ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 2
Summary
TLDREn este análisis de una función cuadrática, se identifican los coeficientes a, b y c, determinando que a es positivo y por lo tanto la parábola tiene concavidad hacia arriba. Se encuentra el vértice de la parábola utilizando la fórmula -b/2a, obteniendo como coordenadas (-4, -1). Se estudian los puntos de intersección con los ejes x e y, y se traza la parábola en el plano cartesiano. Finalmente, se define el dominio y el rango de la función, así como su comportamiento creciente o decreciente en diferentes intervalos.
Takeaways
- 📐 La función cuadrática se presenta en dos formas: f(x) = ax^2 + bx + c y y = a(x - h)^2 + k.
- 🔢 Los valores de a, b y c son identificados como a = 1, b = 8 y c = 15.
- ⏫ Dado que a es positivo, la parábola tiene concavidad hacia arriba.
- 📍 El vértice de la parábola, que es el punto de mínimo, se encuentra en la coordenada (-4, -1).
- 🔍 Para encontrar la coordenada x del vértice, se utiliza la fórmula -b/(2a).
- 📘 Se evalúa la función original en x = -4 para encontrar la ordenada del vértice.
- 🔄 Se utiliza la fórmula para encontrar la ordenada del vértice: (4ac - b^2) / (4a).
- 🎯 Los puntos de intersección con el eje x se encuentran al resolver la ecuación x^2 + 8x + 15 = 0, dando x = -5 y x = -3.
- 📊 El punto de intersección con el eje y se determina por el término independiente c, que es 15.
- 🖊️ Se traza la parábola en el plano cartesiano utilizando la información del vértice y los puntos de corte.
- 📉 El dominio de la función es todos los reales (ℝ), y el rango es [ -1, +∞ ).
Q & A
¿Qué es una función cuadrática y cómo se identifica?
-Una función cuadrática es una función de segundo grado que generalmente tiene la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y 'a' no es cero. Se identifica por tener un término x al cuadrado.
¿Cuál es la concavidad de una parábola cuya función es dada por f(x) = x^2 + 8x + 15 y cómo se determina?
-La concavidad de la parábola es hacia arriba, ya que el coeficiente 'a' de x al cuadrado es positivo (a = 1). La concavidad se determina por el signo del coeficiente del término x^2.
¿Cómo se encuentra el vértice de una función cuadrática y cuál es el vértice de la función f(x) = x^2 + 8x + 15?
-El vértice de una función cuadrática se encuentra usando la fórmula h = -b / 2a. Para la función f(x) = x^2 + 8x + 15, el vértice es (-4, -1).
¿Qué métodos se pueden usar para encontrar los puntos de intersección de una función cuadrática con el eje x?
-Los métodos para encontrar los puntos de intersección son la factorización y la fórmula general de la ecuación cuadrática. En este caso, la ecuación x^2 + 8x + 15 = 0 se factoriza fácilmente como (x + 5)(x + 3) = 0.
¿Cuáles son los puntos de intersección de la función f(x) = x^2 + 8x + 15 con el eje x?
-Los puntos de intersección con el eje x son x = -5 y x = -3, obtenidos al factorizar la ecuación x^2 + 8x + 15 = 0.
¿Dónde corta la parábola con el eje y y cómo se determina?
-La parábola corta con el eje y en el punto determinado por el término independiente 'c' de la función. Para f(x) = x^2 + 8x + 15, el corte es en y = 15.
¿Cómo se determina el eje de simetría de una parábola y cuál es el eje de simetría para la función f(x) = x^2 + 8x + 15?
-El eje de simetría de una parábola se determina por la fórmula x = -b / 2a y pasa por el vértice. Para la función dada, el eje de simetría es x = -4.
¿Cómo se traza la parábola en el plano cartesiano teniendo en cuenta los puntos clave encontrados?
-Se trazan los puntos clave, como el vértice, los puntos de intersección con los ejes, y se utiliza el eje de simetría para completar la parábola. Luego se conecta los puntos con una curva que refleje la concavidad y los puntos de intersección.
¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x) = x^2 + 8x + 15?
-El dominio es todos los números reales (R) ya que la función está definida para cualquier valor de x. El rango es [−1, +∞), ya que el mínimo valor de la función es -1 en el vértice.
¿Cómo se determina si la función crece o decrece y en qué intervalos ocurre esto para la función f(x) = x^2 + 8x + 15?
-La función decrece para x < -4 y crece para x > -4, ya que el vértice es el punto de mínimo y la parábola se abre hacia arriba.
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