Intervalos de confianza cuando se desconoce la desviación estándar poblacional
Summary
TLDREste tutorial detalla cómo calcular el intervalo de confianza para la media poblacional cuando la desviación estándar es desconocida. Se asume una distribución normal, se estima la desviación estándar con la muestra y se utiliza la distribución t. Se explican los pasos para encontrar el valor t en una tabla, y se muestran ejemplos prácticos: calcular la cantidad promedio de huevos por gallina, estimar el tiempo promedio de desplazamiento a trabajo. El objetivo es estimar promedios poblacionales con un nivel de confianza específico, utilizando la fórmula adecuada y la tabla de la distribución t.
Takeaways
- 📚 Este video tutorial trata sobre cómo calcular el intervalo de confianza para la media poblacional cuando la desviación estándar poblacional es desconocida.
- 📉 Para crear un intervalo de confianza, se asume que la muestra es normal o aproximadamente normal.
- 📏 Se utiliza la desviación estándar de la muestra para estimar la desviación estándar poblacional.
- 📊 Se emplea la distribución t en lugar de la distribución normal debido a que la desviación estándar poblacional es desconocida.
- 🔢 La fórmula para el intervalo de confianza es la media de la muestra más o menos el valor t multiplicado por la desviación estándar de la muestra dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
- 📈 El tamaño de la muestra y los grados de libertad son cruciales para determinar el valor t a partir de la tabla de la distribución t.
- 🎯 En el ejemplo 1, se muestra cómo utilizar la tabla de la distribución t para encontrar el valor t para un nivel de confianza del 95% y un tamaño de muestra de 12.
- 🐔 En el ejemplo 2, se calcula el intervalo de confianza para la cantidad media de huevos que pone una gallina, utilizando una muestra de 20 gallinas con una desviación estándar de 2 huevos.
- 🕒 En el ejemplo 3, se construye un intervalo de confianza para el tiempo promedio que tardan los empleados en llegar al trabajo, usando una muestra de 36 empleados con una desviación estándar de 12 minutos.
- 📉 El valor t cambia según el nivel de confianza y los grados de libertad, lo cual se ve reflejado en los diferentes ejemplos proporcionados.
- 📝 Al final del tutorial, se enfatiza la importancia de revisar las tablas de la distribución t y de aplicar la fórmula de intervalo de confianza para obtener conclusiones confiables.
Q & A
¿Qué es un intervalo de confianza y cómo se relaciona con la desviación estándar poblacional desconocida?
-Un intervalo de confianza es un rango que estima con qué precisión se acerca un estimador a la verdadera media poblacional. Cuando la desviación estándar poblacional es desconocida, se utiliza la desviación estándar de la muestra y la distribución t en lugar de la distribución normal para construir el intervalo.
¿Cuáles son los tres puntos clave para construir un intervalo de confianza de la media con una desviación estándar desconocida?
-Los tres puntos clave son: 1) Suponer que la muestra es normal o aproximadamente normal. 2) Estimar la desviación estándar de la población utilizando la desviación estándar de la muestra. 3) Utilizar la distribución t en lugar de la distribución normal.
¿Cómo se calculan los grados de libertad en el contexto de un intervalo de confianza utilizando la distribución t?
-Los grados de libertad se calculan restando uno al tamaño de la muestra, es decir, n - 1, donde n es el número de observaciones en la muestra.
¿Cómo se determina el valor de t para un intervalo de confianza de 95% con un tamaño de muestra de 12?
-Se utiliza la tabla de la distribución t y se busca el valor correspondiente a un nivel de confianza del 95% y 11 grados de libertad, que en este caso es aproximadamente 2.201.
¿Por qué se utiliza la distribución t en lugar de la distribución normal cuando se desconoce la desviación estándar poblacional?
-La distribución t se utiliza porque es más adecuada para muestras pequeñas y cuando la desviación estándar poblacional es desconocida, permitiendo una estimación más precisa del intervalo de confianza.
¿Cómo se calcula el intervalo de confianza para el ejemplo de la gallina que pone un promedio de 20 huevos al mes con una desviación estándar de 2.2 huevos?
-Se utiliza la fórmula del intervalo de confianza con la distribución t: (media de la muestra ± t * (desviación estándar de la muestra / √tamaño de la muestra)). Para un 95% de confianza y un tamaño de muestra de 20, el valor de t es 2.093.
¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para el ejemplo de la gallina que pone huevos?
-El intervalo de confianza se calcula sustituyendo los valores en la fórmula y resulta en un rango que indica con un 95% de confianza la cantidad promedio de huevos que pone una gallina al mes.
¿Es razonable concluir que la media poblacional de huevos por gallina es de 21 o de 25, basándose en el intervalo de confianza calculado?
-No es razonable concluir que la media poblacional es de 25 huevos, ya que está fuera del intervalo de confianza calculado. Sin embargo, 21 huevos sí estaría dentro del intervalo y sería una conclusión razonable.
En el ejemplo del tiempo promedio de viaje a trabajo, ¿cuál es el tamaño de la muestra y cuál es el intervalo de confianza que se desea construir?
-El tamaño de la muestra es de 36 empleados y se desea construir un intervalo de confianza del 95% para la media del tiempo que tardan en llegar al trabajo.
¿Cómo se anota el resultado del intervalo de confianza para el ejemplo del tiempo de viaje a trabajo?
-El resultado se anota presentando el límite inferior y el superior del intervalo, por ejemplo, 'El tiempo promedio que tarda un empleado en llegar al trabajo se encuentra entre 35.94 y 44.06 minutos con un 95% de confianza'.
Outlines
📚 Introducción a Intervalos de Confianza con Desviación Estándar Desconocida
Este primer párrafo presenta el tema de los intervalos de confianza para la media poblacional cuando la desviación estándar es desconocida. Se mencionan tres puntos clave: suponer que la muestra es normal o aproximadamente normal, estimar la desviación estándar de la población utilizando la desviación estándar de la muestra, y utilizar la distribución t en lugar de la distribución z. Se proporciona una fórmula para calcular el intervalo de confianza y se presenta un ejemplo práctico donde se utiliza la tabla de la distribución t para encontrar el valor t correspondiente a un nivel de confianza del 95% y una muestra de 12 elementos. También se calculan los grados de libertad y se muestra cómo encontrar el valor t en la tabla, con un resultado de 2.201 para este ejemplo.
📈 Utilización de la Distribución T para Estimar la Media Poblacional
En el segundo párrafo, se profundiza en el uso de la distribución t para estimar la media poblacional cuando la desviación estándar es desconocida. Se discute la necesidad de usar la distribución t en lugar de la z debido a la suposición de normalidad de la muestra. Se calcula el intervalo de confianza para dos ejemplos diferentes: uno con una muestra de 20 elementos y un nivel de confianza del 90%, y otro con una muestra de 20 gallinas que ponen un promedio de 20 huevos al mes con una desviación estándar de 2.2 huevos. Se utiliza la tabla de la distribución t para encontrar los valores t correspondientes y se construye el intervalo de confianza utilizando la fórmula mencionada anteriormente, obteniendo intervalos de confianza específicos para cada caso.
🔢 Análisis de un Intervalo de Confianza para la Cantidad de Huevos Ponedoras
El tercer párrafo se centra en un ejemplo específico donde se desea calcular el intervalo de confianza de la cantidad promedio de huevos que pone cada gallina. Se describe el proceso de construcción del intervalo de confianza utilizando la fórmula de la media de la muestra más o menos el valor t multiplicado por la desviación estándar de la muestra dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Se utiliza un nivel de confianza del 95% y se determina el valor t a partir de la tabla de la distribución t para 19 grados de libertad. Se calcula el intervalo y se discute la razón por la cual ciertos valores son razonables o no dentro de este intervalo, concluyendo con que la media poblacional de huevos es probablemente entre 19.065 y 20.935.
⏱ Estimación del Tiempo Promedio de Desplazamiento de un Empleado
El último párrafo presenta un ejemplo de cómo estimar el tiempo promedio que tardan los empleados en llegar a su trabajo. Se describe el proceso de selección de una muestra aleatoria de 36 empleados y se encuentra una media de 40 minutos con una desviación estándar de 12 minutos. Se calcula el intervalo de confianza del 95% para esta media, utilizando la tabla de la distribución t para 35 grados de libertad y encontrando un valor t de 2.030. Se aplica la fórmula del intervalo de confianza y se obtienen límites de 35.94 y 44.06 minutos. Se sugiere una forma de presentar los resultados y se invita a los espectadores a dejar comentarios y dudas para futura respuesta.
Mindmap
Keywords
💡Intervalo de confianza
💡Desviación estándar poblacional
💡Muestra
💡Distribución t de Student
💡Grados de libertad
💡Tabla de distribución de Student
💡Nivel de confianza
💡Media de la muestra
💡Desviación estándar de la muestra
💡Normalidad de la muestra
Highlights
El video tutorial trata el tema de intervalos de confianza con una desviación estándar poblacional desconocida.
Se mencionan tres puntos clave para crear un intervalo de confianza de la media poblacional.
Se debe suponer que la muestra es normal o aproximadamente normal.
Es necesario estimar la desviación estándar de la población utilizando la de la muestra.
Se debe utilizar la distribución t en lugar de la distribución normal.
Se presenta la fórmula para calcular el intervalo de confianza utilizando la media de la muestra y la distribución t.
Se explica cómo localizar el valor de t en la tabla de la distribución de Student.
Se calculan los grados de libertad como el tamaño de la muestra menos uno.
Se muestra un ejemplo de cómo determinar el valor de t para un nivel de confianza del 95% y una muestra de 12.
Se proporciona un segundo ejemplo para un nivel de confianza del 90% y una muestra de 20.
Se describe el caso de un propietario de gallinas que desea calcular la cantidad promedio de huevos por gallina.
Se explica por qué se utiliza la distribución t en lugar de la normal cuando la desviación estándar poblacional es desconocida.
Se calcula el intervalo de confianza del 95% para la cantidad promedio de huevos por gallina.
Se discute la construcción del intervalo de confianza y cómo interpretar los resultados.
Se presenta un tercer ejemplo sobre estimar el tiempo promedio que tardan los empleados en llegar al trabajo.
Se calcula el intervalo de confianza del 95% para el tiempo promedio de viaje a trabajo de los empleados.
Se concluye el video tutorial con una invitación a dejar comentarios y preguntas.
Transcripts
y en revisemos en este vídeo tutorial el
tema de intervalos de confianza con la
desviación estándar poblacional
desconocida antes esta pequeña
introducción nos va a ayudar que lo que
nos está diciendo para crear un
intervalo de confianza de la media
poblacional con una desviación estándar
desconocida tenemos que tomar en cuenta
los tres puntos que tenemos aquí primero
de ellos suponga que la población
muestra de muestreada es normal o
aproximadamente normal
el segundo punto estima la desviación
estándar de la población que se utilice
este signo con la desviación estándar de
la muestra vamos a utilizar este signo y
tercer punto utilice la de la
distribución t en lugar de la
distribución sets ahora fueron la
fórmula que vamos a ocupar ese es donde
la
media de la muestra a quien faltó
ponerle arriba la media de la muestra
más menos la distribución t por la
desviación estándar entre la raíz
cuadrada del número de datos de la
muestra y bien ahora vamos a revisar un
ejemplo 1 que lo que nos está pidiendo
utiliza la tabla de la distribución de
the student para localizar el valor de
en las siguientes condiciones inciso a
nos dice el tamaño de la muestra es de
12 y el nivel de confianza de 95
éstos no nos va a permitir practicar
para resolver problemas un poco más
complejos y bien para nosotros poder
determinar el valor del estudio
primero tenemos que considerar el valor
de la muestra que para este ejemplo es
de 12
y tenemos que considerar también otro
valor que se llama grados de libertad
estos grados de libertad los vamos a
calcular restando los datos de la
muestra un número detrás de la muestra
menos uno entonces esto va a ser igual a
12
- uno que va a ser igual a 11 estos van
a ser los grados de libertad
ustedes van a tener que utilizar
esta tabla que es la distribución de the
student y lo que van a hacer es lo
siguiente en primer lugar a y tiene que
considerar su nivel de confianza que
aquí es del 95% bien van a identificar
el 95 por ciento en esta tabla que se
encuentran los niveles de confianza en
esta parte primero localizan 95 por
ciento y desde este lado van a tener los
grados de libertad que para este inciso
son 11 entonces se van a bajar de forma
vertical 11 grados de libertad aquí lo
tenemos
después horizontalmente y 95 por ciento
aquí lo tienen y van a bajar hasta
encontrar la coordenada correcta que es
2.200 1s va a ser su valor de que lo
vamos a notar acá
entonces el valor t es de 2.201 ahora ya
tenemos el resultado vamos con el
siguiente inciso el tamaño de la muestra
es de 20 y el nivel de confianza del 90
por ciento igual que como lo hicimos en
el inciso anterior tenemos que calcular
t tenemos
los números datos de la muestra que es
20 tenemos aquí grados de libertad que
es el número de la muestra menos 1 y va
a ser igual a 19 y tenemos el nivel de
confianza que es del 90 por ciento
pasemos a nuestra tabla nuevamente
identificamos aquí 90 por ciento y
tenemos grados de libertad 19 que está
aquí van a bajar vertical y después
horizontalmente se van a desplazar y
aquí tenemos de la coordenada que sería
de 1.729 su valor t
1.700
29
recuerdo y esos van a ser sus
respectivos resultados
bien aquí tenemos un ejemplo 2 que es lo
que nos está diciendo el propietario de
expo desea calcular la cantidad media de
huevos que pone cada gallina una muestra
de 20 gallinas indica que ponen en
promedio 20 huevos al mes con una
desviación estándar de 22 huevos al mes
noten aquí que la desviación estándar
que nos están dando es la de la muestra
desconocemos la desviación estándar de
la población ahora qué es lo que nos
están poniendo aquí inciso a cuál es el
valor de la media de la población ok el
valor de la media de la población
nosotros la desconocemos pero tenemos un
estimador puntual que es la media de la
muestra y ésta es igual de 20 huevos al
mes
esto nos va a ayudar de acuerdo a lo que
sigue inciso b expliqué por qué necesita
utilizar la distribución t que su
posición necesita hacer ok
nosotros tenemos que utilizar la
distribución t porque desconocemos la
desviación estándar poblacional y que su
posición
necesitamos hacer que nuestra muestra
sigue una distribución normal esa sería
nuestra suposición inciso c cuál es el
valor de en un intervalo de confianza de
95% ok
tenemos aquí el baluarte a calcular
después tenemos
el valor de la muestra que para esto
sería de 20 gallinas
tenemos 20 después tenemos 2 grados de
libertad que si recuerdan es n 1 la
muestra que es 20 menos uno va a ser
igual a 19 y el otro dato que
necesitamos para calcular t sería
el nivel de confianza que es de 95% y
nuevamente ustedes vienen a su tabla y
localizan en primer lugar el 95% aquí ya
lo tienen y tienen un grado de libertad
grados de libertad 19 que va a estar acá
se desplazan después 19 y aquí va a ser
2.0 93 va a ser su valor
d
y ahí está
después qué es lo que tenemos aquí abajo
inciso de construir el intervalo de
confianza del 95% de la media de la
población
anotemos primero nuestros datos
ya tenemos el valor t
que es de 2.0 93
después tenemos la desviación estándar
de nuestra muestra que es de 2
tenemos la media de la muestra que es de
20
después tenemos
el tamaño de la muestra que también es
de 20
posteriormente el nivel de confianza que
nos están pidiendo que es el 95 por
ciento
y con esto podemos comenzar a meter los
datos en nuestra fórmula nos va a poner
de este lado recuerden que la fórmula es
la media de la muestra más menos el
valor de por la desviación estándar
entre la raíz cuadrada de los datos de
la muestra vamos a sustituir tenemos x x
barra que es 20
más menos el valor de 2.0 93
por tenemos la versión estándar que es
de 2 entre la raíz cuadrada
de los datos de la masa que son 20
después tenemos 20 más menos 2.0 93
tenemos dos y lo que tienen que hacer es
sacar la raíz cuadrada de 20 que es
punto digo que es 4
punto 472 voy a manejar 3 libras 3
cifras en los decimales después 20 más
menos 2 puntos 0 93 y tienen que dividir
dos entre 4.472
que nos va a dar como resultado 0 punto
447
seguimos con nuestro procedimiento 20
más menos multiplicamos 2.0 93 por 0
punto 447 que nos va a dar punto 935
y luego 20 más punto 935 va a ser igual
y 20.900 35 20.900 35 va a ser 20 puntos
1935 y 20 - 2.935 va a ser 19 puntos 0
65 estos van a ser los límites de
nuestro intervalo de confianza con un
95% y por último tenemos el inciso c y
psoe que nos dice es razonable concluir
que la media poblacional es de 21 huevos
y de 25 huevos no es razonable porque ni
21 y 25 se encuentran en nuestro
intervalo que va de 19.0 65 a 20.900 35
si tal vez el dueño dijera que son 20
huevos en promedio eso sí sería
razonable porque se encuentra en nuestro
intervalo
bien tenemos un último ejemplo que es el
número 3 nos dice una empresa desea
estimar el promedio de tiempo que
necesita un empleado para llegar a su
trabajo se selecciona una muestra al
azar de 36 empleados y se encuentra que
la media es de 40 minutos suponiendo una
desviación estándar de la muestra de 12
minutos construye un intervalo de
confianza de 95% de la media poblacional
del tiempo que tardan los empleados para
llegar al trabajo bien como siempre
tienen que iniciar ustedes anotando sus
datos
tenemos en este caso
y el número de datos de nuestra muestra
que aquí nos dicen que es de 36
después tenemos que anotar
nuestra media de la muestra que nos
están diciendo que es de 40 minutos
luego
nuestra desviación estándar de la
muestra que en nuestro problema
sería de 2
aquí lo tenemos luego el nivel de
confianza que nos están pidiendo que se
representa de esta forma es del 95 por
ciento
posteriormente tenemos que anotar
nuestro valor de que aún desconocemos y
los grados de libertad que se determinan
restando a los datos de la muestra menos
1 va a ser igual
35 ahora tenemos que identificar nuestro
valor t volvamos a nuestra tabla y
encontremos 95% y 35 grados de libertad
nos desplazamos y aquí está 35
que sería 2.0 30
ya notamos
y simplemente lo que hacemos ahora es
metal es meter estos datos en nuestra
fórmula
qué es la media de la muestra más -
banorte por la división estándar de la
muestra entre la raíz cuadrada de los
datos de la muestra tenemos que la media
de la muestra es de 40
más menos el valor de 2.0 30
por la desviación estándar que es 12
entre la raíz cuadrada de 36
seguimos 40 más menos 2.0 30
12 sacamos raíz cuadrada de 36 que ese
día 6
después 40 más menos 2.0 30
si dividimos 2 entre 6 nos va a dar 2
luego 40 más menos multiplicamos 2.0 30
por 2 y nos va a dar 4.06
y ya simplemente vamos a utilizar
nuestros signos
aisladamente 44.06 iguala y 40 menos 4.0
6 aquí va a ser 44.06 y de este lado va
a ser 35
punto 94
estos van a ser los límites de nuestro
intervalo también ustedes pueden anotar
el resultado de esta forma ponen primero
el límite inferior que es de 35 puntos
94 después ponen este signo la media y
el valor que es de 44 puntos 06 esta es
otra manera en la que pueden anotar el
resultado y también puede que en sus
evaluaciones les pidan una conclusión la
pueden anotar de la siguiente forma
pueden afirmar con un 95% de seguridad
que el tiempo promedio que tarda un
empleado para llegar a su trabajo se
encuentra entre 35.94 y 44.06 minutos
que es el intervalo que ustedes habrían
construido y bien con esto llegamos al
final del vídeo tutorial recuerden que
si ustedes tienen sugerencias
comentarios o dudas los pueden anotar
caja de comentarios y estaremos
contestando contestándoles lo más pronto
posible gracias por revisar nos y que
tenga un excelente día dios los bendiga
por qué tanta gente
sí
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