como 0.74 en 22/27.
Los números racionales pueden representarse en forma de fracción, como 19/10 que equivale a 1.9.
Los números irracionales tienen decimales infinitos sin ningún período, como la raíz cuadrada de 3 y el número pi.
El número pi es un ejemplo famoso de número irracional, con decimales infinitos que nunca se repiten.
La clasificación de números reales incluye naturales, enteros, racionales e irracionales.
Transcripts
[Música]
hola vamos a hacer un resumen rapidito
ya vimos que los números naturales son
los más básicos podría decirse que son
los primeros que se descubrieron pues
son los que utilizamos para contar el 1
el 2 el 3 el 4 y así sucesivamente no
después del ser humano en aquel entonces
cuando estaban descubriendo esto vio que
había un número cero y números negativos
entonces ya no nada más se contaba a
partir del 1 hacia delante sino que ya
había un 0 y se contaba hacia el lado
contrario nuevos números negativos
entonces ampliaron el campo de las
matemáticas ya este conjunto le llamaron
números enteros
saleh después que pasó bueno ya no
bastaban nada más con números enteros a
positivos negativos y ceros sino que
había que dividirlos y había raciones
entonces de aquí vienen ya los números
racionales
por ejemplo imagínate que en aquel
entonces tienen una naranja no esto pues
es una una naranja y pertenece por
ejemplo al número a los números
naturales que es 1 o números enteros
positivos pero qué pasa si dividieron en
aquel entonces la naranja y dijeron chin
qué número es no
bueno pues ahora ahí para eso
descubrieron los números racionales que
se pueden escribir en forma de fracción
básicamente las fracciones son esto la
mitad de una naranja es un medio y un
medio equivale a 0.5 y así podemos hacer
con cualquier otra cosa por ejemplo
imagínate una barra de chocolate la
divide en tres partes entonces tomas una
de las partes que parte del chocolate te
queda bueno pues te queda dos partes de
tres que se dividieron osea dos tercios
de la barra del chocolate entonces
imagínate primero descubren los números
así sencillitos después agrega números
negativos de cero y después ven que se
pueden dividir y vienen las fracciones y
vienen los números decimales entonces el
cero es el ser humano poco a poco fue
descubriendo más números mira vamos a
ver ahora precisamente más acerca de los
números racionales
bueno los números racionales se
identifican con la letra q mayúscula la
q viene de una palabra en inglés scott
cousins y significa cociente un número
racional se escribe de la forma a sobre
b a esto también se le conoce como una
fracción común sale bueno mira
y ve dentro del formalismo vamos a decir
que pertenecen al conjunto de zeta
es decir de los números enteros que
quiere decir esto que tanto en a como b
puedes poner cualquier número de los
enteros o sea ya sean negativos en
positivos pero hay una excepción esta
que ve sea diferente de 0 esa es la
única condición tanto a como puede ser
cualquier número de los enteros pero b
tiene que ser diferente de 0 mira vamos
a ver por qué una fracción muy común es
un medio con este no hay problema pero
qué pasa si quiere dividir 3 entre 0
bueno no tiene dividir si tienes 3 si lo
quiere dividir entre 0 no tiene sentido
porque lo estás dividiendo entre nada
entonces no tiene sentido la división
que estás realizando
básicamente entonces los números
racionales son fracciones como estos
ejemplos que tenemos aquí y los números
racionales nos dan equivalencias en
números decimales o números enteros
depende de la fracción que tengamos por
ejemplo esta tres medios equivale a 1.5
y es un número decimal no esta fracción
de menos 9 quintos equivale a menos 1.8
bien entonces tenemos decimales no pero
por ejemplo esta 8 cuartos o sea 8 entre
4 es igual a 2 entonces vemos que este
resultado es un número entero también
entonces los números racionales abarcan
lo que son números decimales fracciones
números enteros como por ejemplo el 2 a
su vez también es un número natural no
[Música]
ahora vamos a ver de cuántas formas
podemos representar un número racional
por ejemplo el 4
de qué otra forma es poder presentar
bueno una fracción de 16 entre 4 es el
resultado de 4 es básicamente lo mismo
no los dos son cuatro
su valor absoluto otra forma sería ocho
medios ocho entre dos cuánto es cuatro
no entonces esa es otra forma en una más
raíz cuadrada de 16 porque raíz cuadrada
de 16
bueno pues 4 x 4 es 16 entonces esta es
otra otra forma de representar el número
4 entonces como vemos todos estos formas
de representar se quiere no quiere decir
que sean distintos números al final
todos son racionales en los números
racionales podemos encontrar sus
equivalencias en decimales por ejemplo
un medio equivale a 0.5 y el decimal
termina hasta ahí no
a esto se le conoce como decimal exacto
porque ya no hay más por ejemplo tres
quintos 0.6 y hasta ahí nueve cuartos
equivale a las 2.25 y hasta ahí porque
me refiero a esto que hasta ahí y bueno
porque hay diferentes resultados por
ejemplo siete tercios en esta fracción
equivale a un número con un decimal que
se repite infinitamente por ejemplo eso
tiene estar linea arriba lo que nos dice
que se va a repetir infinitamente por
ejemplo entonces ahora 2.333 3 y así
hasta el infinito entonces mirar en otro
ejemplo de la fracción 22 sobre 9
nuestro resultado de 2.444 44 y así
hasta el infinito
entonces estos decimales se le conoce
como decimal periódico puro porque es un
número sólo un número que se repite a sí
mismo infinitamente a diferencia de
éstos
[Música]
terminan en uno solo por ejemplo 0.6 y
hasta ahí por otra parte miren vamos a
ver otro tipo de infracciones que es por
ejemplo 22 entre 27 equivale a 0.74 pero
vemos aquí que por ejemplo la línea está
sobre el decimal de los tres números
quiere decir que se va a repetir el 074
infinitamente 0 74 07 40 74 sale este
tipo de decimales es conocido como
periódica mixta porque pues bueno tiene
distintos o distintos números en sus en
su decimal por ejemplo 0 7 cual son 3 y
3 números a diferencia de estos que se
repiten infinitamente no por ejemplo 245
entre 198
equivale a 1.2 el 2 se mantiene pero la
línea que marca al 3 y el 7 es el que se
repite dos puntos 1.2 37 37 37 y así
hasta el infinito el 37 se va a repetir
entonces se conforma por un número y
otras dos cifras que se van a repetir
infinitamente o sea ya no va a cambiar
en resumen los números racionales son
los que pueden representarse de la forma
aso breve como fracción por ejemplo 1.9
porque es racional porque se puede
representar en forma de fracción es
decir si tú divides 19 entre 10 tu
resultado pues va a ser de 1.9 entonces
1.9 de 19 sobre 10 es lo mismo el 2 por
ejemplo el 2 porque es racional pues
puede representarse como 12 en 36 por
ejemplo 12 entre 62 equivale a 2
entonces por eso es racional el decimal
1.25 con decimales infinitos que es 25
25 mil 55 puede representarse en
fracción dividiendo 124 entre 99 y vamos
a obtener el resultado es 1.25 en 55
los números que pueden representarse
como a sobre b pues son números
racionales pero qué pasa si tenemos por
ejemplo números con decimales como esté
1.41 42 13 50 y 62 ok que podemos
encontrar aquí que no hay ningún periodo
no hay ningún número que se repite
es decir por ejemplo cómo en este 95 25
25 se repiten por ejemplo aquí 1.9 y
hasta ahí llega no pero aquí en este
caso tenemos números así al azar que se
van mezclando no hoy infinitamente vamos
a poder encontrar números que son así a
este tipo de números se les conoce como
números irracionales la característica
de los números racionales es que son
decimales infinitos que no tienen ningún
periodo estos por ejemplo el número pi
que equivalente tiene tiene 3.14
15 92 6 54 y así los decimales de pi
nunca nunca terminan pero no hay ningún
periodo como aquí entonces este tipo de
números no hay forma de que se puede
representar en fracción a diferencia de
los números racionales
por eso son irracionales los números
irracionales no tienen una letra
especial para designarlos nosotros vamos
a utilizar la y mayúscula que está
totalmente aceptada pero también existe
otra forma de representar los que es la
q prima esta comida que le ponemos aquí
nos diferencia de los que son los
racionales
así identificamos irracionales pero
vamos a ocupar nosotros la i mayúscula
es importante no confundir esta y con el
conjunto de números imaginarios que ya
vamos a ver más adelante pero bueno los
números irracionales entonces son
números con decimales infinitos y que no
tengan no tienen ningún periodo vale por
ejemplo raíz cuadrada de 3 nos da un
número irracional que es 1 puntos 73 20
50
a 8 y así esto continúa infinito e
infinito sin ningún tipo de periodo sale
otro número que ya habíamos visto es el
número pi que sabemos que sus números
son infinitos y no hay ningún tipo de
periodo otro número irracional famoso es
el número pi o el número áureo que nos
da resultado como 1.61 80 33 48 así así
continúa importante los números
irracionales no pueden representarse en
forma de fracción y es así como
construimos nuestra clasificación de
números reales
vamos a ver empezamos con los números
naturales que son los más básicos los
que utilizamos para contar y los
primeros que descubrimos después
descubrimos que había números negativos
y había un número cero y después vimos
que estos números se podían representar
en formas de fracciones y obteníamos
decimales ya sea de distintos tipos y
estos son racionales y a los decimales
que no podían representarse en forma de
fracción como los que acabamos de ver ya
los llamamos a estos irracionales no
entonces a todo este conjunto de números
pues estos son los números reales que
decir que todos éstos sean natural sea
entero sea racional sea irracional es un
número real
[Música]
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y
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