La incógnita de más de 2.300 años de los números primos | BBC Mundo

Summary

El misterio de los números primos, que han intrigado a los matemáticos desde la época de Euclides, se ha convertido en una amenaza para la seguridad digital. Los números primos, fundamentales para la construcción de otros números y clave en la criptografía, no siguen una fórmula de distribución exacta. La hipótesis de Riemann, que busca explicar esta distribución, es una de las mayores desafíos de las matemáticas y su resolución podría tener implicaciones en la criptografía, haciendo vulnerables sistemas como RSA, que se basan en la dificultad de factorizar grandes números primos.

Takeaways

• 📚 Los números primos son fundamentales en matemáticas y han sido misteriosos desde hace más de 2.300 años, como lo demostró Euclides.
• 🌐 Si se desentrañara el enigma de los números primos, podría amenazar seriamente el sistema financiero mundial y el internet.
• 🔍 Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir entre sí mismos y 1, como el número 3, y son la base para construir el resto de los números.
• 🔄 No existe una fórmula exacta para generar números primos, aunque hay fórmulas como n²+n+41 que generan números primos en ciertos casos.
• 💡 La distribución de los números primos es un problema sin resolver y es parte de los Millones de Dólar del Instituto Clay de Matemáticas.
• 🇩🇪 La hipótesis de Riemann, planteada en 1859, establece una conexión entre los números primos y la función zeta de Riemann, y su demostración es un desafío clave en matemáticas.
• 🏆 Demostrar la hipótesis de Riemann no solo es un logro académico sino también una oportunidad de ganar un premio de 1 millón de dólares.
• 🔐 La criptografía moderna, como el sistema RSA, se basa en la dificultad de factorizar grandes números producto de la multiplicación de números primos.
• 🚀 El avance en el conocimiento de los números primos tiene implicaciones en la seguridad de las comunicaciones en internet y podría hacerlas vulnerables a los hackers.
• 🔑 Los números primos son esenciales en la construcción de cifras utilizadas en la criptografía, donde su factorización es computacionalmente intensa.
• 🌐 La seguridad de las redes y el sistema financiero depende en gran medida de nuestra incapacidad actual para predecir y controlar la distribución de los números primos.

Q & A

¿Cuál es la importancia histórica de los números primos y cuánto tiempo han sido objeto de estudio por los matemáticos?

Los números primos han sido objeto de estudio por los matemáticos desde hace más de 2.300 años, como lo demostró Euclides al probar que hay una infinita cantidad de ellos.

¿Por qué el desciframiento del misterio de los números primos podría amenazar el mundo interconectado y el sistema financiero mundial?

Si se descubre una fórmula exacta para la distribución de los números primos, podría comprometer la seguridad de las redes, dado que muchos sistemas criptográficos, como RSA, se basan en la dificultad de factorizar números grandes en sus primos componentes.

¿Qué son los números primos y cómo se definen matemáticamente?

Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir entre sí mismos y 1. Por ejemplo, el número 3 es primo, mientras que el 4 no lo es, ya que se puede dividir por 2.

¿Cómo se relaciona la multiplicación de números primos con la construcción de otros números?

Los números primos son fundamentales porque forman la base para la construcción de todos los demás números a través de la multiplicación. Por ejemplo, el 15 es la multiplicación de los primos 3 y 5, y el 50 es 2x5x5.

¿Por qué no existe una fórmula para generar números primos de forma exacta y sin excepciones?

La distribución de los números primos no sigue un patrón regular predictible, lo que hace que no sea posible crear una fórmula universal que genere números primos sin excepciones.

¿Qué fórmula famosa se menciona en el guion y cómo funciona para generar números primos?

Se menciona la fórmula n²+n+41, que genera números primos para cada valor de n de 0 a 39. Por ejemplo, sustituyendo n por 1, se obtiene 43, que es primo.

¿Qué es la hipótesis de Riemann y cómo está relacionada con los números primos?

La hipótesis de Riemann, propuesta por Bernhard Riemann en 1859, establece una conexión entre los números primos y la función zeta de Riemann, y si se demuestra, podría describir cómo se distribuyen los números primos hasta el infinito.

¿Qué recompensa ofrece el Instituto Clay de Matemáticas por resolver la hipótesis de Riemann?

El Instituto Clay de Matemáticas ofrece una recompensa de 1 millón de dólares a quien resuelva la hipótesis de Riemann, que es uno de los problemas más grandes de las matemáticas puras.

¿Cómo afectan los avances en la comprensión de los números primos a la criptografía y la seguridad digital?

Los avances en la comprensión de los números primos podrían hacer que los sistemas de criptografía basados en ellos sean más vulnerables, ya que la seguridad de estos sistemas depende de la dificultad de factorizar números grandes en primos.

¿Qué es RSA y cómo se relaciona con la seguridad de los mensajes en internet y los números primos?

RSA es uno de los sistemas criptográficos más utilizados para mantener seguros los mensajes en internet, como la protección de números de tarjetas de crédito en transacciones en línea. Se basa en la multiplicación de dos números primos grandes, que es un proceso que toma mucho tiempo incluso para computadoras avanzadas.

¿Por qué la seguridad de Internet se vuelve más precaria a medida que se descubre más sobre los números primos?

A medida que se descubre más sobre los números primos, se podría encontrar una forma más eficiente de factorizarlos, lo que amenaza la seguridad de los sistemas criptográficos que dependen de la dificultad de este proceso para mantener la confidencialidad de la información.

Outlines

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🔐 El Misterio de los Números Primos y su Impacto en la Criptografía

El párrafo introduce el misterio de los números primos, que han intrigado a los matemáticos desde la época de Euclides, y su relevancia en la criptografía moderna. Los números primos son fundamentales en la construcción de otros números y su distribución sigue siendo un enigma. La posibilidad de desentrañar su patrón podría amenazar la seguridad de las redes interconectadas y el sistema financiero mundial, dado que la mayoría de los códigos de seguridad en internet se basan en la dificultad de factorizar grandes números primos. El RSA, un sistema criptográfico comúnmente utilizado, se basa en la multiplicación de números primos de gran tamaño, lo que hace que el descifrado sea computacionalmente inviable. La clave para este misterio podría estar en la hipótesis de Riemann, que ofrece una conexión entre los números primos y una función matemática, y cuya demostración sería de gran valor tanto académico como económico.

Keywords

💡Números primos

Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir entre sí mismos y 1, sin tener divisores adicionales. Son fundamentales en matemáticas y constituyen la base sobre la que se construye el resto de los números a través de la multiplicación. En el video, se menciona que el 3 es un número primo, mientras que el 4 no lo es, ya que es divisible por 2. La importancia de los números primos se refleja en su rol central en la criptografía y en la distribución que aún es un misterio para los matemáticos.

💡Euclides

Euclides fue un matemático antiguo que demostró que hay una infinita cantidad de números primos. Su contribución a la matemática es histórica y sigue siendo relevante en el estudio actual de los números primos. En el script, se hace referencia a su demostración como un hito en el entendimiento de la naturaleza infinita de los números primos.

💡Distribución de números primos

La distribución de los números primos se refiere a la forma en que estos se dispersan a lo largo de los números naturales. No hay una fórmula exacta para predecir la aparición de los siguientes números primos, lo que representa un gran desafío en matemáticas. El video destaca que esta distribución es un enigma y está relacionada con la hipótesis de Riemann, que es central para el tema del video.

💡Hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann es una conjetura matemática que busca explicar la distribución de los números primos. Descubierta por Bernhard Riemann en 1859, establece una conexión entre los números primos y la función zeta de Riemann. El video menciona que demostrar esta hipótesis es un desafío significativo y que tiene implicaciones en la criptografía y la seguridad digital.

💡Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann es una función matemática compleja que está relacionada con la distribución de los números primos. En el script, se describe cómo esta función es clave para entender la hipótesis de Riemann y, por ende, para resolver el misterio de la distribución de los números primos.

💡Criptoanálisis

El criptoanálisis es el estudio de cómo descifrar o romper sistemas de cifrado. En el contexto del video, se destaca que muchos algoritmos de cifrado, como RSA, se basan en la dificultad de factorizar números grandes en sus primos factores. La relación entre la seguridad de Internet y los números primos se hace evidente a través de este concepto.

💡RSA

RSA es un algoritmo de cifrado utilizado para proteger la información en Internet, especialmente en transacciones en línea con tarjetas de crédito. El script menciona que RSA se basa en la multiplicación de números primos de gran tamaño, lo que hace que descubrir sus factores primos sea computacionalmente intenso y, por lo tanto, seguro.

💡Factorización de números

La factorización de números es el proceso de descomponer un número en sus factores primos. Es un aspecto clave en la criptografía, ya que la seguridad de algoritmos como RSA depende de la dificultad de factorizar grandes números producto de primos. El video ilustra este concepto con números pequeños y señala la complejidad al aumentar la magnitud de los números involucrados.

💡Seguridad digital

La seguridad digital se refiere a la protección de la información en línea contra el acceso no autorizado, la manipulación o la destrucción. El video destaca cómo los números primos, y nuestra limitada comprensión de su distribución, son fundamentales para mantener la seguridad de Internet y los sistemas de pago en línea.

💡Conexión entre matemáticas y criptografía

El video establece una conexión entre los avances en la comprensión de los números primos y su impacto en la criptografía. Muestra cómo la resolución del misterio de la distribución de los números primos podría amenazar la seguridad de los sistemas de cifrado actuales, como RSA, y por ende, la seguridad financiera global.

💡Amenaza para el sistema financiero mundial

El script sugiere que un avance en la comprensión de la distribución de los números primos podría tener consecuencias negativas para la seguridad del sistema financiero mundial. Si se logra un enfoque más eficiente para factorizar números grandes, los sistemas de cifrado actuales podrían ser vulnerables a los hackers, lo que pondría en riesgo las transacciones financieras en línea.

Highlights

Los números primos han sido un misterio para los matemáticos desde hace más de 2.300 años, con Euclides demostrando su infinitud.

El desciframiento del enigma de los números primos podría amenazar seriamente el sistema financiero mundial.

Los números primos son fundamentales en matemáticas, ya que forman la base de la construcción de otros números.

No existe una fórmula exacta para generar números primos, a diferencia de algunos casos específicos como la fórmula n²+n+41.

La distribución de los números primos sigue siendo un enigma, sin una ley predictiva clara.

El Instituto Clay ofrece una recompensa de 1 millón de dólares por resolver la hipótesis de Riemann, vinculada a la distribución de números primos.

Bernhard Riemann descubrió una conexión entre los números primos y la función zeta, lo que podría ser clave para demostrar su hipótesis.

Resolver la hipótesis de Riemann no solo es un desafío en matemáticas puras sino que también tiene implicaciones en otras disciplinas como la informática y la criptografía.

La criptografía moderna, como el sistema RSA, se basa en la dificultad de factorizar grandes números producto de la multiplicación de números primos.

El sistema RSA utiliza la multiplicación de números primos de gran longitud para garantizar la seguridad de las comunicaciones en línea.

El avance en el conocimiento de la distribución de números primos podría hacer vulnerables los sistemas de seguridad actuales.

Los números primos son esenciales para la seguridad de las transacciones en línea, como la protección de los números de tarjeta de crédito.

La factorización de números primos es un problema computacionalmente intenso que la criptografía utiliza para su ventaja.

El conocimiento actual sobre los números primos es un equilibrio entre la seguridad y el avance científico.

La búsqueda de una fórmula para la distribución de números primos es un problema de gran complejidad y relevancia en el campo matemático.

La hipótesis de Riemann es considerada una de las 'preguntas del millón' en matemáticas, con implicaciones económicas y científicas significativas.

Transcripts

Los números primos encierran un misterio  que los matemáticos intentan desentrañar  

desde hace más de 2.300 años, cuando Euclides  demostró que hay infinita cantidad de ellos. 

El problema es que si alguien lograra desentrañar  ese enigma, entonces nuestro mundo interconectado  

se vería seriamente amenazado e incluso podría  hacer colapsar el sistema financiero mundial. 

Antes de explicar el desplome de  las redes seguras, refresquemos  

la parte más escolar de todo esto. Los números primos son aquellos que solo  

se pueden dividir entre sí mismos y 1. Por ejemplo, el 3 es un número primo,  

pero el 4 no porque se puede dividir entre 2. Los matemáticos suelen decir que los números  

primos son los más importantes porque con  ellos se construye al resto de los números. 

Por ejemplo, el 15 es la multiplicación  de los primos 3 y 5, y el 50 es 2x5x5. 

Entonces, sabemos qué son y, gracias a  Euclides, sabemos cuántos son (o sea infinitos),  

¿pero cómo los encontramos? Este es el enigma de los  

números primos: su distribución. Si tomo los números naturales   

("los de contar”: 1, 2, 3, 4...) y me encuentro con  un número primo, a grandes rasgos no tengo cómo  

predecir dónde va a aparecer el siguiente. En otras palabras, no existe una fórmula  

para generar números primos de  forma exacta y sin excepciones. 

Esto es importante aclararlo porque  sí hay fórmulas para ciertos casos. 

La fórmula más famosa n²+n+41, que genera números primos para cada valor de n de 0 a 39. 

Por ejemplo, si sustituyo la n  por un 1, me da 43, que es primo. 

Y si hago lo mismo con 22, me  da 547, que también es primo. 

Pero claro, la fórmula no es  muy impresionante si se tiene  

en cuenta que existen infinitos números primos. El hecho de que los matemáticos lleven milenios  

fracasando en sus intentos por crear la ley de  distribución de los números primos, ¿quiere decir,  

acaso, que no tienen un patrón regular? Esta es la pregunta del millón. Y  

cuando digo “del millón” me refiero  literalmente a 1 millón de dólares. 

Desde el año 2000, el Instituto Clay de  Matemáticas de Massachusetts, Estados Unidos,  

ofrece dicha recompensa a quien resuelva un  problema matemático vinculado a esta interrogante. 

Su nombre es la hipótesis de Riemann. En 1859 el matemático alemán Bernhard  

Riemann descubrió una conexión entre  los números primos y una función  

matemática que hoy conocemos como Riemann zeta. Gracias a ese vínculo que él encontró, quien logre  

demostrar la hipótesis de Riemann, conseguiría  describir cómo los números primos se distribuyen  

hasta el infinito (y se haría millonario, claro). Encontrar esta prueba es quizás el desafío  

actual más grande de las matemáticas puras. Sin embargo, sus repercusiones podrían tener  

una enorme influencia en otras ciencias  como la informática, más concretamente,  

en la criptografía. Y es justamente aquí  

donde aparecen las amenazas digitales. Hoy en día, la mayoría de los códigos que se usan  

para mantener seguros los mensajes en internet  se valen de los números primos

(o mejor dicho,  se valen de nuestro desconocimiento sobre ellos). Tomemos el RSA, uno de los sistemas criptográficos  

más utilizados en la actualidad que, por ejemplo, se usa para proteger los números de la tarjeta de  

crédito al hacer una transacción online. Como ya había dicho antes, todos los  

números pueden expresarse como  la multiplicación de primos. 

Incluso había dado dos ejemplos:  que 15 es 3x5 y que 50 es 2x5x5. 

Obviamente se trata de dos cifras pequeñas,  entonces es fácil ir hacia atrás y deducir qué  

números primos se usaron para construirlas. Pero a medida que el resultado final crece,  

descubrir estos bloques básicos se  va haciendo cada vez más difícil. 

Lo que hace el sistema RSA, entonces, es partir  de dos números primos que tienen varios cientos  

de dígitos y los multiplica entre sí. En otras palabras, aprovecha que descifrar  

esos primos lleva demasiado tiempo incluso  usando una computadora o varias a la vez. 

Pero si los matemáticos logran desentrañar  el misterio de la distribución de los números  

primos, el sistema financiero mundial  pasaría a ser vulnerable al hackeo. 

Es por eso que, cuanto más sabemos de los números  primos, más inseguro se vuelve internet.