APROXIMACIÓN LINEAL DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 1

julioprofe

2 Mar 201607:15

Summary

TLDREl vídeo explica cómo calcular la derivada de una función y su aproximación lineal. Se utiliza la función f(x) = x^(1/3) como ejemplo. Se calcula la primera derivada y se evalúa en x=1, obteniendo f'(1) = 1/3. Luego, se encuentra la aproximación lineal de f(x) en x=1, que es L(x) = x + 2/3. Finalmente, se utilizan estas aproximaciones para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, obteniendo valores muy cercanos a los reales, demostrando la precisión de la aproximación.

Takeaways

🔢 La función f(x) es la raíz cúbica de x, que se escribe como x elevado a la potencia de un tercio.
📈 La primera derivada de f(x), f'(x), se calcula como \( \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \).
🎯 Al evaluar la primera derivada en x = 1, f'(1) se simplifica a \( \frac{1}{3} \).
✏️ La fórmula para la aproximación lineal de f(x) cerca de un punto a es f(a) + f'(a)(x - a).
📍 Para x cercano a 1, la aproximación lineal de f(x) es \( \frac{x + 2}{3} \).
👉 Al aplicar la aproximación lineal para x = 0.9, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 0.9 como 0.9666... (con 6 repetido indefinidamente).
👈 Al aplicar la aproximación lineal para x = 1.1, se obtiene una estimación de la raíz cúbica de 1.1 como 1.0333... (con 3 repetido indefinidamente).
📊 La aproximación lineal es confiable para valores de x cercanos a 1, como 0.9 y 1.1.
🧮 La aproximación lineal proporciona resultados que son muy cercanos a los valores exactos de la función f(x) para x cercanos a 1.

Q & A

¿Qué función f(x) se discute en el guion?
-Se discute la función f(x) que es la raíz cúbica de x, es decir, x elevado a la un tercio.
¿Cuál es la primera derivada de f(x)?
-La primera derivada de f(x) es f'(x) = 1/(3x^(2/3)).
¿Cómo se calcula f'(1)?
-Al sustituir x por 1 en la expresión de la derivada, f'(1) se calcula como 1/(3*1^(2/3)), que resulta en 1/3.
¿Qué es la aproximación lineal de una función en un punto dado?
-La aproximación lineal, también conocida como la línea tangente, es una recta que se aproxima a la curva de la función cerca del punto dado, y se calcula como f(a) + f'(a)(x - a).
¿Cómo se determina la aproximación lineal de f(x) en x = 1?
-La aproximación lineal de f(x) en x = 1 se determina sustituyendo a por 1 en la fórmula de la aproximación lineal, dando como resultado la expresión x + 2/3.
¿Para qué se usa la aproximación lineal en el guion?
-La aproximación lineal se usa para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1, utilizando la línea tangente cerca de x = 1.
¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 0.9 usando la aproximación lineal?
-Al sustituir x por 0.9 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 0.9 + 2/3, que se calcula como 0.96 (con un 6 repetido indefinidamente).
¿Cuál es la estimación de la raíz cúbica de 1.1 usando la aproximación lineal?
-Al sustituir x por 1.1 en la expresión de la aproximación lineal, se obtiene 1.1 + 2/3, que se calcula como 1.03 (con un 3 repetido indefinidamente).
¿Por qué es confiable usar la aproximación lineal para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1?
-Es confiable porque estos valores están cerca de 1, y la línea tangente es una buena aproximación en la cercanía del punto donde se toma la derivada.
¿Cómo se verifica la precisión de las estimaciones usando una calculadora?
-Se verifica la precisión al calcular los valores aproximados y compararlos con los resultados exactos de la raíz cúbica de 0.9 y 1.1, observando que los valores son muy cercanos.

Outlines

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📚 Derivada y Aproximación Lineal

En el primer párrafo se describe cómo calcular la derivada de la función f(x) = ∛x y su valor en x=1. La función f(x) se reescribe como x^(1/3) y se deriva para obtener f'(x) = (1/3)x^(-2/3). Al evaluar esta derivada en x=1, se obtiene f'(1) = 1/3. Además, se explica cómo encontrar la aproximación lineal de la función en x=1, que se representa como L(x) = f(1) + f'(1)(x-1). Al reemplazar los valores, se obtiene L(x) = 1 + (1/3)(x-1), que simplifica a L(x) = (1/3)(x+2). Este resultado se utiliza para estimar las raíces cúbicas de 0.9 y 1.1.

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🔍 Estimación de Raíces Cúbicas

El segundo párrafo se centra en la estimación de la raíz cúbica de 0.9 y 1.1 utilizando la aproximación lineal obtenida en el párrafo anterior. Al sustituir x=0.9 en la expresión de la aproximación lineal, se calcula ∛0.9 ≈ 0.96..., que se aproxima a 0.966. De manera similar, al sustituir x=1.1, se obtiene ∛1.1 ≈ 1.032..., que se aproxima a 1.032. Estos resultados son considerados confiables debido a que los valores estimados están cercanos a los reales, demostrando que la aproximación lineal es una buena representación de la función en la cercanía de x=1.

Mindmap

Keywords

💡Función f(x)

La función f(x) es un concepto fundamental en matemáticas, representando la relación entre dos conjuntos de números, donde cada elemento del primer conjunto (dominio) se relaciona con un único elemento del segundo conjunto (imagen). En el guion, la función f(x) se define como la raíz cúbica de x, es decir, x elevado a la potencia de 1/3. Esta función es central para el tema del video, ya que se utiliza para derivar y aproximar otras funciones.

💡Derivada

La derivada de una función es un concepto del cálculo que describe la tasa a la que una función cambia con respecto a su variable. En el guion, la derivada de la función f(x) es encontrada mediante el proceso de diferenciación, resultando en f'(x) = 1/(3*x^(2/3)). La derivada es crucial para entender cómo varía la función en puntos cercanos a un valor específico, como se ve en la evaluación de f'(1).

💡Aproximación lineal

La aproximación lineal es una técnica utilizada para estimar el valor de una función en un punto cercano a otro punto donde la función es conocida. En el guion, se utiliza la fórmula l(x) = f(a) + f'(a)*(x - a) para encontrar la aproximación lineal de la función f(x) en x = 1. Esta aproximación es útil para entender el comportamiento de la función en áreas cercanas al punto de evaluación.

💡Valor de la función en un punto

El valor de la función en un punto específico es el resultado de sustituir el punto en la función. En el guion, se evalúa f(1) para determinar el valor de la función f(x) = x^(1/3) en x = 1, que resulta en 1. Este valor es importante para la parte a del problema, ya que se utiliza para calcular la derivada en ese punto.

💡Estimación

La estimación es el proceso de aproximar un valor desconocido basándose en información disponible. En el guion, se utilizan las aproximaciones lineales para estimar la raíz cúbica de 0.9 y 1.1, sustituyendo estos valores en la fórmula de aproximación lineal obtenida. Esto muestra cómo las técnicas matemáticas pueden ser aplicadas para predecir valores en contextos donde los cálculos exactos son difíciles de obtener.

💡Raíz cúbica

La raíz cúbica de un número es un valor que, al elevarse al cuadrado tres veces, resulta en el número original. En el guion, la función f(x) se define como la raíz cúbica de x, y se utiliza para demostrar cómo se calcula la derivada de una raíz cúbica y cómo se aproxima en valores cercanos a 1.

💡Numerador y denominador

El numerador es el número superior en una fracción, mientras que el denominador es el inferior. En el guion, se mencionan estos términos al simplificar la fórmula de la aproximación lineal, donde se trabaja con fracciones para mantener la consistencia en el denominador y sumar los numeradores.

💡Sustitución

La sustitución es el proceso de reemplazar una variable o una expresión por un valor específico. En el guion, la sustitución se utiliza para evaluar la derivada en x = 1 y para estimar la raíz cúbica de 0.9 y 1.1, insertando estos valores en la fórmula de aproximación lineal.

💡Puntos cercanos

Los puntos cercanos son valores que se encuentran en la proximidad de un punto de referencia. En el guion, se mencionan los puntos 0.9 y 1.1 como valores cercanos a 1, y se utilizan para ilustrar cómo la aproximación lineal puede ser aplicada para estimar la raíz cúbica de estos valores.

💡Confiabilidad

La confiabilidad hace referencia a la precisión y fiabilidad de un método o una estimación. En el guion, se discute la confiabilidad de las aproximaciones lineales y las estimaciones de la raíz cúbica de 0.9 y 1.1, destacando que los resultados son muy cercanos a los valores exactos, lo que indica una alta confiabilidad en el método utilizado.

Highlights

Definición de la función f(x) como la raíz cúbica de x.

Reescritura de f(x) como x elevado a la un tercio.

Derivación de f(x) obteniendo f'(x) = 1/(3*x^(2/3)).

Simplificación de f'(x) a 1/(3*x^(2/3)).

Evaluación de f'(1) dando como resultado 1/3.

Fórmula para la aproximación lineal l(x) = f(a) + f'(a)*(x-a).

Aproximación lineal de f(x) en a=1, obteniendo l(x) = 1 + (1/3)*(x-1).

Determinación de f(1) como la raíz cúbica de 1, es decir, 1.

Sustitución de f(1) y f'(1) en la fórmula de la aproximación lineal.

Organización algebraica de la expresión de la aproximación lineal.

Ajuste de fracciones para simplificar la aproximación lineal.

Resultado de la aproximación lineal como (x + 2)/3.

Uso de la aproximación lineal para estimar la raíz cúbica de 0.9.

Sustitución de x=0.9 en la aproximación lineal y resolución.

Resultado aproximado de la raíz cúbica de 0.9 como 0.966...

Uso de la aproximación lineal para estimar la raíz cubicade 1.1.

Sustitución de x=1.1 en la aproximación lineal y resolución.

Resultado aproximado de la raíz cúbica de 1.1 como 1.032...

Validación de la confiabilidad de la aproximación lineal para valores cercanos a 1.