Y tú, ¿sabes qué es una derivada? Definición y significado geométrico. Cálculo diferencial
Summary
TLDREn este video educativo, se presenta la derivada como uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. Se comienza repasando la definición de recta secante y tangente, y se explica cómo la pendiente de una recta es crucial para entender la derivada. Seguidamente, se introduce el concepto de derivada a través de la aproximación de la pendiente de una recta secante y se muestra cómo esta aproximación converge a la pendiente de la recta tangente cuando los puntos se acercan. El vídeo utiliza el trabajo de matemáticos históricos como Leibniz para explicar la derivada en términos de límites y proporciona una fórmula general para calcularla. Se ilustra con un ejemplo práctico cómo calcular la derivada de una función simple y cómo esta derivada se utiliza para encontrar las pendientes de las rectas tangentes en una gráfica. El objetivo es proporcionar una interpretación geométrica de la derivada y su aplicación en diversos problemas.
Takeaways
- 📚 El objetivo del video es demostrar la interpretación geométrica de la derivada de una función y su aplicación en diversas áreas.
- 📐 Se repasan conceptos básicos como la recta secante y la recta tangente en un plano cartesiano.
- 📈 La derivada se relaciona con la pendiente de una recta, que es un valor numérico que representa su inclinación.
- 🔍 Se describe el proceso histórico de cómo se llegó a entender la derivada, con contribuciones de matemáticos griegos y destacados matemáticos del siglo 17.
- 🤔 La derivada surge como solución a la necesidad de calcular la pendiente de una recta tangente a una curva en un solo punto.
- 📉 La aproximación de la pendiente de una recta tangente se hace a través del uso de rectas secantes que se acercan al punto de interés.
- 📝 Se introduce la fórmula de la derivada como el límite de la diferencia entre los valores de la función evaluada en dos puntos cuando la diferencia de los puntos tiende a cero.
- 🧩 Se ilustra cómo la derivada se calcula a través de un ejemplo práctico, utilizando la función f(x) = x^2 y encontrando su derivada como 2x.
- 📊 La tabla de derivadas es un compendio de fórmulas generalizadas que permiten calcular la pendiente de rectas tangentes para diferentes funciones.
- 📈 La derivada permite calcular la pendiente de una recta tangente en un punto específico de la gráfica de una función, lo cual es útil para resolver problemas en diversas áreas.
Q & A
¿Qué es la derivada en matemáticas y cómo se relaciona con la recta tangente a una curva?
-La derivada es el valor límite de la relación entre el incremento del valor de una función y el incremento de la variable independiente cuando este tiende a cero. Geométricamente, la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado.
¿Cuál es la diferencia entre una recta secante y una recta tangente en términos geométricos?
-Una recta secante es una línea que intersecta a una curva en dos puntos, mientras que una recta tangente es una línea que toca la curva en un solo punto, y su pendiente en ese punto es igual a la pendiente de la curva en ese punto.
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta secante que corta la gráfica de una función en dos puntos?
-Para calcular la pendiente de una recta secante, se utiliza la fórmula de la pendiente que es (y2 - y1) / (x2 - x1), donde (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos en los que la recta secante intersecta la gráfica de la función.
¿Por qué no se puede utilizar la fórmula de la pendiente de una recta secante para calcular la pendiente de una recta tangente?
-La fórmula de la pendiente de una recta secante requiere dos puntos para su cálculo. En el caso de una recta tangente, solo se conoce un punto de contacto con la curva, por lo que es necesario un método diferente para calcular su pendiente.
¿Quiénes fueron algunos de los matemáticos que contribuyeron a la teoría de las derivadas y cómo?
-Pierre de Fermat, René Descartes y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz fueron algunos de los matemáticos que contribuyeron significativamente a la teoría de las derivadas. Leibniz, en particular, es conocido por proponer un método general para encontrar las tangentes a una curva a través del uso de símbolos diferenciales.
¿Cómo se utiliza el concepto de límite para calcular la pendiente de una recta tangente?
-El concepto de límite se utiliza para calcular la pendiente de una recta tangente a través de la aproximación de la pendiente de una recta secante. A medida que el segundo punto de la secante se acerca al primer punto, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, lo cual se expresa matemáticamente como el límite cuando el incremento de x tiende a cero.
¿Cómo se define matemáticamente la derivada de una función en términos de límites?
-La derivada de una función se define matemáticamente como el límite de la diferencia entre el valor de la función evaluada en un punto x + h y el valor de la función en el punto x, dividido por h, cuando h tiende a cero: lim(h->0) [(f(x+h) - f(x)) / h].
¿Qué es el binomio de Newton y cómo se utiliza en el proceso de derivación?
-El binomio de Newton, o binomio al cuadrado, es una expansión algebraica que se utiliza para calcular el valor de (x + h)^n para un número entero n. En el proceso de derivación, se utiliza para expandir y simplificar la expresión de la función cuando se está calculando la pendiente de la recta tangente a través del límite.
¿Cómo se puede encontrar la derivada de la función f(x) = x^2 utilizando el proceso de límites?
-Para encontrar la derivada de la función f(x) = x^2, se aplica la definición de la derivada: lim(h->0) [(f(x+h) - f(x)) / h]. Reemplazando f(x) por x^2, se obtiene lim(h->0) [((x+h)^2 - x^2) / h], que después de simplificar y aplicar el límite, da como resultado 2x.
¿Cómo se pueden utilizar las tablas de derivadas para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto específico de una función?
-Las tablas de derivadas son un compendio de fórmulas generalizadas para diferentes funciones y sus derivadas. Para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto específico, se identifica la función y su derivada en la tabla, y luego se evalúa la derivada en el valor de x correspondiente al punto de interés.
Outlines
📚 Introducción a las derivadas y conceptos básicos
El primer párrafo introduce el tema central del video, que es la derivada de una función. Se mencionan los objetivos del material didáctico digital y se enfatiza la importancia de la derivada en diversas áreas. Se repasan conceptos fundamentales como la recta secante y tangente, explicando que la secante intersecta un círculo en dos puntos, mientras que la tangente solo tiene un punto en común con él. Además, se describe la pendiente de una recta y cómo se calcula a partir de dos puntos, utilizando coordenadas y la fórmula de la pendiente.
🔍 Análisis de la pendiente de la recta tangente
Este párrafo se enfoca en cómo obtener la pendiente de una recta tangente, un problema que no se puede resolver directamente con la fórmula de pendiente de una recta secante ya que solo se conoce un punto. Se menciona la contribución de matemáticos griegos y destacados matemáticos del siglo 17, como Fermat, Descartes y Leibniz, en el desarrollo de un método para encontrar tangentes a una curva. Se ilustra cómo las rectas secantes pueden usarse para estimar la pendiente de una tangente, y se introduce la idea de aproximar la pendiente de la tangente a través del límite cuando el punto de la secante se acerca al punto de la tangente.
📈 Explicación matemática de la derivada
El tercer párrafo profundiza en la deducción matemática de la derivada. Se describe el proceso de aproximación de la pendiente de la recta tangente a través de la recta secante y cómo esta aproximación se convierte en la verdadera pendiente de la tangente al tomar límites. Se utiliza el concepto de límites para expresar matemáticamente la derivada como el límite de la diferencia entre el valor de la función en dos puntos cuando el incremento de x tiende a cero. Se simplifica algebraicamente la expresión para encontrar la derivada y se da un ejemplo práctico con la función f(x) = x^2, mostrando cómo se calcula su derivada y cómo se utiliza para encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto específico.
📘 Aplicaciones de las derivadas y resumen
El último párrafo del guion del video presenta una tabla de derivadas, que es un compendio de fórmulas generalizadas basadas en el análisis realizado. Se ilustra cómo se puede aplicar la derivada para obtener las pendientes de las rectas tangentes en diferentes puntos de la gráfica de una función, utilizando el ejemplo de la función f(x) = x^2 y su derivada 2x. Se resume la definición de la derivada según la Real Academia Española y se concluye con la esperanza de que el material haya sido útil para el espectador, prometiendo más demostraciones matemáticas en futuras sesiones.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Recta secante
💡Recta tangente
💡Pendiente
💡Límite
💡Incremento de x
💡Función
💡Cálculo diferencial
💡Leibniz
💡Tablas de derivadas
Highlights
El objetivo del material didáctico es demostrar la interpretación geométrica de la derivada de una función.
Se repasan conceptos básicos como la recta secante y la recta tangente en términos geométricos.
Se define la pendiente de una recta como un valor numérico que representa su inclinación.
Se explica cómo calcular la pendiente de una recta a partir de dos puntos.
Se plantea la dificultad de calcular la pendiente de una recta tangente a partir de un solo punto.
Se mencionan a los matemáticos griegos y su contribución al concepto de derivada hace más de 2000 años.
Se destaca a Pierre de Fermat, René Descartes y el matemático alemán Leibniz en el desarrollo del cálculo.
Leibniz propuso un método general para encontrar tangentes a una curva en 1684.
Se ilustra cómo las rectas secantes se aproximan a la recta tangente a medida que sus puntos se acercan.
Se establece la fórmula para estimar la pendiente de la recta tangente a partir de la recta secante.
Se introduce el concepto de límite en el cálculo de la derivada.
Se describe el proceso de aproximación de la recta secante a la tangente mediante el uso de límites.
Se define la derivada como el límite de la relación entre el incremento del valor de la función y el de la variable independiente cuando este tiende a cero.
Se muestra cómo calcular la derivada de una función específica, como la función f(x) = x^2.
Se demuestra que la derivada de f(x) = x^2 es 2x mediante el uso de límites.
Se presentan tablas de derivadas como un compendio de fórmulas generalizadas.
Se aplica la derivada para encontrar la pendiente de una recta tangente en un punto específico de la gráfica de una función.
Se resume la derivada como el valor límite de la relación entre el incremento de la función y la variable independiente, con implicaciones geométricas.
Transcripts
o las matemáticas sencillas aquí en este
vídeo mostraré uno de los temas más
importantes de las matemáticas me
refiero a la derivada de una función así
que el objetivo de este material
didáctico digital es demostrar la
interpretación geométrica del concepto
derivada de una función para la
resolución de problemas de diversas
áreas
antes de iniciar repasemos algunos
conceptos básicos que son necesarios
para entender lo que significa una
derivada y los primeros conceptos que
vamos a ver son la recta secante y la
recta tangente en términos geométricos
muy básicamente una recta secante es una
recta que intercepta a un círculo en dos
puntos mientras que una recta tangente
es una recta que tiene un punto en común
con un círculo
aplicando lo anterior en una función
tenemos lo siguiente tenemos ahí la
gráfica de una función localizada en su
plano cartesiano y trazamos una recta
secante que precisamente corta a la
curva de esa función en dos puntos
por lo que una recta tangente es aquella
en donde toca en un solo punto a la
curva de dicha función
sabemos que una de las características
principales de toda recta es su
pendiente que se representa generalmente
con la letra m minúscula en términos muy
simples la pendiente de una recta es un
valor numérico que representa la
inclinación de dicha recta
por lo que los puntos los localizamos
con las coordenadas x 1 y 1 para el
punto 1 y x2 coma de dos para el punto 2
observen que a localizar dichos puntos
en la recta se puede formar un triángulo
rectángulo imaginario con sus catetos
bien definidos en donde el cateto
adyacente bien puede ser representado
con x subíndice 2 - x subíndice 1 y el
cateto puesto es el subíndice 2 menos 10
subíndice 1 también es muy importante
recordar que para obtener el valor de la
pendiente basta con aplicar esta fórmula
que se muestra de que dos menos de uno
dividido entre x 2 menos x y claro
obtener la pendiente de una recta es muy
sencillo de obtener si se tienen dos
puntos sobre dicha red
de acuerdo a lo anterior la obtención de
la pendiente de una recta secante
localizado en la curva de una función es
justo como se muestra tenemos los dos
puntos ce que conforman la recta secante
y tenemos nuestra fórmula que
previamente vimos
sin embargo la pregunta es cómo obtener
análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conocemos un punto
como podrán recordar al localizar la
pendiente de la recta secante se cuentan
con dos puntos pero al tener solamente
uno no podemos aplicar nuestra sencilla
fórmula de la pendiente
esta cuestión se originó precisamente
con los matemáticos griegos hace más de
2000 años y fue nuevamente abordada en
el siglo 17 por varios matemáticos
ilustres entre los que se encuentran
pierre de fermat rené descartes y un
matemático alemán de apellido leyes
precisamente leibniz llamado por muchos
el padre del cálculo moderno en 1684
propuso un método general para encontrar
las tangentes a una curva a través de lo
que él llamó símbolo
veamos
recuerda que lo que se desea es conocer
un método para encontrar el valor de la
pendiente de una recta tangente
así que supongamos que deseamos conocer
la pendiente de la recta tangente en
azul y qué tiene en común con la curva
de la función en color rojo el punto x
igual av
observé que si trazamos diversas rectas
secantes podemos obtener una muy buena
estimación de la pendiente que
desconocemos
así que trazamos una recta secante en
azul con dos puntos x 1 y 1 y x2 de dos
y observa qué es lo que sucede en
relación a la pendiente de la recta
secante contra la pendiente de la recta
tangente
como se podrá observar cuando el punto x
22 se acerca cada vez más al punto x 1 y
1 recorriendo la curva de la función las
pendientes son más similares en su valor
así que volveremos a mostrar dicho
comportamiento y hagamos énfasis en cómo
van apareciendo se las pendientes al
momento de que desplazamos los puntos
particularmente el punto x dos dedos
sobre la curva de la función
no se podrá observar la inclinación de
la recta en azul va tendiendo a
parecerse a la pendiente de la recta
tangente que desconocemos
ahora cómo expresar el comportamiento
anterior en términos matemáticos esa es
la gran pregunta
así que vamos a establecer todos los
elementos que hasta este momento hemos
visto sabemos que podemos obtener una
buena estimación de la pendiente de la
recta tangente a partir de la
aproximación de la pendiente de una
recta secante
tenemos nuestra función y nuestra recta
da secante y claro aquí de manera
punteada la pendiente de la recta
tangente que queremos conocer
sabemos también que la pendiente de esta
recta secante en azul
está dada a partir de 2 de 1 / x 2 - x 1
así que procedemos a sustituir esta
fórmula
en esta sección y nos queda de la
siguiente manera la pendiente de la
recta tangente es igual a la
aproximación de esta pendiente de la
recta se carga
considerando por notación matemática que
conocida como la variable dependiente es
en realidad una función de la variable
independiente x
vamos a sustituir por conveniencia
matemática la notación de nuestra
fórmula así que en vez de utilizar aquí
de 2 menos de 1
vamos a utilizar su notación como
función de x así que nuestra fórmula nos
queda de la siguiente manera
efe evaluada en x 2 - efe evaluada en x1
dividido entre x2 x observen que
realmente son los mismos términos
solamente que expresados de manera
diferente es decir aparece claramente en
función de qué valor se encuentra dicho
término
ahora consideraremos convenientemente
también
en el triángulo rectángulo formado entre
estos dos puntos llamaremos a este
cateto incremento de x y como se puede
observar la longitud de dicho incremento
de x está dada a partir de x 2 - x 1 así
que nuestra fórmula sustituimos x2 menos
x 1 x incremento de x y nos queda de la
siguiente manera
ahora recordemos el comportamiento de
las rectas secantes y podemos ver que el
incremento de x tiende a disminuir cada
vez que el punto 2 se acerca al punto 1
sin llegar a ser dicho punto 1 así que
vamos a volver
a la sección en donde pudimos ver el
comportamiento de las rectas secantes
solo con la diferencia de que ahora para
efectos de ver cómo se comporta dicho
incremento de x se puede observar el
triángulo rectángulo imaginario así que
al momento de recorrer el punto sobre la
gráfica de la función se puede observar
que dicho incremento de x
cada vez va disminuyendo más es decir va
tendiendo a ser cero
claro no puede llegar a ser 0 el
incremento de x porque porque si no
tendríamos un solo punto y volveríamos a
nuestro problema inicial
continuando con la deducción de la
expresión matemática que representa la
derivada de una función podemos observar
que el punto x2 de 2 cada vez se
aproxima más al punto x 1 y 1 sin llegar
a tocarlo
también pudimos observar que conforme
sucede lo anterior el incremento de x
tiende a ser cero sin llegar a ser cero
por lo tanto aplicando la teoría sobre
límites matemáticos tenemos lo siguiente
la pendiente de la recta tangente es
igual al límite de la función evaluada
en x 2 - la función evaluada en x1 todo
dividido entre incremento de x cuando
dice incremento de x tiende a cero
finalmente con la intención de manejar
una sola variable independiente x
haremos lo siguiente
x2 es igual a x1 + incremento de x cabe
mencionar que dicha expresión proviene
del despeje matemático del término
incremento de x
perteneciente a nuestro triángulo
rectángulo imaginar
sustituyendo en la expresión nos queda
de la siguiente manera
observé que ya no tenemos x1 y x2 en
nuestro límite solamente una misma
variable independiente x1 es decir
podemos manejarla solamente como x
este límite nos permite encontrar las
pendientes de las diversas rectas
tangentes en la gráfica de una función
y este límite se le conoce comúnmente
como la derivada
misma que en honor a leibniz puede ser
representada así diferencial de i sobre
diferencial de x o téllez sobre de x por
su origen basado en incrementos
gracias a esta expresión matemática lo
siguiente adquiere mayor sentido si
tenemos una función definida porque es
igual a x al cuadrado entonces su
derivada es 12 x
y mediante esta función que se deriva de
la original podemos obtener las
pendientes de las rectas tangentes que
pertenecen a la función original
comprobemos lo anterior con una breve
práctica
procederemos a la aplicación del límite
deducido para obtener la derivada de la
función y es igual a x al cuadrado
recordando que la derivada es definida
por el siguiente límite
reemplazamos el término f evaluado en x
+ incremento de x y podemos observar lo
siguiente
efe evaluado en x + incremento de x es
sustituir este término en la función
original por lo que tenemos x +
incremento de x elevado al cuadrado
procediendo a sustituir tenemos lo
siguiente
observé que tenemos ambos términos ya
sustituidos
al desarrollar el binomio al cuadrado
presente tenemos
que el cuadrado del primero es x al
cuadrado más dos veces el primero por el
segundo dos veces x por incremento de x
más el cuadrado del segundo término
menos la función original fx que sigue
siendo x al cuadrado todo dividido entre
incremento de x cuando el incremento de
x tiende a cero
podemos observar que existe una
reducción de términos particularmente en
los elementos x al cuadrado así que nos
queda 2 x por incremento de x más
incremento de x elevado al cuadrado
antes de aplicar teoría más sobre
límites
seguiremos simplificando algebraica
mente de la siguiente manera
el término incremento de x puede ser
anulado de la siguiente manera
por lo que nuestro límite nos queda así
recuerde que de acuerdo a la teoría de
los límites aplicar el límite a la
sumatoria de funciones es equivalente a
aplicar el límite a cada uno de los
términos que componen la función
al evaluar dichos límites llegamos a la
conclusión
de que el límite de 2 x cuando
incremento de x tiende a cero es 2x ya
que aquí no está presente ningún
incremento de x y el límite del
incremento de x cuando dicho incremento
de x tiende a cero definitivamente es
cero lo que nos da como resultado que la
derivada de la función y es igual x al
cuadrado es 2x
y gracias a la evaluación de este límite
podemos generalizar su aplicación en
diversas funciones tal como se muestra
en la siguiente tabla
las famosas tablas de derivada
representan un compendio de fórmulas
generalizadas que se basan a partir de
un análisis similar como el ya mostrado
finalmente muy probablemente te
preguntes y como aplicó la derivada para
obtener las pendientes de las rectas
tangentes
veamos un ejemplo
tenemos la representación gráfica de la
función y es igual a x al cuadrado
la función que representa su derivada ya
vimos es 2x
supongo que deseamos conocer la
pendiente de la recta tangente mostrada
en azul
puedo observar que el valor de x en esa
recta tangente es igual a menos 1
al sustituir a la derivada dicho valor
de x nos da lo siguiente 2 por el valor
de x es 2 x menos 1 su resultado es
menos 2 y eso quiere decir que la
pendiente de esa recta tangente es
precisamente menos 2
de esta manera podemos obtener las
pendientes de diversas rectas tangentes
localizadas en la gráfica de una función
es decir de manera análoga podemos
localizar las diversas pendientes que
podemos encontrar en la curva de una
función tal como se muestra en la figura
localizar la pendiente de esta recta
tangente sería equivalente a sustituir
el menos 2 en la derivada
este sería sustituir el valor de 0 el
valor de 1 el valor de 2 etcétera
así que a manera de resumen podríamos
preguntarnos a esta altura que es una
derivada y una manera correcta de
contestarla sería la siguiente
de acuerdo a la real la academia
española es el valor límite de la
relación entre el incremento del valor
de una función y el incremento de la
variable independiente cuando éste
tiende a cero y claro también hemos
visto que geométricamente nos permite
calcular la pendiente de una recta
tangente a la gráfica de una función
esperando que este material haya sido de
provecho para ti nos vemos pronto para
otra demostración de matemáticas
sencillas
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