Komposisi Fungsi Part 3 - Fungsi invers dan Sifat-sifatnya [ Matematika Wajib Kelas X ]
Summary
TLDRIn this video, the host, Handayani, covers the topic of inverse functions as part of a series on function composition. The video is divided into four main sections: the definition of inverse functions, how to determine the inverse of linear functions, how to find the inverse of rational functions, and the properties of inverse functions. Through examples and step-by-step explanations, viewers learn how to calculate inverses and understand their significance in mathematics. The video concludes with a discussion on the characteristics of inverse functions and a preview of the next lesson.
Takeaways
- đ The video is part three of a series on function composition, focusing on inverse functions.
- đ The video covers four main topics: the definition of inverse functions, determining the inverse of linear functions, determining the inverse of rational functions, and properties of inverse functions.
- đ An inverse function is essentially the reverse of a given function, where the output becomes the input and vice versa.
- âïž The inverse of a linear function can be found by swapping the roles of x and y, then solving for y.
- â For rational functions, the process is similar but involves working with fractions and algebraic expressions.
- đĄ The key property of inverse functions is that applying the inverse function to the original function returns the original input (identity function).
- đ Another property is that composing a function with its inverse (in either order) results in the identity function.
- 𧩠The video provides step-by-step examples of finding the inverse of both linear and rational functions.
- đ The final section introduces properties of inverse functions and how to apply them in different scenarios.
- đ The video concludes with a promise to teach a simpler method for finding inverse functions in a future video.
Q & A
What is the definition of an inverse function?
-An inverse function is the reverse of a given function. If a function f maps an element from set A to set B, the inverse function fâ»Âč maps the element from set B back to set A. Mathematically, if f(x) = y, then fâ»Âč(y) = x.
How do you determine the inverse of a linear function?
-To determine the inverse of a linear function, first, replace f(x) with y. Then, switch the positions of x and y, and solve for y in terms of x. Finally, replace y with fâ»Âč(x) to find the inverse function.
What are the steps to find the inverse of the linear function f(x) = 3x - 5?
-1. Replace f(x) with y: y = 3x - 5. 2. Swap x and y: x = 3y - 5. 3. Solve for y: y = (x + 5)/3. 4. Replace y with fâ»Âč(x): fâ»Âč(x) = (x + 5)/3.
How do you find the inverse of a rational function?
-To find the inverse of a rational function, follow similar steps as with linear functions. Replace f(x) with y, swap x and y, solve for y, and replace y with fâ»Âč(x). It may involve more algebraic manipulation due to the presence of fractions.
What is the inverse of the rational function f(x) = (2x - 3) / (3x + 4)?
-The inverse is found by: 1. Replacing f(x) with y: y = (2x - 3)/(3x + 4). 2. Multiplying both sides by the denominator: y(3x + 4) = 2x - 3. 3. Expanding and rearranging: 3xy + 4y = 2x - 3. 4. Collecting terms and solving for x: x(3y - 2) = -4y - 3. 5. Dividing by (3y - 2): x = (-4y - 3)/(3y - 2). 6. Replacing x with fâ»Âč(x): fâ»Âč(x) = (-4x - 3)/(3x - 2).
What are the properties of inverse functions?
-The properties of inverse functions include: 1. The inverse of the inverse function returns the original function: fâ»Âč(f(x)) = x. 2. The composition of a function and its inverse results in the identity function: f(fâ»Âč(x)) = x.
What happens when you compose a function with its inverse?
-When you compose a function with its inverse, you obtain the identity function, which means the original input is returned. Mathematically, f(fâ»Âč(x)) = x and fâ»Âč(f(x)) = x.
How can the inverse of the function f(x) = 2x + 4 be found?
-1. Replace f(x) with y: y = 2x + 4. 2. Swap x and y: x = 2y + 4. 3. Solve for y: y = (x - 4)/2. 4. Replace y with fâ»Âč(x): fâ»Âč(x) = (x - 4)/2.
How do you handle the inverse of a composite function?
-The inverse of a composite function f(g(x)) can be found by inverting the order of composition: (f(g(x)))â»Âč = gâ»Âč(fâ»Âč(x)). This means you first apply the inverse of the outer function, followed by the inverse of the inner function.
What is the relationship between f(g(x))â»Âč and gâ»Âč(fâ»Âč(x))?
-The relationship is that f(g(x))â»Âč = gâ»Âč(fâ»Âč(x)). This indicates that when finding the inverse of a composite function, the order of functions is reversed.
Outlines
đ Introduction to Inverse Functions
The video begins with a warm greeting from the presenter, Handayani, who introduces the topic of inverse functions, which is the focus of this third video in the series on function composition. The video will cover four key subtopics: the definition of inverse functions, how to determine the inverse of a linear function, how to find the inverse of a rational function, and the properties of inverse functions.
đ Understanding the Definition of Inverse Functions
This section delves into the basic definition of inverse functions, explaining that an inverse function essentially reverses the effect of the original function. The presenter uses an illustrative example where a function maps elements from set A to set B, and the inverse function does the opposite. The key concept is that if the original function is f(x) = 4x, the inverse function would be fâ»Âč(x) = x/4.
đ Determining the Inverse of a Linear Function
The presenter provides a step-by-step guide on how to find the inverse of a linear function using two examples: f(x) = 3x - 5 and f(x) = 2x + 4. The process involves substituting y for f(x), rearranging the equation to solve for x, and then switching x and y to derive the inverse function. The inverse functions derived are fâ»Âč(x) = (x + 5)/3 and fâ»Âč(x) = (x - 4)/2 respectively.
âïž Finding the Inverse of a Rational Function
This section covers how to find the inverse of a rational function, using the example f(x) = (2x - 3)/(3x + 4). The process is similar to finding the inverse of a linear function but requires additional steps due to the presence of a fraction. The presenter meticulously walks through the algebraic manipulation required to isolate x and determine the inverse function, which is fâ»Âč(x) = (x + 4)/(2x - 1).
Mindmap
Keywords
đĄInvers Function
đĄLinear Function
đĄRational Function
đĄDomain
đĄRange
đĄFunction Composition
đĄIdentity Function
đĄSubstitution
đĄSifat-Sifat (Properties)
đĄPindah Ruas (Transposition)
Highlights
Introduction to inverse functions, explaining the concept of inversion as reversing a function.
Illustration of mapping between two sets, showing how an inverse function reverses the mapping.
Step-by-step explanation of finding the inverse of a linear function using algebraic manipulation.
Demonstration of how to determine the inverse of a linear function, using examples like f(x) = 3x - 5.
Explanation of the process of switching the roles of x and y to find the inverse function.
Detailed walkthrough of finding the inverse of a rational function, highlighting the differences from linear functions.
Introduction to properties of inverse functions, including the identity property and the composition property.
Illustration of the identity property: if a function's inverse is applied twice, the original function is restored.
Explanation of the composition property: composing a function with its inverse results in the identity function.
Example problem showing how to find the inverse of a rational function like f(x) = (2x - 3) / (3x + 4).
Discussion of the general strategy for finding inverse functions, applicable to both linear and rational functions.
Introduction to the concept of composite functions and how to handle them in relation to inverses.
Example problem demonstrating the calculation of the inverse of a composite function.
Explanation of switching between function and inverse notation, highlighting the importance of understanding the notation.
Closing remarks and preview of the next video, promising to introduce a shortcut method for finding inverses.
Transcripts
Hai assalamualaikum warahmatullahi
wabarakatuh ketemu lagi dengan saya jadi
Handayani di channel Mad lem ini adalah
video bagian ketiga kita belajar materi
komposisi fungsi bagi teman teman yang
belum melihat video bagian 1 dan 2
silahkan cek aja linknya di kolom
deskripsi video ini pada video bagian
ketiga ini kita akan belajar sub materi
fungsi invers ada empat mata Depok yang
akan saya bahas pada video kali ini yang
pertama definisi dari fungsi invers yang
kedua Bagaimana cara menentukan invers
fungsi linier yang ketiga Bagaimana cara
menentukan invers fungsi rasional dan
yang keempat apa aja sifat-sifat dari
fungsi invers Oke Langsung aja kita
bahas materinya
tertutup
[Musik]
Oke sekarang kita akan belajar materi
fungsi invers terlebih dahulu kita
pahami dulu definisi dari invers fungsi
secara
reinforce itu artinya kebalikan jadi
invers fungsi itu bisa kita Artikan
sebagai kebalikan dari suatu fungsi nah
Bagaimana maksud dari kebalikan suatu
fungsi teman-teman perhatikan ilustrasi
berikut ini misalnya terdapat suatu
fungsi f memetakan himpunan a ke
himpunan b dan dinyatakan dalam pasangan
berurutan f = x koma y Di mana x-nya
anggota A dan y nya anggota B atau lebih
jelasnya perhatikan ilustrasi berikut
ini dalam bentuk himpunan ini himpunan a
dan ini himpunan b himpunan a anggotanya
itu 1 2 dan 3 himpunan b anggotanya 48
dan 12 nah suatu fungsi f ini memetakan
a ke b sebagai berikut Nah dari pemetaan
ini kira-kira teman-teman bisa
menentukan relasinya enggak apa
hubungannya antara a dan b ayo gimana
ternyata B ini adalah empat kali dari
atau Y adalah empat kali x jadi
fungsinya bisa kita tulis Hai FX itu =
4x nah Lalu bagaimana dengan invers
suatu fungsi invers fungsi F adalah
relasi yang memetakan B keadaan
dinyatakan dalam pasangan berurutan nah
notasi dari info situ seperti ini
teman-teman ini dibacanya F invers ya
ditulis pangkat negatif 1 F invers
madingan y koma X Jadi kalau awalnya x
koma y sekarang y koma X dengan Y
anggota B dan X anggota A
nah jika tadi F itu mengatakan dari a ke
b berarti F invers itu menyatakan
sebaliknya dari B ke a jadi yang awalnya
domain itu anggota A dan khas daerah
hasilnya anggota B sekarang sebaliknya
anggota B menjadi domain atau daerah
asal dan anggota ini menjadi daerah
hasil otomatis ini fungsinya berubah Ayo
yang tadinya FX itu 4x sekarang Gimana
hubungannya ternyataa ini adalah
seperempatnya dari being ya berarti
fungsi f invers ini adalah x dibagi
empat atau seperempat expert Nah inilah
yang disebut dengan info suatu fungsi
jadi kebalikan suatu fungsi Nah nanti
kita akan belajar bagaimana cara
menentukan invers suatu fungsi Jadi
kalau misalnya diketahui efek seperti
ini bagaimana caranya biar kita dapat F
inverse nya oke seorang kita bahas
Bagaimana cara menentukan invers dari
suatu fungsi linear Langsung aja kita
bahas dalam bentuk contoh soal
teman-teman tentukan invers dari
fungsi-fungsi berikut ini yang pertama
FX = 3 x min 5 Kemudian yang kedua FX =
2 x + 4 oleh fungsi linier ini bentuk
umumnya FX = AX + B jadi kalau
teman-teman mau menginfokan fungsi dalam
bentuk ini kita gunakan cara yang akan
saya bahas pada video kali ini Oke
Langsung aja kita bahas bagian yang
pertama kita akan menentukan invers dari
fungsi fx = 3x Min
Hai Nah untuk mencari fungsi invers
langkah pertama teman-teman bikin dulu
pemisalan kita misalkan efeknya sebagai
y&y jadi FF ini kita ganti dengan y maka
kita peroleh y = 3 x min 5 jadi kita
ganti efeknya dengan y kemudian langkah
selanjutnya lakukan langkah-langkah
untuk mengubah y = FX menjadi x sama
dengan Evi jadi awalnya kan bentuknya y
= Nah kita Ubah menjadi x sama dengan
teman-teman Nah untuk langkah-langkahnya
ini menyesuaikan tergantung soalnya
nanti untuk y = 3 x min 5 karena ini
akan kita Ubah menjadi x sama dengan
teman-teman usahakan variabel x itu ada
di ruas kiri eh jadi ini kita tukar dulu
posisinya antara ruas kiri dan ruas
kanan ruas kiri itu yang ada di sebelah
kiri sama dengan ruas kanan itu yang ada
di sebelah kanannya sama dengan ini kita
tukar posisinya Kenapa bisa ditukar
karena kalau tanda = a = ini ya sama aja
dengan b = a yang enggak ya jadi bisa
kita tukar posisinya jadi untuk y = 3 x
min 5 ini kita Nyatakan jadi 3 x min 5 =
y nah langkah berikutnya di ruas kiri
Ini hanya boleh ada X saja Jadi selain
variabel x usahakan teman-teman
hilangkan atau pindah ruas boleh yang
pertama kita akan menghilangkan negatif
5 negatif 5 Biar hilang atau biar jadi
nol kita apain kita tambah lima jadi
kedua ruas kita tambah 53 mi5 tambah
lima kan jadi 3x ruas kanan pun sama
hitam ah lima ya tambah 5 y + 5 atau
dengan kata lain biasanya teman-teman
menggunakan istilah pindah ruas ya
negatif 5 pindah ke kanan jadi + 5
bolehlah Nah sekarang kita pengen ini
jadi X = sementara di sini kan ada 3-nya
nih tiga kali x3x biar jadi es diapain
ya kita bagi 3 gitu 3x dibagi tiga itu x
y K5 dibagi 3 y + 5 pertiga atau Jika
teman-teman ingin menggunakan istilah
pindah ruas boleh 3S ituan tiga kali X3
ini pengali di ruas kiri Kalau pindah
ruas dia menjadi bagi gitu kineros itu
operasi kembalikan teman-teman dari
tambah jadi kurang kurang jadi tambah
kali jadi bagi-bagi jadi kali awesome
kita lihat ini saya hapus dulu ya
Oke langkah berikutnya
karena y = FX atau FX = y maka X itu = F
invers G jadi X di ruas kiri Ini
teman-teman ganti menjadi F invers jadi
kita tulis F invers g = y tambah 5/3
jadi sama kayak bagian sini cuman x-nya
kita ganti jadi F invers yee nah Langkah
terakhir semua variabel y Ini
teman-teman ganti jadi X maka kita
peroleh F invers x = x + 5 atau tiga Nah
ini adalah fungsi invers
atau invers dari fungsi linier ini ya
invers dari FX = 3 x min 5 adalah F
invers x = x + 5 atau tiga tambanggan
kita coba soal kedua
kita akan menentukan invers dari fungsi
fx = 2 x + 4 ayo langkah pertama kita
ganti efeknya menjadi y jadi y = 2 x + 4
berikutnya kita akan menyatakan menjadi
x sama dengan Jadi yang memuat variabel
x kita semen di kiri dan variabel Y nya
simpen di kanan jadi kita balik
posisinya menjadi dua x tambah 4 sama
dengan y Nah sekarang di ruas gede ini
ada + 4 + 4 Kalau pindah ke kanan
menjadi min4 jadi 2x = y Min 4 nah di
ruas kiri Ini ada 2x dua kali x Kita
pindah ruas kan 2-nya karena disini
sebagai pengali berarti kalau pindah ke
kanan dia menjadi pembagi x = y Min 4/2
langkah berikutnya x-nya kita ganti
menjadi Kevin first y maka kita peroleh
F invers x = y Min 4 Berdua dan Langkah
terakhir semua variabel y kita ganti
menjadi variabel x maka kita beroleh F
invers x = x min 4 per 2 Nah inilah
invers dari fungsi fx = 2 x + 4 Nah
gampangkan itulah cara menentukan invers
dari fungsi linier
Oke sekarang kita lanjut Bagaimana cara
menentukan invers dari suatu fungsi
rasional Langsung aja kita bahas dalam
bentuk contoh soal tentukan invers dari
fungsi fx = 2 x min 3 per 3x + 4 nah ini
fungsi rasional temen-temen fungsi
rasional itu bentuk pecahan atau bentuk
pembagian aljabar Nah langkah-langkah
untuk mencari fungsi invers dari fungsi
rasional itu caranya sama aja dengan
mencari fungsi invers dari fungsi linear
yang tadi udah kita bahas ya angka
pertama kita misalkan FX Hai sebagai
jadi fx = 2x Min 33 x + 4 ini kita ganti
menjadi y y = 2 x min 3 per 3x + 4 Nah
selanjutnya Perhatikan bagian penyebut
diruas kanan atau pembagi diruas kanan
3x + 4 ini kan pembagi diruas kanan
Kalau pindah ruas dia jadi kali
temen-temen jadi kita peroleh y kali 3x
+ 4 = 2 x min 3 jadi 3x + 4 nya ini
pindah ke kiri jadi kali gitu Nah
berikut ini kita kalikan y kali 3x y
kali empat kita peroleh Ya kali 3x
berarti 3x y&y kali empat itu 4 Y = 2 X
min 3 nah ingat untuk mencari info kita
akan mau menyatakan yang awalnya y =
menjadi x sama dengan jadi setiap
variabel x itu harus berada di ruas kiri
dan sisanya itu berada di ruas kanan di
sini ada variabel x 3x y Berarti dia
tetap di kiri kemudian 2x ini kita
pindahkan ke kiri menjadi minum 2x 4y
ini kita pindahkan ke kanan ikan plus
menjadi Min 4 y min 3 nah langkah
berikutnya variabel x ini teman-teman
keluarkan ya jadi
ex60 karena SNI udah keluar batikan
sisanya tinggal tiga dan y Berarti 3y
ini X yang kita keluarkan maka Sisanya
adalah min 2 maka X dalam kurung 3 Y Min
26 ya Atau jika teman-teman masih ragu
coba masukkan lagi kalikan x * tiga y-3x
benarkan x * mine2mine 2x bener obat ini
udah operasinya udah bener nah langkah
berikutnya kita pengen di ruas kiri itu
hanya ada variabel x aja berarti yang
bukan X kita pindahkan ke kanan nah yang
bukan x-bet bagian sini nih yang ada
dalam kurung temen-temen X * 3y min 2
nah ini sebagai pengali kalau luas ke
kanan dia menjadi pembagi gitu jadi X =
min 4 y min 3 dibagi dalam kurung ini 3y
min 2 nah langkah berikutnya kita ganti
x-nya menjadi F invers y jadi F invers y
= Min 4 y min 3 per 3y min 2 nah Langkah
terakhir semua variabel y teman-teman
ganti jadi x f invers X = min 4x min 3
pertiga X min 2 nah ini adalah invers
dari fungsi ini hangat Nah kalau belum
paham kita coba satu contoh soal lagi
untuk fungsi rasional
tentukan invers dari fungsi fx = x + 4
per dua x min satu langkah pertama kita
ganti efeknya menjadi ye yeah maka ia =
x + 4 per dua x min satu langkah
berikutnya pembagi diruas kanan ini kita
pindahkan ke kiri menjadi kali jadi yee
kali pembaginya 2x min 1 dan Y kali2
Ismi lu = x + 4 langkah Berikutnya ini
kita kali Gan Ya kali 2x Sekali minum
satu ya kali 2x 2x y y kali min 1 Min y
langkah berikutnya semua variabel x
pindahkan ke kiri dan sisanya pindahkan
ke kanan dua SY tetap di kiri X pindah
ke kiri jadi minex Nah Min y pindah ke
kanan jadi positif ya jadi 2x y min x =
y + 4 langkah berikutnya variabel x yang
kita keluarkan X dalam kurung berarti
ini tinggal 2y dan ini berarti min 1
jadi x * 2 y min 1 = Y + 4 langkah
berikutnya yang ada dalam kurung ini
kita pindahkan ke kanan jadi x = y + 4
dibagi dua yemin satu kemudian x nya
ganti jadi F invers y dan Langkah
terakhir Y nya ganti jadi X maka F
invers x = x + 4 per dua x min 1 nah ini
adalah invers dari fungsi ini sebenarnya
untuk mencari info suatu fungsi itu ada
cara cepatnya cuman ada triknya Tapi
sementara pada video ini kita gunakan
cara yang biasa dulu ya ini untuk
membentuk pemahaman temen-temen
Insyaallah di film berikutnya jika
teman-teman udah paham dengan cara ini
kita akan belajar dengan menggunakan
cara mudahnya Oke sekarang kita bahas
submateri terakhir pada video kali ini
yaitu sifat-sifat dari fungsi invers ada
beberapa sifat dari fungsi invers yang
perlu teman-teman ketahui yang pertama
jika suatu fungsi invers ini kita
infokan lagi maka kita peroleh fungsi
semula ya jadi F invers kalau kita
infokan lagi maka kita peroleh FX ini
sifat yang pertama sifat kedua jika kita
mengkomposisikan suatu fungsi dengan
fungsi inversnya maka kita peroleh
fungsi identitas F Bundaran F invers X
itu sama dengan x atau = X begitu juga
sebaliknya jika f invers Bundaran FX Ini
hasilnya sama yaitu fungsi identitas
yaitu X kemudian sifat nih F Bundaran G
invers Jadi jika kita menginvestasi F
Bundaran G maka ini = g invers Bundaran
F invers X lihat posisinya awalnya F
Bundaran G kita invest Gan jadi G dulu
temen-temen G invers Bundaran F invers
jadi ini kita balik ya kalau kita invest
cat jadi kalau kita mau menginfokan G
Bundaran f Berarti yang f dulu ya jadi F
invers Bundaran G invers X posisinya
dibalik Nah untuk lebih jelasnya
perhatikan contoh berikut ini misalnya
Diketahui f invers x = x + 1 atau 2 x
dan G invers x = x min 3 Tentukan yang
pertama kita akan mencari GX Yang kedua
kita akan mencari G Bundaran F invers X
Oke kita Jawab yang pertama nah yang
pertama kita akan mencari fungsi gx
sementara pada soal Diketahui g invers
Hai perhatikan sifat yang pertama jika
suatu fungsi invers kita invers dan lagi
Maka hasilnya adalah fungsi semula jadi
di sini ada G invers G invers kalau kita
invest dan lagi Maka hasilnya adalah GX
jadi GX itu sama dengan investor yg g
invers jadi kita menginverskan bagian
sini teman-teman masih ingat cara
menginfus Gan ini kita misalkan lulus
sebagai Y eh jadi gainfast x = x min 3
ini kita misalkan sebaiknya y jadi y = x
min 3 berikutnya ruas kanan dan ruas
kirinya kita tukar karena kita akan
menyatakannya dalam X = jadi ini menjadi
X min 3 = Y negatif 3 tekanan jadi + 3
jadi x = y + 3 Nah sekarang berarti X
ini kita ganti menjadi invers dari G
invers G invers Inpres y6yyyy harusnya
nah berikutnya setiap variabel ya ini
kita ganti menjadi xyz jadi G invers G
invers X itu = x + 3 x + 3 Nah karena
invers dari G invers itu = GX berikut
ini kita ganti jadi GX maka GX = x + 3
Nah kita udah dapat fungsi gx nya
Sekarang kita coba soal yang kedua kita
akan mencari G Bundaran F invers x g
Bundaran F invers X ingat di balik
posisinya menjadi F invers Bundaran G
invers x y nah ini kita gunakan
komposisi fungsi yang udah kita pelajari
di video bagian kedua F invers Bundaran
G invers X berarti kita mensubstitusi
gainfast ke F invers atau ini bisa kita
tulis menjadi F impress dalam kurung G
invers X lihat F invers X itu ini nah
setiap esnya kita ganti dengan G invers
X atau kita ganti dengan x tiga jadi
kita peroleh X min 3 plus satu ini kita
ganti jadi X min 3 lalu tambah 1 dan X
ini juga kita ganti dengan x min 3 jadi
x-men 3 tambah satu per dua kali x min 3
x min 3 ditambah satu itu X min 2 dua
kali x-2 x-2 kali min 3 min 6 nah ini
adalah G Bundaran F invers X
Oke sampai sini aja video kali ini Insya
Allah pada video berikutnya kita akan
belajar cara mudah menentukan invers
suatu fungsi Sampai ketemu di video
berikutnya Assalamualaikum
warohmatullohi wabarokatuh
hai hai
hai hai
5.0 / 5 (0 votes)