Continuidad de una función | Ejemplo 3
Summary
TLDREn este vídeo, se aborda un ejercicio de continuidad matemática donde se busca determinar los valores de las constantes 'a' e 'b' para que una función definida por una cuadrática y una cúbica sea continua en todos los reales. El punto de división es x=1, y se explica que para la continuidad, el valor de la función en ese punto debe coincidir con los límites tanto por la izquierda como por la derecha. Tras analizar los límites y establecer la condición de triple igualdad, se resuelve que 'a' debe ser igual a 'b' para asegurar la continuidad de la función. El video es didáctico y se recomienda para aquellos interesados en aprender sobre continuidad en matemáticas.
Takeaways
- 🔢 El objetivo del vídeo es resolver un ejercicio sobre continuidad de funciones para determinar los valores de las constantes 'a' e 'b'.
- 📐 Se analiza la continuidad de una función compuesta por una cuadrática y una cúbica, dividida en dos partes según el valor de 'x'.
- 🎯 La continuidad se debe analizar en el punto 'x = 1', donde hay una posible discontinuidad debido a la división de la función.
- 👉 Para garantizar la continuidad, la imagen de 'x = 1', el límite cuando 'x' tiende a 1 por la izquierda y el límite cuando 'x' tiende a 1 por la derecha deben ser iguales.
- 🔍 Se evalúa la función para el caso 'x < 1' y 'x ≥ 1' para encontrar las expresiones correspondientes.
- 📘 Se calcula el límite de la función por la izquierda como '1 - a' y por la derecha como '1 - b' cuando 'x' se acerca a 1.
- ✅ Para lograr continuidad, se establece que los límites por la izquierda y derecha deben ser iguales, es decir, '1 - a' debe ser igual a '1 - b'.
- 📌 Se resuelve la igualdad para encontrar el valor de 'a' y 'b', resultando que 'a' debe ser igual a 'b' para que la función sea continua.
- 📚 El vídeo compara este resultado con el de un tutorial previo, donde se obtuvo el mismo resultado para la continuidad de una función.
- 👏 El presentador anima a los espectadores a dar 'me gusta' y suscribirse al canal si les gustó el contenido del vídeo.
Q & A
¿Qué objetivo tiene el vídeo?
-El objetivo del vídeo es resolver un ejercicio sobre continuidad de funciones, específicamente determinar los valores de las constantes 'a' e 'b' para que una función sea continua en todos los reales.
¿Qué tipo de función se está analizando en el vídeo?
-Se está analizando una función que se divide en dos partes: una cuadrática y una cúbica, y se está investigando su continuidad en el punto x = 1.
¿Por qué es importante analizar la continuidad en el punto x = 1?
-Es importante porque en este punto se divide la función, pasando de una cuadrática a una cúbica, y se puede haber una posible discontinuidad debido a la división.
¿Qué condiciones deben cumplirse para que una función sea continua en un punto?
-Para que una función sea continua en un punto, debe existir la imagen de ese punto, y debe ser igual al límite cuando x tiende a ese punto por la izquierda y por la derecha.
¿Cómo se evalúa la función para encontrar f1 en el vídeo?
-Se evalúa la función observando que para valores de x menores que 1, no entra en la parte cuadrática, y para valores mayores o iguales a 1, entra en la parte cúbica, evaluando x al cubo menos b.
¿Cuál es el límite de la función por la izquierda cuando x tiende a 1?
-El límite por la izquierda cuando x tiende a 1 es 1 - a, ya que se acerca por la parte de la función cuadrática, x al cuadrado menos a.
¿Y el límite de la función por la derecha cuando x tiende a 1?
-El límite por la derecha cuando x tiende a 1 es 1 - b, ya que se acerca por la parte de la función cúbica, x al cubo menos b.
¿Cómo se garantiza la continuidad en el punto x = 1?
-Se garantiza la continuidad asegurando que el valor de la función en x = 1 sea igual al límite por la izquierda y al límite por la derecha, es decir, 1 - a debe ser igual a 1 - b.
¿Cómo se resuelve la ecuación para encontrar los valores de 'a' e 'b'?
-Se resuelve la ecuación despejando una de las variables, obteniendo que 'a' debe ser igual a 'b' para cumplir con la condición de continuidad.
¿Cuál es la conclusión del vídeo sobre la continuidad de la función?
-La conclusión es que para que la función sea continua en x = 1, 'a' y 'b' deben tomar el mismo valor, lo cual es coherente con lo visto en tutoriales pasados.
Outlines
📘 Análisis de Continuidad en una Función
En este vídeo se aborda el tema de la continuidad de funciones, específicamente cómo determinar los valores de las constantes 'a' e 'i' para que una función definida por una combinación de funciones cuadrática y cúbica sea continua para todos los reales. Se enfatiza la importancia de que la imagen del punto de división (x=1), el límite cuando x tiende a 1 desde la izquierda y el límite cuando x tiende a 1 desde la derecha, deben coincidir para garantizar la continuidad. Se explica que para la función cuadrática, el valor en x=1 es '1-a', mientras que para la función cúbica, los límites desde la izquierda y la derecha son '1-b'. Para asegurar la continuidad, se debe cumplir que '1-a' sea igual a '1-b', lo que implica que 'a' y 'b' deben ser iguales.
Mindmap
Keywords
💡Continuidad
💡Función cuadrática
💡Función cúbica
💡División
💡Límite
💡Triple igualdad
💡Constantes a e i
💡Ejercicio
💡Análisis
💡Tutorial
Highlights
Objetivo del vídeo: Resolver un ejercicio sobre continuidad de funciones.
Función dada: Una función cuadrática y otra cúbica que se intersectan.
Condición de continuidad: La imagen de x=1 debe ser igual al límite cuando x tiende a 1 tanto por la izquierda como por la derecha.
Análisis de continuidad en x=1: Se evalúa la función y se determina la expresión en el punto de división.
Función para x < 1: Se evalúa la función cuadrática y se obtiene la expresión 1 - a.
Límite por la izquierda: Se busca el límite cuando x tiende a 1 y se obtiene la expresión 1 - b.
Límite por la derecha: Se busca el límite cuando x tiende a 1 y se obtiene la expresión 1 - b.
Condición para la continuidad: Se debe garantizar que los límites por la izquierda y derecha sean iguales al valor en x=1.
Ecuación para la continuidad: 1 - a debe ser igual a 1 - b.
Resolución de la ecuación: Se despeja la variable 'a' y se obtiene que a debe ser igual a b.
Conclusión: Para que la función sea continua, 'a' y 'b' deben ser iguales.
Comparación con un tutorial previo: Se menciona que el resultado es similar al de un tutorial anterior.
Invitación a la audiencia: Se anima a los espectadores a dar 'me gusta' y suscribirse al canal.
Saludo final y promesa de un próximo vídeo.
Transcripts
nada
la gracia
a
[Música]
[Música]
hola en este vídeo vamos a resolver otro
ejercicio sobre continuidad debemos
determinar el valor de las constantes a
ive en la siguiente función para que sea
continúan todos los números reales un
ejercicio similar al del anterior vídeo
entonces tenemos una función cuadrática
y abajo una función cúbica estas
funciones siempre son continuas pero acá
se está dividiendo entonces debemos
analizar la continuidad en el punto x
igual a 1
aquí es donde hay una división de ser
una cuadrática pasa a ser una función
cúbica tenemos que tener siempre claro
que debe pasar para que la función sea
continua en un punto en este caso x
igual a 1 entonces debe existir la
imagen de 1 y debe ser igual al límite
cuando x tiende a 1 por la izquierda
y debe ser igual al límite cuando
extienda a uno por la derecha de la
función ya que si esto pasa el límite
existe y al tener el mismo valor que la
función hay continuidad debemos
garantizar esta triple igualdad
hagámoslo
para ello empezaremos hallando f1
debemos evaluar la función y miremos
donde entra el 1 aquí no entraría porque
entre los valores más pequeños que 1
luego entraría en esta parte aquí dice
que son los mayores o iguales que uno
sería x al cubo menos b es decir 1 al
cubo menos b 1 elevado al cubo me da uno
menos b me daría 1 - b esta operación no
se puede hacer la dejamos expresada así
que ya tenemos esta expresión
1 - b ahora vamos a hallar el límite
cuando extiende a 1 por la izquierda de
esta función eso es buscar el límite
cuando x tienda 1 y nos vamos a acercar
a esta función por la izquierda es decir
los números más pequeños que 1 x es
menor que 1 aquí es donde están esos
valores más pequeños que 1 luego por
esta función nos estaríamos acercando
por la izquierda x al cuadrado menos a
y si queremos hacerlo por la derecha
debemos encontrar el límite cuando
extienda a uno pero al acercarnos por la
derecha
tendríamos que ingresar por esta función
porque aquí están los equis más grandes
que uno sería por la función x al cubo
menos b
encontremos estos límites aplicamos
principio de sustitución entonces sería
1 al cuadrado
- ah
1 cuadrados 1 - almería 1 - y por este
lado sería
1
v 1 x 1 - bm quedaría expresado 1
entonces encontramos que el límite
cuando x tienda 1 por la izquierda nos
da 1 - y cuando x tienda 1 por la
derecha de la función es 1 - b debemos
garantizar para que haya continuidad que
estas tres expresiones son iguales aquí
la igualdad de estas dos expresiones 1 -
b con 1 b o sea que para garantizar la
continuidad solo nos basta con
garantizar esta igualdad que tenemos acá
que 1 - a sea igual a 1 b y así
tendríamos la triple igualdad que
necesitamos resolvamos esto que tenemos
acá para ello vamos a despejar alguna de
las dos letras
entonces va a despejar por ejemplo a
menos a va a ser igual a 1 - b y este
uno que está positivo pasa como negativo
o sea que menos a es igual a uno menos
uno se cancela me da cero y me quedaría
menos b
ahora multiplicamos por menos 1 ambos
lados y nos daría que a debe ser igual a
b encontramos la solución para que esta
función sea continua a y b deben tomar
el mismo valor pasó lo mismo que vimos
en el tutorial pasado nos dio el mismo
resultado si a toma el mismo valor que
ve entonces esta función es continua
espero hayas entendido el tema que
tratamos de explicar en este tutorial si
te gusto nuestro vídeo no olvides darle
me gusta y suscribirte a nuestro canal
espero que estés muy bien hasta un
próximo vídeo
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