Autovalores y Autovectores: Definición.

Summary

El guion trata sobre la transformación lineal en el espacio vectorial, enfocándose en los operadores lineales y cómo la imagen de un vector bajo una transformación lineal puede ser paralela al propio vector. Se discute la importancia de los valores característicos (autovalores) y los vectores característicos (autovectores), y cómo estos son cruciales para determinar si la imagen de un vector sigue perteneciendo al espacio original tras la transformación. Se explica el proceso de cálculo de los autovalores y autovectores a través de la resolución de un sistema de ecuaciones lineales y el uso del polinomio característico. Además, se mencionan propiedades de los autovalores y autovectores, como su relación con matrices simétricas y su comportamiento ante operaciones de escalar.

Takeaways

• 🔍 La transformación lineal es un concepto fundamental en matemáticas, donde se estudian las operaciones que preservan la estructura del espacio vectorial.
• 📏 Un vector b y su imagen tras una transformación lineal pueden ser paralelos, lo que sugiere una relación directa y proporcional entre ellos.
• 🎯 Los valores característicos (autovalores) y los vectores característicos son herramientas esenciales para analizar las propiedades de una transformación lineal dada por una matriz.
• 🧩 La matriz de una transformación lineal, cuando se multiplica por un vector, puede resultar en un vector paralelo al original, lo que define la relación entre ambos.
• 🔢 Los valores característicos son escalares que, al multiplicar un vector no nulo, producen un vector paralelo al original, y son cruciales para entender la estabilidad y las propiedades de la transformación.
• 📉 El polinomio característico es una herramienta matemática utilizada para encontrar los valores característicos de una matriz, y es fundamental en el análisis de sistemas lineales.
• 🔍 La resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que surgen al igualar a cero la matriz de coeficientes menos los valores característicos, permite encontrar los vectores característicos.
• 📏 Los vectores característicos no triviales son aquellos que, al ser transformados, siguen perteneciendo al espacio generado por ellos mismos, lo que indica estabilidad en la transformación.
• 🔄 La matriz identidad juega un papel crucial en la definición de los valores característicos, ya que se utiliza para formar la matriz que, al igualar su determinante a cero, permite encontrar los valores característicos.
• 📊 Las propiedades de los valores propios, como su relación con la traza de la matriz y su comportamiento ante operaciones de escalar, son importantes para entender el comportamiento de las transformaciones lineales.

Q & A

¿Qué sucede cuando una transformación lineal aplicada a un vector resulta en un vector paralelo al original?

Cuando una transformación lineal, representada por una matriz, aplica a un vector y el resultado es paralelo al vector original, esto indica que el vector es un vector característico y la transformación lo estira o comprime a lo largo de la misma línea, manteniendo su dirección pero cambiando su magnitud.

¿Qué es un valor característico en el contexto de las transformaciones lineales?

Un valor característico, también conocido como autovalor, es un escalar que multiplica un vector del dominio de una transformación lineal para obtener un vector imagen paralelo al vector original. Esto se denota como \( Av = \lambda v \), donde \( A \) es la matriz de la transformación, \( v \) es el vector característico y \( \lambda \) es el valor característico.

¿Cómo se determina si un vector es un vector característico de una matriz dada?

Para determinar si un vector es un vector característico de una matriz, se debe verificar si la imagen de ese vector bajo la transformación lineal es paralela al propio vector. Esto se hace aplicando la transformación y comprobando si el resultado es un escalar múltiplo del vector original.

¿Qué es la ecuación característica y cómo se relaciona con los valores característicos?

La ecuación característica es una ecuación que se obtiene al igualar a cero el determinante de la matriz de una transformación lineal menos un escalar por la matriz identidad del mismo orden. Este escalar es el valor característico. La ecuación característica ayuda a encontrar los valores característicos de una matriz.

¿Cómo se calculan los valores característicos de una matriz?

Los valores característicos de una matriz se calculan resolviendo la ecuación característica, que es un polinomio en el valor característico. Se expande el determinante de la matriz menos el valor característico multiplicado por la matriz identidad, y se establece la igualdad a cero para encontrar las raíces del polinomio, que son los valores característicos.

¿Qué es un autoespacio y cómo se relaciona con los vectores característicos?

Un autoespacio es el conjunto de todos los vectores característicos asociados a un mismo valor característico de una matriz. Es el subespacio del espacio vectorial que se mantiene invariante bajo la transformación lineal asociada a la matriz.

¿Qué implica que los vectores propios de una matriz simétrica sean ortogonales?

Si los vectores propios de una matriz simétrica son ortogonales, significa que cualquier par de vectores propios correspondientes a autovalores distintos son vectores que se cortan a ángulo recto. Esta propiedad es útil en problemas de minimización y en la diagonalización de matrices.

¿Cómo se relaciona la traza de una matriz con sus valores característicos?

La traza de una matriz, que es la suma de los elementos de su diagonal principal, es igual a la suma de sus valores característicos. Esta relación es importante porque permite calcular la traza a partir de los autovalores o viceversa.

¿Qué sucede con los valores característicos y los vectores característicos si se multiplica una matriz por una constante?

Si se multiplica una matriz por una constante, los valores característicos se multiplican por esa constante, pero los vectores característicos permanecen iguales. Esto se debe a que la transformación es una simple escalación de la matriz original.

¿Cómo se determina si un sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales?

Un sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales si su determinante es cero, lo que indica que los vectores de la matriz del sistema son linealmente dependientes y, por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones, incluidas las soluciones no triviales.

Outlines

00:00

🔍 Análisis de Transformaciones Lineales y Vectores Característicos

Este párrafo explica cómo las transformaciones lineales pueden afectar a los vectores en el espacio vectorial. Se enfatiza la importancia de los vectores que, tras ser transformados, siguen estando paralelos al vector original. Se introduce el concepto de valores característicos (lambda), que son escalares por los cuales se multiplica un vector para obtener su imagen tras la transformación. Además, se describe el análisis de casos particulares donde las imágenes de los vectores tras la transformación siguen estando en el mismo subespacio generado por el vector original, lo cual es un punto de interés en el estudio de operadores lineales.

05:04

📏 Multiplicación Matricial y Sistemas Homogéneos

Se discute cómo la multiplicación de una matriz por un vector puede expresarse en términos de una ecuación matricial, y cómo el lambda (escalar) interactúa con la matriz identidad para producir una ecuación que representa un sistema de ecuaciones lineales. Se explica que el objetivo es encontrar vectores no nulos (vectores característicos) que, al ser transformados, siguen estando en el subespacio generado por el vector original. Se menciona que los sistemas homogéneos siempre tienen al menos una solución trivial (el vector nulo), pero se busca soluciones no triviales, es decir, vectores no nulos que cumplan con la ecuación de la transformación lineal.

10:06

🔢 Determinantes y Cálculo de Autovalores

En este apartado, se describe el proceso para calcular los autovalores y autovectores de una transformación lineal. Se menciona que se debe formar una matriz a partir de la resta de la matriz de la transformación y la matriz identidad multiplicada por lambda, y luego calcular el determinante de esta matriz. Los valores de lambda que hacen que el determinante sea cero son los autovalores de la matriz. Se enfatiza la importancia de este polinomio característico, que es una ecuación en lambda, cuyo grado corresponde a la dimensión del espacio vectorial sobre el cual se está trabajando.

15:09

🔍 Resolución de Sistemas Lineales para Encontrar Autovectores

Se explica cómo, una vez encontrados los autovalores, se procede a resolver los sistemas lineales asociados para encontrar los autovectores correspondientes. Se describe el proceso de sustitución de los autovalores en la matriz principal y resolver el sistema resultante para obtener los componentes del autovector. Se menciona que los autovectores son vectores no nulos que, tras la transformación, siguen estando en el subespacio generado por el mismo, y que estos son paralelos a la imagen del vector original.

20:10

🔄 Propiedades de los Autovalores y Autovectores

Este párrafo explora varias propiedades de los autovalores y autovectores. Se menciona que los autovalores de una matriz simétrica son siempre reales, que los autovalores de una matriz son los recíprocos de los autovalores de su matriz inversa, y que si un autovalor es cero, su autovector correspondiente es el vector nulo. Además, se destaca que los autovalores de una matriz triangular o diagonal son los elementos de su diagonal principal, lo que facilita los cálculos. Se concluye con la propiedad de que los vectores propios de una matriz simétrica son ortogonales entre sí.

25:10

📐 Aplicación del Concepto de Semejanza en Transformaciones Lineales

Finalmente, se aplica el concepto de semejanza para transformar matrices de transformaciones en matrices diagonales, que son más fáciles de manejar en los cálculos. Se discuten propiedades adicionales como la suma de los autovalores igual a la traza de la matriz y el efecto de multiplicar una matriz por una constante en sus autovalores. Se enfatiza que los vectores propios de una matriz diagonal son los mismos que los de la matriz original, pero los autovalores son los elementos de la diagonal principal.

Keywords

💡Transformación lineal

Una transformación lineal es una función que preserva las operaciones de adición y escalar en un espacio vectorial. En el guion, se discute cómo una transformación lineal puede ser representada por una matriz y cómo esta matriz actúa sobre un vector para producir una imagen transformada que puede o no ser paralela al vector original. Esto es fundamental para entender cómo las transformaciones lineales afectan a los vectores y los espacios vectoriales.

💡Operador lineal

Un operador lineal es un tipo especial de transformación lineal que actúa en espacios vectoriales. En el contexto del video, los operadores lineales son importantes porque definen cómo los vectores se transforman y cómo se relacionan con los vectores originales tras la transformación, manteniendo propiedades como la paridad y la longitud.

💡Vector característico

Un vector característico es un vector no nulo que, cuando se somete a una transformación lineal, produce una imagen que es una escalar múltiple del propio vector. En el guion, se busca encontrar estos vectores porque indican cómo ciertos vectores se mantienen en una dirección fija después de la transformación, lo cual es crucial para entender la estructura del espacio vectorial bajo la acción de la transformación.

💡Valor característico

El valor característico, también conocido como autovalor, es el escalar que multiplica un vector característico para obtener su imagen tras una transformación lineal. En el video, se menciona que estos valores son cruciales para entender cómo las transformaciones lineales afectan a los vectores y para identificar los vectores característicos asociados.

💡Matriz de transformación

La matriz de transformación es una representación matricia de una transformación lineal que se utiliza para aplicar la transformación a los vectores del espacio. En el guion, se utiliza para ilustrar cómo se calculan las imágenes de los vectores bajo la transformación y cómo se relacionan con los vectores originales.

💡Espacios propios

Los espacios propios son subespacios de un espacio vectorial que son invariantes bajo una transformación lineal. En el video, se discute cómo los vectores característicos definen los espacios propios asociados a los valores característicos, que son fundamentales para entender la estructura del espacio vectorial tras la transformación.

💡Determinante

El determinante es una función matemática que asigna un escalar a una matriz cuadrada y que se utiliza para determinar si la matriz tiene inversa, entre otras propiedades. En el guion, se utiliza el determinante para encontrar los valores característicos de una matriz de transformación, ya que estos valores son los que hacen que el determinante de la matriz de transformación menos un múltiplo de la matriz identidad sea cero.

💡Polinomio característico

El polinomio característico es un polinomio en una variable, generalmente lambda, que se obtiene al evaluar el determinante de la matriz de transformación menos lambda veces la matriz identidad. En el guion, se menciona cómo resolver este polinomio para encontrar los valores característicos, que son las soluciones del polinomio.

💡Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz que es igual a su propia transpuesta. En el video, se menciona que las matrices simétricas tienen propiedades especiales, como tener valores propios reales, que son importantes en el análisis de las transformaciones lineales y en la comprensión de las matrices en general.

💡Traza de una matriz

La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal. Se menciona en el guion que la suma de los valores propios de una matriz es igual a su traza, lo que proporciona una relación directa entre las características de la matriz y sus valores propios.

Highlights

La transformación lineal y la imagen del vector b son paralelas si la transformación por un escalar lambda los relaciona.

Los vectores característicos son aquellos que mantienen su dirección tras la transformación lineal.

El valor característico lambda es el escalar que multiplica el vector original para obtener su imagen tras la transformación.

Las imágenes de los vectores bajo una transformación lineal siguen perteneciendo al espacio vectorial del cual son parte.

El interés particular radica en los vectores cuya imagen tras la transformación es paralela al propio vector original.

El valor característico lambda y el vector característico son fundamentales para el análisis de transformaciones lineales.

La matriz de transformación, cuando multiplicada por un vector, puede resultar en un vector paralelo al original si existe un valor característico adecuado.

El cálculo de los valores característicos y vectores característicos comienza con la definición de la ecuación lineal asociada.

La matriz identidad es utilizada para formar la ecuación matricial que relaciona la matriz de transformación con el vector característico.

El determinante de la matriz resultante de la operación A - λI es clave para encontrar los valores característicos.

Un sistema homogéneo de ecuaciones representa la relación entre la matriz de transformación y los vectores característicos.

Los valores característicos son aquellos que hacen que el determinante de la matriz sea cero, indicando la existencia de soluciones no triviales.

El polinomio característico es una herramienta para encontrar los valores característicos de una matriz.

Las raíces del polinomio característico son los valores característicos que permiten la existencia de vectores característicos no nulos.

Cada valor característico corresponde a un vector característico que satisface la relación de transformación lineal.

Los autovalores y autovectores son fundamentales en el análisis de la estabilidad y las propiedades de las transformaciones lineales.

Las propiedades de los valores propios y vectores propios de una matriz simétrica son discutidas, incluyendo su relación con la matriz inversa y la ortogonalidad de los vectores propios.

Los valores propios de una matriz triangular o diagonal son los elementos de su diagonal principal, lo que facilita su identificación y cálculo.

Transcripts

en el caso particular en el cual la

transformación por ejemplo en este caso

f aplicada a mi vector b es igual al

producto de un escalar por el vector

qué quiere decir esto que la

transformación y la imagen de mi

transformación que pertenecen a nuestras

trayectorias porque estamos hablando de

operadores lineales son paralelas

son paralelas lambda es un escalar que

puede encontrarla o invertir en el

sentido o extenderla etcétera pero estoy

hablando de que la transformación o la

imagen de la transformación y el vector

b son paralelos entre sí

entonces estamos hablando o sea hemos

haciendo análisis de transformaciones de

tipo operadores lineales lo importante

es que acá no estoy de rn rené sino que

estoy en el mismo espacio victoria

las imágenes de mis vectores como les

aplicó esta transformación lineal siguen

perteneciendo la espacio vectorial vez

y me interesa el caso particular en el

que esas imágenes sean paralelas al

vector b

ya que tenemos por ejemplo

[Música]

vector el vector amarillo es el vector

al que le aplicó la transformación que

tengo acá

la matriz de la transformación 3 0 1 2

fíjense el vector amarillo

genera este sub espacio que está

representado por la línea rosada

perdón electro amarillo genere su

espacio representado por la línea rosada

al aplicarle este operador lineal es

decir al pre multiplicar la matriz 3 012

por mi vector amarillo

obtengo la imagen de

transformación y la imagen

es un vector que no pertenece al sub

espacio que generaba el vector amarillo

que quiere decir que no es paralelo al

ahli

vector amarillo se entiende

estaba sobre la línea rosada luego de

aplicarle la transformación

se mueve de ese sube espacio es decir no

es paralelo a mí me interesa

particularmente el caso en el que si

luego de aplicar la transformación el

vector sigue perteneciendo al su espacio

originalmente

en este caso

yo voy a definir a este número lambda

como valores característicos y voy a

decir que ese vector ve distinto de 0

tal que al aplicar la transformación

lineal la imagen

paralela al 9 héctor de ese vector es un

vector característico de mi matriz a

punto vector o en jaén sector significa

todo lo mismo y lambda que es el número

por el cual yo tendría que multiplicar a

mi sector b para obtener su imagen es lo

que se conoce como valor característico

o auto valor o el valor de mi

transformación y ya vamos a ver por qué

nos interesa determinar para qué tipo de

vectores ocurre esto y para qué y cuáles

serían estos auto valores asociados

pero lo que quería era que para una

transformación lineal como la que

tenemos en el ejemplo

pueden existir

algunos vectores vitales que su

transformación siga siendo paralela al

vector d

bien entonces defino a este número real

lambda como el valor característico de

la matriz y determinó si existen estos

vectores que se conocen como vectores

característicos

como hago para calcular los auto valores

y los auto vectores de una

transformación lineal ahora siempre que

digo transformación lineal hablo de

operadores y ya es la matriz de mi

transformación

yo digo que por definición el producto

de a por este vector b

es igual o debería ser igual al anbaa

por el vector b pero para que esto pueda

ser expresado como una ecuación

matricial

este lambda debe estar multiplicado por

la matriz identidad para que para que

cuando yo haga el producto

de lambda por vez obtenga lo mismo que

cuando hago el producto de una matriz

adn por n por ver

y multiplicar por la matriz identidad

recordemos es lo mismo que multiplicar

por 1 la matriz identidad por supuesto

debe ser del mismo orden de la matriz y

se caracteriza por tener

diagonal iguales

cuando yo multiplico el miembro derecho

de la ecuación por la matriz identidad

puedo

restar miembro miembro menos landa por

la matriz identidad por b yo obtengo la

siguiente ecuación y a esta ecuación

podrías factorizar la cuando esta cosa

director ve lo que obtengo dentro del

paréntesis es nada más y nada menos que

una matriz en la cual a los elementos de

la diagonal denimatrix les restó

qué pasa con esta expresión que yo

obtuve acá a menos landázuri

el vector b 0 representa un sistema

homogéneo de ecuación

tengo en ecuaciones viene incógnitas

porque mi matriz a es cuadrada porque mi

matriz ha descuadrado porque estoy

hablando de operadores lineales del

mismo espacio vectorial

alrededor en r2 r3 en r3 existen

entonces la matriz de esta

transformación por supuesto que va a ser

cuadrada

esto que está entre paréntesis es una

matriz cuadrada representa

los coeficientes de un sistema de

ecuaciones con el incógnita las

incógnitas son los componentes del

vector b

y el sistema es homogéneo porque los

términos independientes están igualados

así

yo quisiera cuando quiero calcular los

auto vectores y los auto valores de a

quiero encontrar las soluciones de este

sistema es decir quiero calcular este

vector d

para eso tengo que recordar que los

sistemas homogéneos siempre tenían

solución siempre eran compatibles

tenemos la solución sencilla que

la solución trivial es decir cuando los

componentes de b son iguales a 0 pero no

quiero eso quiero saber si existen

soluciones distintas a la trivial quiero

saber si hay un vector cuyas componentes

sean distintas de 0 es decir ver un

vector no nulo como lo dice

misión que pueda ser mi vector

característico de mi trabajo

son lineal

como hago cuando un sistema homogéneo

cuadrado tenía soluciones distintas a la

solución trivial

cuando los vectores fila o columna de la

matriz principal eran linealmente

dependientes entre sí

y para saber que existían unas

soluciones distintas a la solución

trivial yo podía calcular el

determinante de la matriz principal y si

ese determinante era igual a cero

significaba que sus vectores n

linealmente dependientes es decir que

tenía el sistema infinitas producciones

entre ellas tenía la solución trivial

programas existiendo infinitas

soluciones distintas

entonces si yo quiero calcular mis

soluciones es decir nivel torbes que no

son cero lo que quiero es que el

determinante de esta matriz principal

sea igual a cero

y yo busco aquellos valores de lambda

que hacen que este determinante sea

igual a cero estoy garantizando que

exista un vector ve que sea conducción

de ese sistema homogéneo es decir que

exista un vector b cuya imagen

en un factor de cuánto de lambda

ustedes tienen que pensar en el objetivo

que estamos buscando quiero encontrar

para una transformación cualquiera mi

transformación

representada por la matriz a quiero

saber si esta transformación tiene un

vector característico y un valor

característico o quiero determinar sus

auto vectores y sus auto valores ya

vamos a ver al final de la clase porque

el objetivo es este

ese vector y ese valor existen

esta ecuación que estoy señalando acá se

debe cumplir porque por definición lo

que quiero es esto ve y lambda

de espejo esta ecuación y obtengo entre

paréntesis una matriz ya vamos a ver un

ejemplo pero esto que está acá es una

matriz

y ve es mi auto vector y cuando yo miro

la ecuación que obtuve me doy cuenta de

que es un sistema de ecuaciones

homogéneo

en ecuaciones y en incógnitas n es el

orden de mi matriz y también es el orden

de mi matriz identidad cuando yo a

vuestra resta de matrices

tengo una matriz de n por n

qué multiplicada por mi doctor me

igualada a cero me representa a este

sistema de ecuaciones al que hago

referencia

y digo yo quiero encontrar ese vector b

y esos valores landa pero quiero

encontrar ese vector b que no sea el

vector nulo porque el vector nulo o la

solución trivial siempre solución de

este sistema yo quiero encontrar los

otros valores del vector b que no son el

vector nulo porque

es lo que a mí me interesa como hacía

para saber cuando un sistema homogéneo

tenía solución distinta la solución

trivial pues la matriz principal tenía

que tener vectores linealmente

dependientes por su determinante tenía

que ser igual que 0 estos puntos

sinónimos lo hemos estado viendo a lo

largo del año si no lo recuerdan

repasen los

pero entonces mi objetivo es encontrar

el vector b para que el vector b sea

distinto el vector nulo el determinante

de la matriz principal de mi sistema que

es esto que está entre paréntesis

debe ser igual a cero hasta ahí estamos

de acuerdo

esto debe ser así para que exista y sea

distinto del vector

entonces

esos valores de lambda que me hagan este

determinante igual a 0 son los que a mí

me interesan y son los auto valores de

mi transformación de nieve voy a

calcular entonces

1 jn en realidad una ecuación cuando

haga este determinante igual a 0 que

ahora lo vamos a ver en el ejemplo para

que deje de ser tan abstracto a la que

voy a llamar polinomio

místico ecuación característica iba a

ser un polinomio en lambda

entonces

como hago para calcular los valores y

vectores característicos de mí

operador lineal o de mi transformación

lineal lo primero que tengo que hacer o

el paso 1 es determinar ese polinomio en

el abdi polinomio característico

como hago el determinante de la matriz

que obtengo cuando restó a la matriz a

lambda por una matriz identidad del

mismo orden

y luego tengo que saber qué valores de

lambda hacen a ese determinante

igual a 0 es decir que estoy si lo tuve

un polinomio en lambda y quiero saber

los valores de la muda que lo igualan a

0 lo que estoy tratando de terminar con

las raíces de mi polinomio todos

aquellos valores de lambda que sean

raíces de mi polinomio son los auto

valores de mi función porque son lo que

hacen es determinante igual a 0 por lo

tanto me van a dar soluciones distintas

a la trivial

y luego de calcular estas raíces del

polinomio que van a ser mis auto valores

tengo que determinar para cada uno de

estos auto valores

el valor del vector b y eso lo vamos a

hacer resolviendo

con un ejemplo

el cálculo es muy sencillo

pero entonces yo quiero hallar auto

balones y auto vectores de mi matriz a

mi matriz a es la matriz de una de un

operador lineal

para eso el paso 1 decía que tengo que

buscar el polinomio característico que

era un polinomio en lambda

entonces ese polinomio lo voy a calcular

haciendo el determinante de a menos

lambda por

lo primero que voy a hacer es calcular

mi madre' principal oa menos landa por y

en este caso a es de 2 x 2

esto habla de una transformación de reos

en alrededor

mi materia - lambda que son los auto

valores que estoy buscando por una

matriz identidad de orden 2 me va a dar

una matriz principal cual 3 - lambda

menos 12 menos lambda

esta es la matriz principal de mi

sistema de ecuaciones y yo quiero que el

determinante de esta matriz

igual a 0 para eso tengo que calcular el

determinante de esta matriz en este caso

es una matriz de 2 por 2 o determinante

el elemento a 11 es decir

3 - lambda

el elemento

22 - lambda menos el producto de los

elementos de la contra diagonal en este

caso

+ 2 x menos 1 - 2 es decir mi polinomio

que

3 - blanda por menos lambda + 2

resuelvo este paréntesis y obtengo 3 por

menos lambda menos 3 lambda menos landa

por - hablando más lambda cuadrado más 2

y mi polinomio en la banda me queda como

bueno acabe con él

a cuadrados lo tienen acá abajo el

polinomio

landa al cuadrado menos 3 lambda más dos

ven que me queda un polinomio en lambda

el grado del polinomio va a ser igual

fíjense

a la dimensión de mí

del espacio vectorial sobre el cual

estoy trabajando en este paso de

alrededor en un polinomio de grado 2

y los auto valores de transformación

lineal son las raíces de este polinomio

porque es lo que hace que el

determinante sea igual a cero

tendré tantos auto valores como la

dimensión de mi espacio vectorial en

este caso tengo dos raíces porque tengo

un polinomio 2

bajando en el río

entonces el paso 1 la determinación del

polinomio característico en lambda

el paso 2 la determinación de las raíces

de mi polinomio que puede pasar para un

polinomio de grado 2 en este caso yo

tengo que tener dos raíces estas raíces

pueden ser

iguales

y reales reales distintas

complejas y distintas complejas e

iguales

lo que quiero decir es que podemos tener

el caso de calcular auto valores en el

cual los mismos sean complejos

para el ejemplo entonces voy a buscar

las raíces del polinomio grados

la raíz del polinomio grados les calculó

con máscara y de esta manera obtengo

holanda un 92 lando 2 igual a menos 1 en

este caso dos raíces reales y distintas

tengo

2

auto valores para mi transformación

lineal

los auto valores son landa 1 y el ámbar

para cada uno de esos auto valores

yo voy a encontrar el auto vector

asociado es decir el vector b que yo

buscaba

que era aquel fíjense acá tengo

la matriz principal de mi sistema voy a

trabajar para el caso de el primero de

los autos valores que era 2 o la primera

de las raíces en mi polinomio

característico que era 2 entonces cuando

la amba vale 2 la matriz principal de mi

sistema homogéneo me queda 3 - 2 y a

trabajo menos 2 es decir 1 - 1

2 - 2

vuelvo a escribir mi sistema de

ecuaciones y lo que a mí me interesa

digo yo encontré el auto valor quiero

encontró el auto vector asociado a ese

auto valor en el que los componentes x1

y x2 o las soluciones distintas de cero

de este sistema mod

vuelvo a constituir las las ecuaciones y

acá tengo qué

el resultado de este sistema es que x1

es igual a menos 2

y tejidos es menos

por supuesto tengo infinitas soluciones

no voy a tener una solución determinada

porque lo que yo estaba buscando era

tener infinitas soluciones pero tener

una solución

como expresaba esas soluciones

en el sistema de ecuaciones decía bueno

mi director ve asociado al auto valor

lambda 1 entonces será x 1 x 2 x 1 menos

un medio de x 1

paramétrico ese valor de variable x 1 y

2 y x1

y auto vector asociado hablando uno es

por 1 - un medio es decir esto que está

acá

es el vector asociado

y te puede variar desde menos infinito o

más

que encontré encontré un valor o un

vector de mi dominio para el cual la

imagen

ese vector es paralela a este vector

pero es decir la imagen sigue

perteneciendo al sub espacio que genera

el texto

es un espacio que genera este vector

egg stand expresado

por eso héctor para cualquier valor de

té seguir estando sobre la línea rosada

de la que partimos en la imagen cuando

entonces explica limpia

uno es este vector amarillo

tal que al multiplicarlo por cualquier

cosa

sigue perteneciendo luego de aplicar la

transformación lineal sigue

perteneciendo a esta línea rosada que

estuve espacios de legrado

en esa línea rosada no es otra cosa que

un aporte cuando te vale 1 el vector es

igual a lamadrid cuando te vale menos 1

el vector estará en sentido opuesto para

acá

encontré al auto valor y encontré al

auto vector es decir encontré un vector

de mi dominio tanque al aplicarle la

transformación lineal lo que obtengo

como imagen que esto es lo que debería

estar de este lado del igual

es el mismo vector x landon entiende

estos valores de t me van a dar

distintos puntos en la línea rosada pero

yo demostré que para ésta

transformación en particular

por 1 es igual al anda uno por uno

hablando uno vale 2

sin embargo este té por uno me genera un

espacio victoria espacio victoria que

tiene una dimensión menos que agarre 2

en este caso tiene una dimensión

a ese espacio se lo conoce como auto

espacio asociado a la cndh a uno también

y el paso número 3

para el andado entonces calculé los

lambda para cada uno de los lambda debo

encontrar los auto vectores o los autos

espacios asociados en el caso del

andador vuelvo a repetir lo que hice

recién acá voy a tener otra matriz

principal porque la han dado vale 1

en este caso el auto vector es menos 11

vendría a ser 2 y acá tengo lo mismo

por menos 11 sería el auto espacio

asociado al hamburgo

entonces

tienes una matriz de orden n por en las

siguientes proposiciones son

equivalentes lambda va a ser un auto

valor de a este sistema de ecuaciones

que es el sistema homogéneo fíjense

atrás espectrito al revés pero es lo

mismo que acabamos de hacer

tiene soluciones no triviales en

distintas de 0 hilando es un auto valor

existe

determinante distinto de cero por lo

tanto existe el auto vector existirá un

vector x diferente 0 en rn tal que por x

sea igual al anda por x lo mismo que

acabo de escribir a por uno es igual a

landa uno por uno

perdón

y lambda es una solución de la ecuación

característica que obtengo para el

determinante de la banda por y menos a

igual

todo esto lo acabamos de ver recién no

debería tener nueve dientes en los

puntos

cada vector o grupo de vectores lo que

les decía recién el 1 y el 2 o sus tres

espacios asociados correspondientes a

cada valor de lambda constituye el auto

espacio de dicho valor propio

como un resumen

estuvimos viendo 3

propiedades de los auto valores y de los

auto vectores

una matriz simétrica tienen todos sus

valores reales

tiene todos los valores propios reales

acá porque van a ver cuando estudian el

apunte bueno me resuelven ustedes el

ejemplo en el que tienen un auto valores

que son números complejos

que les quede bien claro el tema y

después bueno resolviendo ejercicios por

supuesto que también se los van a

encontrar pero

cuando la matriz simétrica sus valores

propios son reales que es el caso en el

que estudio

los recién nacidos

los valores propios de una matriz

son los recíprocos de los valores

propios de su matriz inversa

cuando un valor propio es cero el vector

propio correspondiente es el vector nulo

sin

a los valores propios de una matriz son

iguales a los de su matriz transpuestas

la propia número 5 que estaba remarca en

negrita no se nota mucho pero me

interesa

y esto que le prestemos atención los

valores propios de una matriz triangular

o diagonal son los elementos de la

diagonal principal qué quiere decir esto

que sea la matriz de mi transformación

fuera una matriz diagonal

significa que todos los elementos

distintos a los elementos de la diagonal

principal son iguales a 0

es un elemento de la diagonal principal

son todos los auto valores de mi madre

y recién yo les decía que a mí me

interesa mucho

trabajar con matrices de las

transformaciones que me faciliten los

cálculos y una matriz diagonal es una

matriz que está llena de

pero salvo en la diagonal principal es

una matriz que facilita mucho los

cálculos entonces acá vamos a aplicar el

concepto de semejanza que vimos en

transformaciones lineales

últimas tres propiedades la suma de los

valores propios de una matriz es igual a

la traza de la matriz la traza de la

matriz recordará en la espuma de los

elementos la diagonal

y una matriz se multiplica por una

constante los valores propios también se

multiplicarán por esa constante o por

escalar sin embargo los vectores propios

no cambiarán

esto es porque la constante puede

expresarse

o puede incluirse dentro del valor de

test por ejemplo si en el vector propio

sigue siendo

los vectores propios de auto espacios

diferentes de una matriz simétrica son

siempre ortogonales entre sí