Clase 1, Vectores y su Representación
Summary
TLDREl guion del video ofrece una introducción a los vectores, diferenciando entre magnitudes físicas escalares y vectoriales. Se explica que los vectores son magnitudes que requieren una magnitud, dirección y sentido, ejemplificados con fuerzas y velocidades. Se describe la representación de vectores en forma polar y a través de componentes en un sistema de referencia cartesiano, utilizando funciones trigonométricas para determinar sus componentes y dirección. El objetivo es brindar una comprensión clara de los vectores, su significado y su representación matemática.
Takeaways
- 📚 Los vectores son magnitudes físicas que requieren una magnitud, dirección y sentido, en contraste con los escalares que solo necesitan un número y una unidad.
- 🧲 Ejemplos de sistemas físicos mencionados son un imán y una masa con propiedades como masa, densidad y magnetización.
- 📏 Los escalares se definen por un número y su unidad, como la masa en kilogramos o la densidad en kilogramos por metro cúbico.
- 🚀 Vectores como la velocidad o la aceleración requieren una dirección específica además de su magnitud numérica y unidad.
- 📐 La representación de un vector se puede hacer en forma de flecha en un sistema de referencia cartesiano, donde se indica su tamaño y dirección.
- 📈 El tamaño de un vector se llama magnitud y se representa por la longitud de la flecha en el diagrama.
- 📐 La dirección de un vector es el ángulo que forma con el eje x positivo y se describe en relación con este eje.
- 🌐 La representación polar de un vector incluye su magnitud y el ángulo de dirección con respecto al eje x positivo.
- 📊 La representación por componentes de un vector en un sistema de coordenadas cartesiano utiliza trigonometría para encontrar las componentes en x e y.
- 🔍 Para encontrar las componentes de un vector, se utiliza un triángulo rectángulo y se aplican las funciones trigonométricas coseno y seno del ángulo de dirección.
- 🔢 Conociendo las componentes de un vector, se puede calcular su magnitud utilizando la fórmula de la hipotenusa (módulo del vector) y su dirección mediante la tangente inversa de la componente y dividida por la componente x.
Q & A
¿Qué es una magnitud física y cómo se relaciona con un sistema físico?
-Una magnitud física es cualquier propiedad que se asocia con un sistema físico, como la masa, el peso, el número de átomos, la densidad, etc. Estas magnitudes describen características esenciales del sistema.
¿Cuál es la diferencia entre una magnitud escalar y un vector?
-Una magnitud escalar es una cantidad que solo necesita un número y su unidad para ser completamente definida, como la masa o la densidad. Un vector, en cambio, requiere además de una magnitud y unidad, una dirección y un sentido específicos.
¿Cómo se define un vector en términos generales?
-Un vector es una magnitud física que incluye una magnitud, una dirección y un sentido. Se representa matemáticamente con una flecha y se utiliza para describir magnitudes como la velocidad, la aceleración, la posición, entre otras.
¿Qué es la magnitud de un vector y cómo se relaciona con su tamaño?
-La magnitud de un vector es su tamaño, que se refiere a la longitud de la flecha que lo representa. También se conoce simplemente como 'tamaño' y es una de las propiedades fundamentales de un vector.
¿Cómo se representa matemáticamente un vector en un sistema de referencia cartesiano?
-En un sistema de referencia cartesiano, un vector se representa como una flecha que tiene una longitud (tamaño) y un ángulo con respecto a los ejes de coordenadas, generalmente el eje x.
¿Qué es la representación polar de un vector y cómo se diferencia de la representación por componentes?
-La representación polar de un vector muestra su tamaño y dirección en relación con el eje x positivo. Por otro lado, la representación por componentes se refiere a las magnitudes de las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, generalmente x e y.
¿Cómo se calculan las componentes de un vector en un sistema de coordenadas cartesiano?
-Para calcular las componentes de un vector, se utiliza un triángulo rectángulo formado por el vector y se aplican funciones trigonométricas como el coseno para la componente en x y el seno para la componente en y.
Si se conocen las componentes de un vector, ¿cómo se determina su magnitud y dirección?
-Si se conocen las componentes en x (Ax) y en y (Ay), la magnitud del vector se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado (√(Ax² + Ay²)). La dirección se encuentra a través de la tangente inversa de la componente en y dividida por la componente en x (tan⁻¹(Ay/Ax)).
¿Por qué es importante la dirección en la descripción de un vector?
-La dirección es crucial en la descripción de un vector porque indica la dirección en la que actúa o se dirige la magnitud. Sin la dirección, no se puede tener una representación completa de la magnitud física que el vector describe.
¿Cómo se relacionan los conceptos de vectores con la mecánica clásica?
-En la mecánica clásica, los vectores son fundamentales para describir magnitudes como las fuerzas, la aceleración y el movimiento. Por ejemplo, la fuerza ejercida sobre un objeto se describe como un vector que indica tanto la magnitud como la dirección de la fuerza.
Outlines
📚 Introducción a los vectores
El primer párrafo introduce el concepto de vectores como magnitudes físicas que requieren una magnitud, dirección y sentido. Se compara con magnitudes escalares como la masa o la densidad, que solo necesitan un número y su unidad. Los vectores, por otro lado, incluyen elementos como la velocidad, la aceleración y la fuerza, que además de un valor numérico, tienen una dirección específica. Se describe cómo se representan matemáticamente estos vectores en un sistema de referencia cartesiano en dos dimensiones, utilizando una flecha para representar su tamaño y dirección, y se explica que el tamaño del vector se llama magnitud.
📐 Representación de vectores
El segundo párrafo se enfoca en cómo representar a los vectores de dos maneras: la forma polar y por sus componentes en un sistema de coordenadas. En la forma polar, se utiliza el tamaño del vector y un ángulo para describir su dirección. Por ejemplo, se mencionan vectores con diferentes tamaños y ángulos de dirección. La representación por componentes se basa en un sistema de referencia, donde se encuentran las componentes del vector en relación con los ejes x e y. Se utiliza un triángulo rectángulo para determinar estas componentes a través de funciones trigonométricas como el coseno y el seno del ángulo de dirección. Se enfatiza la importancia de comprender que estas expresiones no son fórmulas fijas, sino que dependen del ángulo y la magnitud del vector.
🧭 Determinación de dirección y magnitud de vectores
El tercer párrafo explica cómo, conociendo las componentes de un vector en los ejes x e y, se puede determinar su dirección y magnitud. Se describe el uso de un triángulo rectángulo para calcular la magnitud del vector, que es la hipotenusa del triángulo, a través de la suma de las componentes al cuadrado. También se menciona la representación de la magnitud de un vector entre rayitas. Para encontrar la dirección del vector, se utiliza la tangente del ángulo, que es la relación entre la componente y y la componente x. Se resalta la importancia de la precisión en el uso de funciones trigonométricas para determinar tanto la dirección como la magnitud de los vectores.
Mindmap
Keywords
💡Vectores
💡Magnitudes físicas
💡Escalares
💡Magnitud
💡Dirección
💡Sistema de referencia
💡Componentes
💡Representación polar
💡Funciones trigonométricas
💡Tangente
💡Ángulo
Highlights
Iniciación al tema de vectores, recordando lo que son magnitudes físicas y diferencia entre escalares y vectores.
Ejemplos de sistemas físicos y sus magnitudes físicas asociadas, como masa, densidad y magnetización.
Definición de vector como una magnitud física que requiere magnitud, dirección y sentido.
Introducción a la representación de vectores en dos dimensiones utilizando un sistema de referencia cartesiano.
Explicación de la magnitud de un vector y su representación gráfica como una flecha.
Descripción de la dirección de un vector y cómo se relaciona con el ángulo respecto al eje x positivo.
Representación matemática de un vector utilizando notación vectorial y su magnitud.
Introducción a las representaciones de vectores en forma polar y por componentes en un sistema de coordenadas.
Descripción de la representación polar de un vector a través de su tamaño y dirección.
Explicación detallada de cómo encontrar las componentes de un vector utilizando funciones trigonométricas.
Proceso para determinar la componente en x de un vector basado en el ángulo y la magnitud.
Método para calcular la componente en y de un vector utilizando el seno del ángulo.
Importancia de la precisión en el uso de funciones trigonométricas para componentes opuestas al ángulo.
Proceso inverso para determinar la magnitud y dirección de un vector conociendo sus componentes.
Cálculo de la magnitud de un vector a partir de sus componentes utilizando la fórmula de la hipotenusa.
Uso de la tangente inversa para encontrar la dirección de un vector a partir de sus componentes.
Observación sobre la representación de la magnitud de un vector utilizando rayitas.
Conclusión sobre las dos formas de representar vectores: en forma polar y por componentes en un sistema de referencia cartesiano.
Transcripts
[Música]
a
muy bien vamos a iniciar ahora con lo
que es el tema de vectores
vamos a recordar para ello lo que es una
magnitud física toma todas aquellas
propiedades que le asociamos a un
sistema físico por ejemplo éste puede
ser un sistema crítico
como este imán también puede ser un
sistema físico acá esto esto tendrá por
ejemplo cierta masa cierto peso ciertos
números de átomos y cierta densidad como
este igual que este sistema de este imán
que está acá a parte de potentes miguel
ciertos átomos de esta cantidad de baja
densidad también posee otra propiedad
llamada magnetización en fin entonces
todas aquellas propiedades que le
podemos asociar a un sistema son llamada
magnitudes físicas
ahora la hay del tipo escalar las
escalares son aquellas que solamente
dependen de un número y su unidad por
ejemplo la masa 25 kilogramos 25 este
número la unidades de kilogramos
la densidad por ejemplo tres kilogramos
sobre metros cúbicos
también es un número y la unidad
la longitud el volumen con unidades
escalares pero hay otras cantidades por
ejemplo si este objeto llevar a cierta
velocidad hacia dónde va este objeto la
velocidad
aparte de que requiere un número de que
lleva tres metros por unidad de segundo
tengo que informar hacia dónde va
y está atraído por la aceleración va en
esta dirección entonces hay cantidades
que además de necesitar un número
requieren de una dirección y un sentido
a estas cantidades son las que vamos a
llamar vectores entonces que vamos a
entender por un vector básicamente un
vector
con aquellas magnitudes físicas que
requieren de una magnitud y una
dirección y un sentido y su unidad para
quedar bien definidas básicamente por
ello vamos a entender un vector
y aquí entonces en general completamente
general
o sea a esta expresión acá una magnitud
física y esta magnitud es del tipo de
editorial se designa como a y una
flechita arriba donde a puede ser la
velocidad la aceleración la posición
el desplazamiento o una fuerza un campo
magnético un campo eléctrico una
densidad de corriente o sea cualquier
magnitud que en este momento no nos
preocupa aquí estamos hablando
completamente en forma general entonces
vamos a decir que acá tenemos una
magnitud vectorial cuando tenemos la
magnitud que la vamos a llamar coral y
la tejita arriba en dos dimensiones
vamos a para describir un vector en
forma matemática
vamos a utilizar un sistema de
referencia que en este caso va a ser
cartesiano voy a trabajar en dos
dimensiones por facilidad entonces tengo
mi sistema cartesiano de quiché y vamos
a designar a un vector como una flecha
esto va a representarse en diferentes
dibujos una simple fresca donde el
tamaño del largo que tiene la playa este
largo de acá se va a llamar tamaño y
simplemente se va a designar por la
letra a el tamaño también se le llama
simplemente magnitud entonces cuando
llegamos la magnitud de un vector se
llama el tamaño del vector
luego vamos a considerar otra propiedad
que es la dirección la dirección de un
vector la vamos a designar respecto al
eje x positivo
y vamos a decir que este ángulo que está
acá es lo que vamos a llamar como
dirección
y luego la flecha la flecha juega el
papel del sentido
entonces básicamente que es un vector es
una propiedad es una magnitud física de
un sistema que tiene un tamaño define un
tamaño una dirección y un sentido y tu
unidad realmente está por ejemplo acá
tenemos una pista
[Música]
que está unida a una pequeña estrella
ahora yo quiero analizar un estudio
mecánico de ellos puedo decir bueno la
plaquita está ejerciendo una fuerza de
tensión en la dirección hacia arriba
porque el peso es otra
otra fuerza que apunta vertical y hacia
abajo aquí podríamos colocar otras
flechitas así como la atención por
ejemplo acá estoy dibujando que la
atención que hace la cuerda va hacia
arriba entonces la descripción
matemática pues fácilmente colocamos una
flechita
ahora vamos a aprender cómo vamos a
representar a un vector
ahorita lo vamos a ver de dos maneras
uno es la forma polar
y la otra por sus componentes respecto a
un sistema de coordenadas
por la forma polar
vamos a indicar por ejemplo que un
vector lo puedo colocar tu tamaño la
flechita y cierta dirección
por ejemplo este por ejemplo puedo poner
otro vector que tiene su tamaño
y una dirección alfa por acá o podemos
tener otro vector
casi otro lector en un tamaño 6 y tiene
cierta dirección
con respecto al eje x podemos llamarle a
este ángulo beta
estas son representaciones polares por
lo regular cualquier vector que se
representa en forma polar se puede
escribir así el vector es igual al
tamaño del vector por un ángulo que es
el ángulo de la dirección y esta
dirección mientras no digamos lo
contrario va a ser respecto al eje x
positivo
ahora
la representación por sus componentes
acá necesitamos un sistema de referencia
que el usual va a ser el sistema de
referencia ti
sistema de coordenadas donde voy a
dibujar por ejemplo un vector acá
que conozco su magnitud y tu dirección
pero ahora voy
a encontrar por ejemplo
sus componentes respecto al eje x y
respecto al eje i
entonces estos cerveza lo que vamos a
hacer aquí en la mayoría de todos los
casos va a ser armar un triángulo
rectángulo voy a tratar aquí el vector y
trazar una paralela acá al eje x y acá
al eje y entonces este elector está
compuesto por esta componente más esta
componente y a este le vamos a llamar a
en x y extra vamos a llamar a que éste
va a ser el ángulo texas que es la
dirección ahora quiero hacer una
observación acá por ejemplo si quiero
encontrar las componentes me voy a lo
que es las funciones trigonométricas
soles por ejemplo el coste no del ángulo
no es más que la componente el cateto a
yacente o la componente en x dividido la
hipotenusa y el seno del ángulo no es
más que el cateto opuesto que en este
caso sería la componente n / la
hipotenusa pero nosotros
digamos en este caso vamos a decir así
la componente en x es
adyacente al ángulo por lo tanto la
componente en x es igual
a por el coste no del ángulo la
componente de nye es igual
ella es opuesta al ángulo por lo tanto
la función que supuesta la angula es el
seno por lo tanto sería a seno del
ángulo estos serían entonces las
componentes de un vector
por sus componentes respecto a un
sistema de coordenadas ahora esto que
están acá no son fórmulas porque yo bien
pude haber agarrado por ejemplo
el vector
y utilizar un ángulo alfa aquí por
ejemplo y decir que las componentes del
vector acá teri a este vector está
compuesto de esta componente en
dirección
y esta componente en dirección x esta
teoría
gei aen x y se dan cuenta según lo que
acabo de decir ahorita por ejemplo la
componente en el kit es opuesta al
ángulo si es opuesta al ángulo la
función que me interesa es el seno por
lo tanto a n quitéria
la magnitud del vector
x
el seno del ángulo y la componente en
que sería la magnitud del vector por el
coste no del ángulo porque haya cnte al
ángulo
como pueden ver acá por ejemplo en la
componente en x
y tiene esta forma acá estoy utilizando
el costero y aquí el seno y aquí a
iniesta el seno y aquí está el costero o
sea hay que tener mucho cuidado que
estas expresiones no son fórmulas
básicamente lo que tenemos que hacer
para encontrar las componentes de un
vector es buscar un triángulos
rectángulos un ángulo y encontrar
entonces las componentes respecto al eje
xy respecto al eje yegros bien ahora
veamos lo contrario por ejemplo si yo
tengo el vector
ahora si dibujo el vector acá pero
conozco
los componentes en x
y ayer
y quiero saber cuál es la dirección
y tu magnitud ahora lo que tenemos que
hacer es
por ejemplo otra vez de un triángulo
rectángulo acá se ve claramente el
triángulo rectángulo donde la magnitud
juega el papel de la hipotenusa en un
triángulo que en este caso sería
la hipotenusa al cuadrado o sea la
magnitud del cuadrado sería a en x al
cuadrado más que al cuadrado o sea que
la magnitud del vector básicamente sería
en x al cuadrado más
al cuadrado esta sería la magnitud del
vector ahora como una observación se
acostumbra también escribir la magnitud
de un vector como el vector mismo
entre rayitas
esto sería también una manera de
describir la magnitud de un vector ahora
para conocer la dirección también nos
vamos a una función trigonométricas que
conozco conozco las componentes osea
conozco como decir el cateto opuesto y
el cateto a la gente qué función
trigonométricas me liga cateto opuesto
con cateto adyacente sería la tangente
del ángulo osea kaká sería
la mente el ángulo es cateto opuesto /
cateto adyacentes que no es más que la
componente en jay / componente en x y
por lo tanto el ángulo simplemente o la
dirección sería la tangente inversa de
ai
dividido en x
[Música]
entonces cualquier vector a lo podemos
escribir de esta manera en forma polar
o por sus componentes
es un sistema de referencia en este caso
cartesiano acá tenemos las dos
representaciones de cómo escribir
vectores
[Música]
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