¿QUÉ es EL LÍMITE de UNA FUNCIÓN? ▶DECONSTRUYENDO la FAMOSA definición EPSILON - DELTA del LIMITE 🚀⌚
Summary
TLDREste video educativo explora el concepto fundamental del límite en el cálculo, esencial para entender derivadas e integrales. A través de ejemplos intuitivos, como acercarse a una pared o dividir un cuadrado en infinitas partes, se ilustra cómo los límites definen teorías físicas y mejoran nuestra comprensión del universo. Se explican límites laterales y la condición necesaria para su existencia, así como su importancia en la teoría de la relatividad especial de Einstein, donde el factor de Lorentz y la velocidad de la luz juegan roles cruciales.
Takeaways
- 📚 El límite es un concepto fundamental en el cálculo, siendo la base de herramientas como derivadas e integrales.
- 🌌 La comprensión de límites ha permitido el desarrollo de nuevas teorías físicas y una mejor comprensión del universo.
- 🔍 Un ejemplo intuitivo de límite es acercarse indefinidamente a un objeto sin tocarlo, ilustrando la idea de aproximación.
- 📏 La integral definida es el límite de la suma de Riemann, y la derivada es el límite del cociente incremental.
- 🔄 Al analizar la continuidad de una función también se utilizan límites, destacando su importancia en múltiples conceptos matemáticos.
- 📐 Se describen dos situaciones para entender el concepto de límite: acercamiento a una pared y la división de un cuadrado en partes infinitas.
- 🌐 Se explica que el límite se utiliza para determinar el comportamiento de una función cuando se acerca a un punto específico, más que el valor en el punto mismo.
- 📉 Se introduce el concepto de límites laterales, que son los límites de una función cuando se acerca a un punto desde la izquierda o la derecha.
- 🚫 Se aclara que un límite no existe si los límites laterales no coinciden, es decir, si la tendencia de la función por la izquierda no es la misma que por la derecha.
- 🌟 Se menciona que un límite existe si ambos límites laterales existen y son iguales, y que el límite debe ser un número finito.
- 💡 Se da una definición formal del límite, relacionando la distancia entre los valores de la función y un límite con un error menor que una cota (épsilon), y cómo se relaciona con el intervalo (Delta).
Q & A
¿Qué herramientas matemáticas importantes se mencionan en el guion que han permitido el desarrollo de nuevas teorías físicas?
-Las herramientas matemáticas importantes mencionadas son las derivadas e integrales, que son fundamentales dentro del cálculo.
¿Cuál es el concepto considerado como la base de todo el cálculo según el guion?
-El concepto considerado como la base de todo el cálculo es el límite.
¿Cómo se define la integral definida en el contexto del cálculo según el guion?
-La integral definida se define como el límite de la suma de Riemann.
¿Cómo se define la derivada en el contexto del cálculo según el guion?
-La derivada se define como el límite del cociente incremental.
¿Qué función se utiliza en el guion para ilustrar la idea de límite cuando se acerca a un valor específico?
-Se utiliza la función f(x) = x al cuadrado para ilustrar la idea de límite al acercarse al valor de 2.
¿Qué es un límite lateral y cómo se define en el guion?
-Un límite lateral es el límite de una función cuando la variable se acerca a un punto desde un lado específico, ya sea por la izquierda o por la derecha.
¿Cuál es la condición necesaria para que un límite exista según el guion?
-La condición necesaria para que un límite exista es que ambos límites laterales existan y coincidan en el mismo valor.
¿Qué significa el valor absoluto en el contexto de la definición formal de límite en el guion?
-El valor absoluto en la definición formal de límite se utiliza para medir la distancia entre los valores de salida de la función y el valor límite, asegurando que el resultado sea siempre positivo.
¿Cómo se relaciona el factor de Lorentz con la teoría de la relatividad especial según el guion?
-El factor de Lorentz se relaciona con la teoría de la relatividad especial porque aparece en muchas de sus ecuaciones y define cómo la masa, el tiempo y la fuerza se ven afectados por la velocidad cercana a la de la luz.
¿Por qué la velocidad de la luz es un límite inalcanzable según el guion?
-La velocidad de la luz es un límite inalcanzable porque, según la teoría de la relatividad especial, a medida que la velocidad de un cuerpo se acerca a la de la luz, el factor Gamma tiende a infinito, lo que implica que requeriría una fuerza infinita para superar esa velocidad.
Outlines
🧮 Introducción a los límites en cálculo
Este primer párrafo introduce el concepto de límite en cálculo, destacando su importancia como la base de todas las herramientas matemáticas en el cálculo. Se menciona que límites son fundamentales para definir conceptos como las integrales y las derivadas, y son esenciales para entender la continuidad de funciones. Se utiliza una analogía intuitiva de acercarse indefinidamente a una pared para ilustrar la idea de límite, y se presentan ejemplos con áreas de cuadrados y series infinitas para mostrar cómo los límites pueden resultar en valores finitos a partir de sumas de términos infinitos.
📉 Análisis de límites y límites laterales
En este segundo párrafo, se explora el concepto de límites en el contexto de funciones y se introducen los límites laterales. Se utiliza la función f(x) = x^2 para ilustrar cómo el límite de una función se comporta a medida que x se acerca a un punto específico, en este caso, x tiende a 2. Se explican los límites laterales por la izquierda y por la derecha, y se aclaran las diferencias entre ellos. Además, se resalta que el límite es una herramienta para estudiar la tendencia de una función, más que su valor exacto en un punto específico.
🔍 Existencia y condiciones de los límites
El tercer párrafo profundiza en la existencia de límites y las condiciones necesarias para que un límite exista. Se explica que un límite existe si y solo si los límites laterales por la izquierda y por la derecha coinciden en el mismo valor. Se presentan ejemplos que muestran cómo los límites pueden variar dependiendo del enfoque desde el que se considere el límite (izquierda o derecha). También se discute la noción de que un límite no puede ser infinito, ya que esto no representa un valor finito.
📏 Medidas y distancias en el análisis de límites
Este párrafo introduce la idea de medir distancias en el contexto de límites, utilizando la noción de valor absoluto para garantizar que las distancias sean siempre positivas. Se explica cómo calcular la distancia entre puntos en una recta numérica y se extiende esta idea para entender mejor la definición formal de límite. Se resalta la importancia de la noción de 'tendencia' en la definición de límites y cómo se relaciona con la distancia entre puntos.
🌌 Definición formal de límite y aplicaciones en la física
El quinto párrafo presenta la definición formal de límite, donde se establece un marco matemático para determinar cuándo la salida de una función se acerca a un valor específico (L) a medida que la entrada (x) se acerca a un punto (a). Se introducen los conceptos de 'error' y 'cuota de error' (epsilon) y se explica cómo estos están relacionados con los intervalos de x (Delta). Finalmente, se conecta el concepto de límite con la física, específicamente con la teoría de la relatividad especial de Einstein, donde se muestra cómo los límites son fundamentales para entender fenómenos físicos como la velocidad de la luz como un límite insuperable.
🚀 Límites y la exploración del universo
El último párrafo del guion subraya la importancia de los límites en la comprensión del universo y la ciencia moderna. Se discute cómo la teoría de la relatividad especial de Einstein, que involucra conceptos de límites, ha cambiado nuestra percepción del universo. Se menciona cómo la velocidad de la luz se comporta como un límite supremo que no puede ser superado, lo que tiene implicaciones profundas para la física y la tecnología. El vídeo concluye con una reflexión sobre el papel fundamental de las matemáticas en el avance del conocimiento científico.
Mindmap
Keywords
💡Derivadas
💡Integrales
💡Límite
💡Continuidad
💡Suma de Riemann
💡Cociente incremental
💡Función
💡Teoría de la relatividad
💡Factor de Lorentz
💡Velocidad de la luz
Highlights
Derivadas e integrales son herramientas matemáticas fundamentales en el cálculo.
El desarrollo de estas herramientas ha permitido crear nuevas teorías físicas y mejorar la comprensión del universo.
El límite es considerado la base de todo el cálculo.
La integral definida es el límite de la suma de Riemann.
La derivada es el límite del cociente incremental.
Los límites son utilizados para analizar la continuidad de una función.
Se explora la idea intuitiva del límite a través de la metáfora de acercarse a algo sin llegar nunca.
Ejemplo de acercamiento a una pared mediante pasos que dividen la distancia restante por la mitad.
La suma de áreas de piezas de un cuadrado dividido continuamente en la mitad tiende a una unidad al infinito.
La suma de términos con infinitos términos puede dar un resultado finito, ejemplificado con la serie 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
La representación de sumas de infinitos términos usando la notación de la sumatoria.
Análisis del comportamiento de la función f(x) = x^2 a medida que x se acerca a 2, utilizando límites.
Introducción al concepto de límite lateral por la izquierda y por la derecha.
Importancia de que los límites laterales coincidan para que exista el límite de una función en un punto.
La no existencia de límite en funciones donde los límites laterales no coinciden.
La no definición de una función en un punto no impide el análisis de su límite en ese punto.
Condición necesaria para la existencia de un límite: los límites laterales deben ser iguales y finitos.
Ejemplo de una función que no tiene límite a medida que x se acerca a cero, debido a que el valor de la función tiende al infinito.
La asíntota como límite de la función cuando se acerca a un valor específico, ejemplificado con la función 1/(x-2).
La definición formal de límite involucra la relación entre la cota de error (épsilon) y la distancia (Delta).
La teoría de la relatividad especial de Einstein y su impacto en la comprensión del universo.
La velocidad de la luz como límite inalcanzable en el universo, según la relatividad especial.
El papel fundamental de las matemáticas en el desarrollo de la ciencia y la tecnología moderna.
Transcripts
en este canal hemos hablado sobre
derivadas e integrales herramientas
matemáticas muy importantes dentro del
cálculo y cuyo desarrollo ha permitido
la creación de nuevas teorías físicas y
nos ha dado una mejor comprensión sobre
cómo funciona el universo y cuáles son
las leyes que lo gobiernan Pero existe
un concepto muy importante de hecho el
más importante dentro del cálculo pues
es considerado como la base de todo el
cálculo el límite
[Música]
el límite es una pieza fundamental en
nuestro estudio del cálculo debido a que
muchos conceptos importantes se definen
usando límites la integral definida por
ejemplo es el límite de la suma de riman
y la derivada es el límite del cociente
incremental cuando analicemos la
continuidad de una función también
utilizaremos límites por lo que
comprender realmente que es un límite es
algo muy importante en nuestro estudio
del cálculo Pero antes de hablar en más
detalle analicemos algunas situaciones
para tener una idea intuitiva acerca de
lo que es un límite piensa en la
siguiente idea puedes acercarte
demasiado algo sin dejar nunca de
acercarte y aún así Nunca llegar Sí lo
sé Suena bastante raro pero imagina la
siguiente situación estás a una
distancia de 8 metros de una pared y por
alguna extraña razón se te ocurre hacer
lo siguiente avanzar hacia la pared pero
recorriendo siempre la mitad distancia
es decir al inicio te encuentras a unos
8 metros de la pared por lo tanto en un
primer recorrido avanzarás la mitad de
esta distancia y estarás solamente a 4
metros de la pared y luego recorres
nuevamente la mitad del camino y estarás
solamente a dos metros de la pared y
recorres otra vez la mitad del camino
por lo que ahora solo estás a un metro
de la pared y recorres la mitad por lo
que estarás a medio metro de la pared
luego a un cuarto de metro luego a un
octavo de metro y si te has dado cuenta
podrás seguir recorriendo siempre la
mitad del camino de manera indefinida
acercándote más y más a la pared pero En
qué situación llegarías a tocar la pared
Pues cuando realices una cantidad
infinita de pasos es decir en el límite
del infinito llegamos a tocar la pared y
ahora analicemos otra situación tan
Interesante como la anterior supongamos
que tenemos un cuadrado cuyo lado es de
una unidad por lo que el área de este
cuadrado es igual a una unidad al
cuadrado muy bien Ahora vamos a dividir
este cuadrado por la mitad por lo que el
área de cada una de las piezas será un
medio unidades al cuadrado ahora
dividamos esta parte sombreada en la
mitad por lo que cada pieza tendrá ahora
un área de un cuarto unidades al
cuadrado y ahora dividamos esta otra
parte sombreada por la mitad por lo que
cada parte ahora tendrá un área de un
octavo unidades al cuadrado y nuevamente
dividamos la parte sombreada en la mitad
por lo que cada parte ahora tendrá un
área de un 16 unidades al cuadrado y si
seguimos haciendo esto de dividir cada
parte en la mitad obtendremos 1 sobre 32
luego 1 sobre 64 luego 1 sobre 128 y
luego 1 256 Y si te diste cuenta podemos
seguir dividiendo cada pieza en la mitad
una cantidad infinita de veces ahora
piensen lo siguiente si sumas las áreas
de todas esas piezas el área debe ser
igual a una unidad al cuadrado que es el
área de todo el cuadrado es decir esta
suma con infinitos términos es
Exactamente igual a uno si sumaras un
millón de términos la suma sería igual a
un número que está muy pero muy cerca de
uno pero no es exactamente uno por lo
tanto para que sea Exactamente igual a
uno esta suma tendría que tener una
cantidad infinita de términos podemos
representar esta suma de la siguiente
manera 1 entre 2 elevado a uno más uno
entre dos elevado al cuadrado más uno
entre dos elevado al cubo más uno entre
dos elevado a cuatro más uno entre dos
elevado a 5 más puntos suspensivos Y así
sucesivamente utilizando el símbolo de
la sumatoria para para representarlo de
manera más compacta podremos escribirlo
de la siguiente manera sumatoria del
término 1 entre 2 elevado a n desde n
igual a 1 hasta infinito es Exactamente
igual a 1 y si esto es un muy buen
ejemplo de cómo una suma de infinitos
términos puede dar como resultado un
resultado finito que es igual a 1 en el
límite del infinito lo primero que
Debemos entender es el concepto de
Límite y para qué se utiliza y para ello
veamos un ejemplo con la función fdx es
igual a x al cuadrado cuya gráfica
podemos ver aquí supongamos que estamos
interesados en analizar cómo se comporta
esta función a medida que vamos tomando
valores más y más cercanos a dos sabemos
que cuando x vale 2 la función lo eleva
al cuadrado es decir 2 al cuadrado y nos
devuelve el valor de 4 pero no nos
interesa saber qué sucede cuando x es 2
sino más bien Qué sucede cuando x toma
valores muy pero muy cercanos a dos y
para ello empecemos haciendo lo
siguiente empecemos haciendo que x sea
igual a 1 reemplazando la función
obtenemos que F de 1 es igual a 1
elevado al cuadrado que nos da
simplemente 1 ahora veamos Qué sucede
con la función cuando vamos acercándonos
hacia el valor de 2 y como vemos en la
animación Mientras nos vamos acercando
hacia el valor de X es igual a 2 la
función se va acercando hacia el valor
de 4 ahora para representar esta idea
utilizaremos este nuevo concepto
matemático llamado límite y que vamos a
representar mediante el símbolo link
ahora Estamos analizando Qué sucede con
esta función cuadrática cuando nos
acercamos hacia el valor de 2 o sea
analizamos el límite de la función x al
cuadrado cuando x tiende a es decir toma
valores cercanos a dos y esta idea se
representa mediante esta flecha que
indicará hacia Qué valor se aproxima x y
luego indicar cuál es ese valor que en
este caso es 2 además en este primer
caso empezamos tomando el valor de X es
igual a 1 que es un valor menor a 2 y
luego fuimos tomando valores más y más
cercanos a dos pero menores a 2 es decir
nos vamos acercando a dos desde valores
que están a la izquierda de 2 y para
simbolizar esto colocaremos un signo
menos como superíndice en el número 2 y
esto es igual hacia el valor al cual
tiende la función que en este caso
tiende hacia el valor de 4 en resumen lo
leeremos de la siguiente manera límite
de la función x al cuadrado cuando x
tiende a 2 por la izquierda es 4 y a
este tipo de Límite lo llamaremos límite
lateral por la izquierda y volvamos a
analizar el mismo caso la función x al
cuadrado pero acercándonos hacia el
valor de X es igual a 2 desde la derecha
supongamos que primero tomamos un valor
de X es igual a 3 reemplazando la
función F de 3 es igual a 3 al cuadrado
que nos da 9 ahora vamos tomando valores
cada vez más y más cercanos a dos y
podemos ver que sucede a medida que nos
acercamos a dos la función se vuelve a
acercar hacia el valor de 4 por lo tanto
utilizando la notación que vimos en el
ejemplo anterior Tendremos que el límite
de la función x al cuadrado cuando x
tiende a 2 pero en este caso se acerca
hacia dos tomando valores mayores a 2 o
sea valores que están siempre a la
derecha de 2 y para representar esto
colocaremos un signo más como un
superíndice en el número 2 Qué significa
que se acerca a dos por la derecha y
este límite es 4 en resumen lo leeríamos
de la siguiente manera límite de la
función x al cuadrado cuando x tiende
por la derecha es 4 y a este otro límite
lo llamaremos límite lateral por la
derecha muy bien y ahora que ya
entendimos la idea tras el límite
Hagamos una aclaración importante sobre
límite ya que límite estudia Cuál es la
tendencia de una función Cuando haces
que la variable tienda a un valor en
específico O sea no nos interesa saber
qué sucede en ese valor sino Qué sucede
cuando te acercas a ese valor por
ejemplo aquí tenemos la función x al
cuadrado otra vez pero la función no
está definida cuando x es igual a 2 y
esto se representa en la Gráfica con un
vacío en ese punto ahora si tomamos
valores cercanos a 2 como haciendo que x
sea igual a 3 o que sea igual a 1 y nos
vamos acercando hacia dos podemos ver
que en ambos casos la función se acerca
hacia el valor de 4 es decir los dos
límites laterales tanto por izquierda y
por derecha tienden el mismo valor por
lo que podemos representar esto de la
siguiente manera límite de la función x
al cuadrado cuando x tiende a 2 es 4 y
en el caso anterior ambos límites
laterales coincidían pero no siempre nos
encontraremos en esta situación veamos
por ejemplo este caso aquí tenemos la
Gráfica de esta función FX veamos cómo
se comporta esta función a medida que
nos acercamos hacia el valor de 2
notemos también que esta función no está
definida en x igual a 2 pero no importa
ya que el límite analiza Qué sucede
cuando te acercas hacia el valor de 2
muy bien empecemos acercándonos desde la
izquierda es decir el límite de esta
función FX cuando x tiende a 2 por la
izquierda podemos ver como este límite
tiende hacia el valor de 1.5 ahora
veamos Qué sucede cuando nos acercamos a
dos pero por la derecha es decir tomamos
el límite de la FX cuando x tiende a 2
por la derecha y como podemos observar
este límite tiende a 0.5 como podemos
ver en este caso el límite lateral por
izquierda no es el mismo que límite
lateral por derecha por lo que nos
podemos preguntar si en este caso existe
límite de la función con dx tiende a 2
Así que para responder esta pregunta
veamos En qué casos podemos afirmar que
un límite existe y en qué casos no
supongamos que tenemos una función FX
cuya gráfica se muestra aquí y
analizaremos qué sucede con esta función
cuando nos acercamos hacia el valor de a
podemos notar también que la función no
está definida en x es igual a y como
dijimos anteriormente no es necesario
que la función esté definida en ese
valor ya que el límite es un análisis de
tendencia hacia un valor en específico
en este caso de manera muy general
veremos Cuál es la tendencia cuando x se
aproxima hacia el valor de a primero
empecemos viendo Qué pasa cuando nos
acercamos por la izquierda y como vemos
en la animación a medida que nos
acercamos hacia el valor de a la función
tiende a acercarse hacia el valor de l
simbólicamente límite de la función F de
x cuando x tiende a por la izquierda es
l ahora veamos Qué pasa cuando nos
acercamos por la derecha y como vemos en
la animación la función tiende a
acercarse nuevamente hacia el valor de l
esto significa que el límite de la
función F de x cuando x tiende al valor
de a es l y podemos ver como ambos
límites laterales coinciden y cuando
pasa esta situación diremos que el
límite en x que tiende así el valor de a
existe y lo representaremos de la
siguiente manera límite de FX cuando x
tiende al valor de a es l en pocas
palabras diremos que un límite existe
cuando ambos límites laterales existan y
coincidan en el mismo valor es decir el
límite debe ser único de manera muy
formal podemos representarlo así el
límite de una función FX cuando x tiende
al valor de a es l Sí y solo Sí el
límite lateral por la izquierda es igual
al límite lateral por la derecha es
decir ambos límites laterales son
iguales al valor de l Y esta es la
condición necesaria para la existencia
de un límite si alguno de los límites
laterales fuese distinto entonces
diremos que el límite no existe de aquí
podemos concluir que el límite es único
además es importante esta Otra condición
que la función debe tender a un número
finito cuando x tiende hacia el valor de
a o sea el límite no puede ser infinito
porque infinito no es un número sino que
representa una idea de que un se puede
hacer más y más y más y más grande de
manera indefinida pero para poder
entender mejor veamos la siguiente
situación veamos por ejemplo cómo se
comporta la función FX es igual a 1
entre x al cuadrado cuya gráfica se ve
de esta manera esta función no está
definida cuando x es igual a cero porque
al reemplazar obtendríamos 1 entre 0 al
cuadrado que nos da 1 entre 0 y Esta
división sobre cero no está definida
pero vemos un comportamiento curioso a
medida que x se acerca a cero por
ejemplo si tomamos valores de X cercanos
a cero por la izquierda podremos ver
cómo la función nos devuelve cada vez
valores más y más grandes y para
representar esto lo haremos de la
siguiente forma límite de la función 1
entre x al cuadrado cuando x tiende a
cero por la izquierda es infinito esto
último no significa que el límite exista
y sea infinito ya que como hablamos
antes para que un límite
vista su resultado debe ser un número
finito Y en este caso no pasa el límite
conforme te acercas a cero se te hace
cada vez más y más grande por lo que
esta notación de Límite en este caso se
utiliza precisamente para dar entender
esa idea que en la medida que más y más
te acerques al valor de cero por la
izquierda el valor de la función de
tienda de volver valores cada vez más y
más grandes y por otro lado si tomamos
valores cercanos a cero pero por la
derecha veremos como la función vuelve a
darnos números más y más grandes y esto
lo representamos de la siguiente manera
límite de la función 1 entre x al
cuadrado cuando x tiende a cero por la
derecha es infinito y repito nuevamente
para este caso el límite tampoco existe
pero es costumbre usar la notación pero
para ayudarnos a entender esta idea que
mientras tomes valores más cercanos a
cero la función aprenderá a devolverte
valores más y más grandes y además se
puede trazar una recta punteada que pase
por x es igual a cero aquí representamos
a la asíntota de color amarillo y
representa el valor que la función no
puede tomar además que se puede observar
como las gráficas tienden a acercarse
hacia esta línea que es llamada asíntota
pero nunca podrán tocar a esta asíntota
y aquí tenemos otro caso de Límite que
no existe en este caso tenemos a la
función FX es igual a 1 entre x menos 12
que no está definida cuando x es igual a
2 por lo tanto no podremos hacer x es
igual a 2 pero sí tomar valores muy pero
muy cercanos a dos entonces veamos Qué
sucede si nos acercamos a dos por la
derecha podemos ver como la función
tiende a devolver valores cada vez más y
más grandes y esta idea se representa
así límite de la función 1 entre x menos
2 cuando x tiende a 2 por la derecha es
infinito y repito esto es un abuso de la
anotación puesto que el límite no existe
y más bien Debemos interpretarlo de esta
manera con la función 1 entre x -2 tomas
valores cercanos a dos por la derecha o
sea mayores a 2 la función te devuelve
valores más y más grandes y por otro
lado si tomas valores cercanos a dos
pero por la izquierda la función tenderá
de volverte cada vez valores más y más
negativos y esto se representa de esta
manera límite de 1 entre x menos 2
cuando x tiende a 2 por la izquierda es
menos infinito que hace alusión a la
idea de que tiende números cada vez más
y más negativos además en x es igual a 2
también podemos graficar la asíntota de
esta función Cómo podemos ver aquí en la
animación y ahora vamos a recordar
algunos conceptos previos que nos
permitirá poder entender mejor la
definición formal de Límite aquí tenemos
una recta numérica supongamos que
queremos hallar la distancia de este
segmento que observando fácilmente
podemos decir que mide 3 unidades pero
como hicimos este cálculo pues lo
podemos realizar de la siguiente manera
ya que estamos en la recta numérica
podemos utilizar las coordenadas de los
extremos es decir el valor de 4 y el
valor de 1 y realizar una simple resta o
sea 4 - 1 que nos da 3 y Cómo podemos
ver esto coincide con la distancia del
segmento pero en matemática para ser más
estricto al tomar distancias usando
coordenadas se hace esta resta pero se
toma el valor absoluto o el módulo ya
que esta operación te garantizará que el
resultado sea siempre positivo de manera
que corresponda a la distancia Por lo
que algo más correcto sería decir que la
distancia es el valor absoluto de 4 - 1
que es valor absoluto de 3 que como ya
es positivo seguirá siendo 3 pero
también se puede hacer en el orden
contrario es decir restando 1 - 4
esta resta obtendrás menos 3 pero una
distancia no puede ser un número
negativo y por eso mismo es necesario
tomar el valor absoluto ya que esto nos
dará valor absoluto de -3 que es igual a
3 Recuerda siempre que el valor absoluto
te devolverá el valor positivo y por eso
es útil en este caso de medir distancias
simplemente utilizando las coordenadas
veamos otro ejemplo supongamos que
queremos hallar la distancia entre el
punto -3 y 4 utilizando el método que
aprendimos esta distancia sería
simplemente módulo de tres menos cuatro
o sea la resta de coordenadas operando
obtenemos valor absoluto de -7 y como el
valor absoluto lo convertirá en positivo
obtendremos que esto es igual a 7
unidades y el orden no interesa Por
ejemplo también podría ser valor
absoluto de 4 - paréntesis menos 3
operando lo de dentro se convierte en 4
+ 3 y nos queda valor absoluto de 7 que
como ya es positivo nos devuelve lo
mismo o sea 7 y como ven el orden no
importa el valor absoluto de la
diferencia de coordenadas nos dará la
distancia entre esos dos puntos Ahora
quiero que veamos esta idea de manera
más general supongamos que queremos
hallar la distancia entre estos dos
puntos cuyas coordenadas son a y x y
para este caso la distancia simplemente
será igual a valor absoluto de X menos a
o también podría ser valor absoluto de A
menos x teniendo en cuenta estos
conceptos estamos listos para poder
entender qué hay detrás de la famosa
definición del límite Así que empecemos
Y probablemente este sea uno de los
momentos más importantes en este canal
porque vamos a entender que hay detrás
de la famosa definición formal de Límite
y para ello tomemos a una función FX
cuya gráfica podemos ver aquí en este
caso cuando evaluamos la función en el
punto a obtenemos el valor de l pero no
nos interesa qué es lo que pasa con la
función cuando x es igual al valor de a
sino más bien que sucede con la función
cuando x tiende al valor de a sabemos
que si le damos valores a x que sean
cercanos al valor de a la función nos
retornará valores de FX que estén
cercanos al valor de l Y estos valores
de salida de la función son distintos de
l sin embargo podemos ver esta pequeña
variación o alejamiento del valor de l
como si fuese un pequeño error ahora
vamos a establecer alguna condición para
limitar este error en nuestro
acercamiento al valor de L y para ello
estableceremos una cuota para este error
podríamos suponer que esta Cota por
ejemplo sea de 0.5 por lo tanto el valor
superior extremo sería igual a L más 0 5
y el extremo inferior sería igual a L
-0.5 es importante notar que esta Cota
siempre se presenta de manera simétrica
de manera general podemos representar
esta Cota del error mediante la letra
griega épsilon de esta forma el extremo
superior será el más epsilon y el
extremo inferior será l Menos épsilon
ahora que hemos establecido esta cuota
para el error podemos ver que las
salidas de la función están limitadas
dentro de este intervalo supongamos que
para un cierto valor de X obtenemos el
correspondiente FX como vemos en la
Gráfica este valor de F de X está
alejado una pequeña distancia del valor
de l esta pequeña diferencia sería el
error en nuestro acercamiento al valor
de L y este error se calcula como la
distancia que existe entre el valor de
salida de la función F de x y el valor
de l es decir valor fruto de FX menos L
y por otro lado la Cota del error que
impusimos es igual a epsilon la
condición que se debe cumplir aquí es
que el error en nuestro acercamiento al
valor de l debe ser menor que la Cota
del error o sea valor absoluto de F de X
menos l es menor que epsilon y este
error en el acercamiento debe ser mayor
igual a cero ya que este valor absoluto
representa una distancia entre dos
puntos por lo que siempre es mayor o
igual a cero ahora debido a que hemos
impuesto una cuota para el error estas
cotas para el error están directamente
relacionadas con unos valores de
abscisas O valores de entrada de la
función y que como vemos en la Gráfica
no siempre son simétricos habrá algunos
casos en los que sí sea simétricos pero
para esta gráfica en especial no lo son
por lo tanto tenemos dos valores
extremos de abscisas que están
directamente relacionadas con las notas
de error que hemos impuesto lo que
haremos ahora es declarar un intervalo
que esté centrado en x es igual a que
sea simétrico y que nos garantice que
sus valores de salida estén dentro de
nuestra cuota de error y para tener
garantía de ello elegiremos el intervalo
más pequeño Y esta distancia la
llamaremos Delta podemos ver que la
distancia entre el valor de X que usamos
en nuestra aproximación y el valor de a
es igual a valor absoluto de X menos a
y esta distancia a su vez tiene que ser
menor que Delta
además esta distancia debe ser
estrictamente mayor que cero debido a
que el valor de X tiende al valor de a o
sea se acerca mucho hacia el valor de a
pero nunca será igual al valor de a
ahora lo que nosotros buscamos es que el
límite de la función FX cuando x tiende
al valor de a sea l La pregunta es cómo
hacemos para que el valor de la función
F de X se acerque al valor de L y la
clave para garantizar esto están
restringir el valor de épsilon o sea
hacer que el valor de epsilon sea más
pequeño cada vez ya que al hacer más
pequeño el valor de epsilon los valores
de salida de la función están cada vez
más restringidos y por lo tanto cada vez
se acercarán más y más hacia el valor de
l Y si restringimos aún más el valor de
epsilon los valores de salida de la
función seguirán tomando valores más y
más cercanos a él por lo tanto tenemos
que hacer cada vez más y más pequeños el
valor de epsilon de tal forma que la
función se acerque más y más al valor de
L por lo tanto para garantizar que las
salidas de la función se acerquen más y
más al valor de l esto debe cumplir para
todo valor de épsilon mayor que 0 y tan
pequeño como quieras y a su vez que se
cumple esta condición para todo valor
positivo de epsilon implica que existe
un valor de Delta también mayor que cero
por lo tanto para garantizar que el
límite de la función FX cuando x tiende
al valor de a sea l se deben cumplir
estas dos condiciones para todo valor de
epsilon positivo tan pequeño como se
desee en pocas palabras la definición
formal de Límite te garantiza que puedes
acercarte hacia un valor específico y
que la función acercarse a un valor de L
y ahora podemos declarar en un solo
enunciado la definición formal de límite
de la siguiente manera dado una función
FX que está definida en un intervalo
abierto que contiene al valor de a
tomando en cuenta que no es una
condición necesaria que la función esté
definida en el punto a ya que nos
interesa analizar Qué sucede cuando nos
acercamos hacia ese valor entonces
diremos que el límite de la función FX
cuando x tiende al valor de a es l si
para toda cota de error positiva o para
todo épsilon positivo sucede que la
distancia entre los valores de salida de
la función y el valor de l es menor que
la cota de error o épsilon al cumplirse
esta condición debe existir un Delta
positivo de forma que la distancia entre
los valores de x y el valor de a sea
menor a ese valor de Delta y también en
mayor acero y en 1905 Albert Einstein
publicó la teoría especial de la
relatividad sin duda alguna una teoría
que cambiaría la forma en la que
entendíamos al universo hasta ese
momento las distancias acortan El tiempo
pasa más despacio la energía se
transforma en materia y la materia en
energía los cuerpos adquieren más al
moverse por el espacio y nada puede
moverse más rápido que la velocidad de
la luz en el vacío y aquí tenemos la
expresión para la fuerza en la
relatividad especial F es igual a Gamma
multiplicado por la masa por la
aceleración y este factor Gamma aparece
en muchas de las ecuaciones de la
relatividad y es conocido como el factor
de Lorenz que se define de la siguiente
manera Gamma es igual a 1 entre la raíz
cuadrada de 1 - V cuadrado entre C
cuadrado donde se representa la
velocidad de la luz y v la velocidad con
la que se mueve un cuerpo si graficamos
el factor de lorens obtenemos lo
siguiente para mi velocidad es muy baja
se recuperan las ecuaciones de la
dinámica de Newton Pero a medida que nos
acercamos a la velocidad de la luz los
efectos de la relatividad empiezan a
notarse cada vez más y más además como
vemos Esta gráfica posee una asíntota
cuando V es igual a c por lo que a
medida que la velocidad tiende al valor
de la velocidad de la luz el factor
Gamma tiende a infinito y esto impone un
límite propio del universo que la
velocidad de la luz es el límite Si
tuvieras un cuerpo que se mueve y cada
vez lo hace más y más rápido a medida
que su velocidad se acerca a la de la
luz el factor Gamma tiende a infinito
por lo que ese cuerpo necesitaría una
fuerza infinita para mantener su
aceleración haciendo que la velocidad de
la luz sea un límite inalcanzable por lo
que nada puede moverse más rápido que la
velocidad de la luz y es apasionante
desciferar las leyes que rigen a nuestro
universo y más aún que podamos descifrar
los misterios más grandes del universo
mediante las matemáticas y es que sí no
cabe duda que la matemática ha sido y es
una pieza clave y fundamental para el
desarrollo de la ciencia y la tecnología
moderna pero aún quedan muchas más cosas
por descubrir y que nos darán una mayor
comprensión sobre cómo funciona nuestro
universo y en este camino las
matemáticas siempre estarán presentes
como esa linterna que alumbre el camino
el camino del conocimiento Muchas
gracias por tu atención y nos vemos en
el próximo video
[Música]
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