GAUß ALGORITHMUS einfach erklärt – lineare Gleichungssysteme lösen

Summary

In diesem Video wird der Gauß-Algorithmus zur Lösung von linearen Gleichungssystemen erklärt. Schritt für Schritt wird gezeigt, wie man durch Umformen der Gleichungen eine Treppenstufenform erzeugt, um schließlich eindeutige Lösungen für die Unbekannten x, y und z zu erhalten. Außerdem werden Sonderfälle wie Gleichungen ohne Lösungen oder mit unendlich vielen Lösungen behandelt. Der Algorithmus wird anhand von Beispielen verdeutlicht, wobei verschiedene Rechenverfahren angewendet werden, um die Nullstellen in den Gleichungen zu erreichen. Am Ende wird gezeigt, wie die Lösungen abgelesen und interpretiert werden können.

Takeaways

• 🧮 Der Gaus-Algorithmus wird verwendet, um Gleichungssysteme zu lösen, indem man Schritt für Schritt Umformungen vornimmt.
• 📐 Ziel ist es, das Gleichungssystem in eine Treppenstufenform zu bringen, bei der in den unteren Zeilen Nullen stehen.
• ➗ Der erste Schritt ist, alle Berechnungen mit der ersten Zeile durchzuführen, um in den folgenden Zeilen Nullen zu erzeugen.
• 🔢 Um eine Null zu erzeugen, werden die Gleichungen miteinander verrechnet. Zum Beispiel, indem man eine Gleichung mit einer Zahl multipliziert und dann subtrahiert.
• ✏️ Jede Zeile wird systematisch angepasst, indem Berechnungen mit den vorherigen Zeilen durchgeführt werden.
• 🔄 Sobald die Treppenstufenform erreicht ist, können die unbekannten Variablen rückwärts gelöst werden, beginnend mit der letzten Zeile.
• ❌ Ein Fehler wie '0 = -2' zeigt an, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.
• ♾️ Wenn man am Ende '0 = 0' erhält, gibt es unendlich viele Lösungen, und die Unbekannten bleiben teilweise unbestimmt.
• 🔎 Die Lösungen können durch Rückwärtseinsetzen der Variablen in die vorherigen Gleichungen gefunden werden.
• 🎯 Es gibt verschiedene Fälle: eindeutige Lösung, keine Lösung und unendlich viele Lösungen, je nach Ergebnis der Umformungen.

Q & A

Was ist das Ziel des Gauß-Algorithmus?

Das Ziel des Gauß-Algorithmus ist es, ein Gleichungssystem so umzuformen, dass eine Treppenstufenform entsteht. Dabei stehen in den unteren Zeilen nur noch wenige Unbekannte, und man kann die Lösungen für die Variablen schrittweise berechnen.

Was bedeutet es, eine 'Treppenstufenform' in einem Gleichungssystem zu erreichen?

Eine Treppenstufenform bedeutet, dass in den unteren Zeilen des Gleichungssystems immer mehr Nullen stehen, sodass in der letzten Zeile nur noch eine Unbekannte (z), in der vorletzten zwei (y und z) und in der ersten alle drei Unbekannten (x, y, z) vorkommen.

Wie wird eine Null in einer Gleichung erzeugt?

Um eine Null zu erzeugen, wird eine Zeile des Gleichungssystems so umgeformt, dass durch Addition oder Subtraktion von anderen Zeilen die vordere Variable eliminiert wird. Zum Beispiel wird durch 2x - 2x eine Null an der Stelle des x erreicht.

Was macht man, wenn in einer Zeile 2x steht und man eine Null erzeugen möchte?

Man multipliziert die betreffende Zeile und eine andere Zeile so, dass der vordere Koeffizient gleich wird, um die beiden Zeilen voneinander zu subtrahieren und somit eine Null zu erhalten.

Warum muss man die Berechnungen immer mit der ersten Zeile beginnen?

Die Berechnungen beginnen immer mit der ersten Zeile, da diese als Referenz dient, um die vorderen Variablen in den unteren Zeilen zu eliminieren und Nullen zu erzeugen.

Wie geht man vor, wenn man eine Null in der dritten Zeile erzeugen möchte?

Man multipliziert die zweite und dritte Zeile so, dass die vordere Variable in beiden Zeilen gleich wird, um diese voneinander zu subtrahieren und eine Null an der gewünschten Stelle zu erzeugen.

Was passiert, wenn eine Gleichung 0 = -2 ergibt?

Wenn eine Gleichung 0 = -2 ergibt, bedeutet das, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, da diese Aussage falsch ist und keine Zahlen für die Variablen xyz existieren, die die Gleichungen erfüllen.

Was bedeutet es, wenn eine Gleichung 0 = 0 ergibt?

Wenn eine Gleichung 0 = 0 ergibt, gibt es unendlich viele Lösungen für das Gleichungssystem. Eine der Variablen, wie z, bleibt dann unbekannt und kann als freie Variable betrachtet werden.

Wie bestimmt man die Lösungen, wenn es unendlich viele gibt?

Bei unendlich vielen Lösungen kann man eine der Variablen, z.B. z, als freie Variable belassen und die anderen Variablen in Abhängigkeit von dieser freien Variable berechnen. Die Lösung ist dann eine Gleichung mit mehreren möglichen Werten für z.

Welche Rechenschritte sind erforderlich, um das Gleichungssystem vollständig zu lösen?

Man muss das Gleichungssystem zunächst in Treppenstufenform bringen, dann die dritte Gleichung nach z, die zweite nach y, und schließlich die erste nach x auflösen. Die Werte für z, y und x ergeben die eindeutige Lösung.