🟦 Máximos y Mínimos de una Función (Criterio de la Primer Derivada) | Video 1
Summary
TLDREn este video educativo, se explica el proceso de encontrar el mínimo de una función 'f(x)'. Primero, se calcula la derivada de 'f(x)', obteniendo 'f''(x) = 2x - 3'. Luego, se establece 'f''(x) = 0' para localizar los puntos críticos, resultando en x = 3/2. Se evalúa 'f''(x)' en puntos alrededor de x = 3/2, mostrando un cambio de signo que indica un mínimo. Finalmente, al sustituir x = 3/2 en 'f(x)', se determina que el mínimo está en el punto (3/2, -1/4). El video invita a suscriptores y compartiendo, promoviendo más aprendizaje en el tema.
Takeaways
- 📘 Calcular la derivada de una función polinomial implica derivar cada término individualmente.
- ✏️ La derivada de x^2 es 2x, la derivada de -3x es -3, y la derivada de una constante es 0.
- 🔍 Para encontrar puntos críticos, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación resultante.
- 📌 Al igualar la derivada 2x - 3 a cero, encontramos que x = 1.5 es el único punto crítico.
- 👀 Seleccionar valores de x menores y mayores al punto crítico para evaluar el signo de la derivada.
- 📉 Evaluar la derivada en x = 1 y x = 2 para determinar el cambio de signo y aplicar el criterio de la primera derivada.
- 📈 Un cambio de signo de la derivada de - a + indica la presencia de un mínimo en el punto crítico x = 1.5.
- 📍 Calcular las coordenadas del mínimo sustituyendo el valor crítico en la función original.
- 🧮 Al sustituir x = 1.5 en la función, se obtiene que el mínimo está en el punto (1.5, -0.25).
- 🎓 El vídeo ofrece una guía paso a paso para encontrar el mínimo de una función usando el análisis de derivadas.
Q & A
¿Qué representa f' (prima) de x en el contexto del ejercicio?
-f' (prima) de x representa la derivada de la función f(x), que indica la tasa de cambio de la función en relación con x.
¿Cuál es la derivada de f(x) = x^2 - 3x + 2?
-La derivada de f(x) = x^2 - 3x + 2 es f'(x) = 2x - 3.
¿Por qué se iguala la derivada a cero en el paso número 2?
-Se iguala la derivada a cero para encontrar los puntos críticos de la función, que son los candidatos a ser máximos o mínimos.
¿Cuál es el valor crítico de x encontrado en el ejercicio?
-El valor crítico de x encontrado es 3/2.
¿Qué significa que el signo de la derivada cambie de negativo a positivo?
-El cambio de signo de negativo a positivo en la derivada indica que en ese punto la función tiene un mínimo.
¿Qué criterio se utiliza para determinar si el punto crítico es un máximo o un mínimo?
-Se utiliza el criterio de la primera derivada, que analiza el cambio de signo de la derivada en torno al punto crítico.
¿Qué se hace en el paso número 6 del ejercicio?
-En el paso número 6, se encuentra la coordenada del mínimo sustituyendo el valor crítico de x en la función original f(x).
¿Cuál es la coordenada del mínimo de la función?
-La coordenada del mínimo de la función es (3/2, -1/4).
¿Cómo se realiza la suma y resta de fracciones en el ejercicio?
-Se encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores, se ajustan las fracciones para que tengan el mismo denominador, y luego se suman o restan los numeradores.
¿Cuál es la conclusión final del ejercicio?
-La función f(x) tiene un mínimo en el punto (3/2, -1/4).
Outlines
📘 Cálculo de la derivada y puntos críticos
En el primer párrafo, se describe un ejercicio de cálculo de la derivada de una función \( f(x) \) que es un polinomio. La derivada de cada término se calcula individualmente: la derivada de \( x^2 \) es \( 2x \), la derivada de \( -3x \) es \( -3 \), y la derivada de \( 2 \) es \( 0 \). La derivada resultante es \( 2x - 3 \). Se establece la derivada a cero para encontrar los puntos críticos, lo que resulta en una ecuación \( 2x - 3 = 0 \), la cual se resuelve para encontrar \( x = 1.5 \) como el único punto crítico. Se eligen valores cercanos a este punto crítico para evaluar la derivada en dichos puntos.
Mindmap
Keywords
💡derivada
💡polinomio
💡puntos críticos
💡primera derivada
💡criterio de la primera derivada
💡mínimo
💡coordenadas del mínimo
💡ecuación
💡operaciones algebraicas
💡signo
Highlights
Calculan la derivada de una función f(x).
Derivada de x^2 es 2x, de -3x es -3 y de 2 es 0.
La derivada resultante es 2x - 3.
Establecen la derivada a cero para encontrar puntos críticos.
Resuelven la ecuación 2x - 3 = 0 para encontrar x = 3/2.
Determinan que x = 3/2 es el único valor crítico.
Elegir valores de x menores y mayores que el punto crítico para evaluar la derivada.
Evalúan la derivada en x = 1 y x = 2.
La derivada en x = 1 es -1 y en x = 2 es 1.
Aplican el criterio de la primera derivada para determinar un mínimo.
En x = 3/2, la función tiene un mínimo.
Calculan las coordenadas del mínimo sustituyendo x = 3/2 en f(x).
El mínimo se encuentra en el punto (3/2, -1/4).
Conclusión de que la función f(x) tiene un mínimo en (3/2, -1/4).
Invitan a suscriptores y a compartir el contenido.
Transcripts
y realizamos el siguiente ejercicio paso
número 1 vamos a calcular la derivada de
fx
entonces tenemos f prima de x que nos
indica la derivada la derivada de un
polinomio es la derivada de cada uno de
los términos la derivada de x al
cuadrado es 2x la derivada de menos 3x
es menos 3 y la derivada del número 2 es
cero por lo tanto la derivada es 2x
menos tres paso número dos vamos a
igualar la derivada de fx a cero esto
para encontrar los puntos críticos
entonces tenemos f prima de x
igual a 0 pero el que prima de x es 2x
menos 3 esto lo igualamos a 0 y de esta
ecuación despejamos la letra x y
empezamos tenemos 2x igual a 3
después x es igual a 3 medios ya que
número 2 están multiplicando entonces
pasa dividiendo entonces x igual a 3
medios es el único valor crítico es
decir es candidato hasta el máximo o
mínimo de la función f x base número 3
nos fijamos en el valor crítico x igual
a tres medios y nos tomamos un número
menor al punto crítico
cercano a tres medios nosotros elegimos
el valor de x igual a 1 y también
elegimos un número mayor a tres medios
nosotros elegimos x igual a 2
paso número 4 vamos a evaluar la primera
derivada en estos puntos que elegimos
entonces para x igual a 1 tenemos efe
prima evaluada en 1 es igual a 2 que
multiplica número uno menos tres
realizamos las operaciones 2 por 1 es
igual a 2 menos 32 menos 3 es igual a
menos 1 ahora para x igualados tenemos
efe prima evaluada en 2 es igual a 2 que
multiplica al número dos menos tres
realizamos las operaciones 2 por 2 es
igual a 4 menos 3 es igual a 1 paso
número 5 aplicamos el criterio de la
primera derivada para esto analizamos
los signos ahora como el signo de la
primera derivada cambia de menos a más
al pasar por el punto crítico
entonces el criterio nos dice que es un
mínimo entonces en x igual a tres medios
tenemos un mínimo
paso número 6 vamos a encontrar las
coordenadas del mínimo
para esto vamos a sustituir x igual a 3
medios en la función fx entonces tenemos
efe evaluada en tres medios es igual a x
al cuadrado es decir tres medios al
cuadrado menos tres que multiplica a x
es decir 3 que multiplica a tres medios
más 2 y realizamos las operaciones 3
medios al cuadrado es igual a 9 cuartos
ya que el numerador y el denominador los
elevamos al cuadrado después menos tres
por tres medios es igual a menos nueve
medios más 2
al número entero que es el número 2 le
agregamos un 1 como denominador así lo
convertimos en fracción y realizamos la
suma y la resta de fracciones
el mínimo común múltiplo de los
denominadores es decirte 4 2 y 1 es
44 entre 4 es igual a 1 por 9 es igual a
9 menos 4 entre 2 es igual a 2 x 9 18 +
4 entre 14 por 28
continuamos y realizamos las operaciones
9 - 18 + 8 entre 4 es igual a menos un
cuarto
por lo tanto el mínimo está en el punto
tres medios
coma - un cuarto
entonces para concluir la función f x
tiene un mínimo en el punto 3 medios -
un cuarto
bien amigos gracias por visitarnos me
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