PERMUTASI & FAKTORIAL | Kelas 12

Cindy Sandova

21 Jan 202121:08

Summary

TLDRفي هذا الدرس، يتم شرح مفهوم الفاكتوريال والتباديل، وهما من المواضيع الهامة في الرياضيات للصف الثاني عشر. يبدأ الشرح بتوضيح الفاكتوريال وكيفية حسابه عبر أمثلة متعددة، مثل 7! و 5!. ثم يتم التطرق إلى التباديل بأنواعها، مثل التباديل العامة والتباديل التي تشمل عناصر مكررة. يتضمن الدرس أيضًا أمثلة تطبيقية حول كيفية حساب التباديل في سياقات مختلفة مثل ترتيب الحروف أو اختيار مرشحين لمناصب معينة. في النهاية، يتم تناول التباديل الدائرية مع أمثلة حول كيفية حسابها عندما تكون العناصر في ترتيب دائري.

Takeaways

😀 الفاكتوريال هو ضرب الأعداد الطبيعية من 1 إلى الرقم المحدد، مثل 7! يعني 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7.
😀 إذا كان هناك ضرب داخل قوسين قبل الفاكتوريال، يجب ضرب الأعداد داخل القوس أولاً ثم حساب الفاكتوريال.
😀 0! (صفر فاكتوريال) يعادل 1، وهذا من القواعد الأساسية في حساب الفاكتوريال.
😀 للتبسيط، يمكن تقليص الفاكتوريال عندما تكون هناك عوامل مشتركة بين البسط والمقام.
😀 في التباديل (Permutations)، يتم حساب ترتيب الكائنات مع مراعاة الترتيب باستخدام قاعدة P(n,r) = n! / (n-r)!.
😀 إذا كانت العناصر التي يتم ترتيبها متماثلة، يتم استخدام صيغة خاصة تأخذ ذلك في الاعتبار: P = n! / (p1! * p2! * ... * pk!).
😀 التباديل الدائرية (Circular Permutations) تحسب باستخدام الصيغة P_s = (n-1)!، حيث يتم تحديد الترتيب في دائرة.
😀 لتحديد عدد الترتيبات المختلفة لحروف كلمة مثل 'Melayu' التي تحتوي على حروف مكررة، نستخدم صيغة التباديل للعناصر المتشابهة.
😀 إذا كان هناك قيود على كيفية ترتيب العناصر، مثل أن بعض العناصر يجب أن تكون بجانب بعضها البعض، يجب حساب هذا بناءً على الشرط المحدد.
😀 التباديل الدائرية مع قيود (مثل وجود شخصين يجب أن يجلسا بجانب بعضهما البعض) تتطلب تعديل الحسابات لتعكس هذه القيود، مثل دمج العناصر الملتزمة في وحدة واحدة.

Q & A

ما هو العامل (الفاكتوريال) وكيف يتم حسابه؟
-العامل (الفاكتوريال) هو ضرب الأعداد الطبيعية المتتالية بدءًا من 1 حتى الرقم المحدد. على سبيل المثال، 7! يعني ضرب الأعداد من 1 إلى 7: 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7.
كيف يمكن تبسيط العمليات التي تحتوي على عامل (فاكتوريال)؟
-لتبسيط العمليات التي تحتوي على عامل فاكتوريال، يمكننا حذف العوامل المشتركة بين الأعداد في البسط والمقام. على سبيل المثال، عند قسمة 8! على 4!، يمكننا إلغاء 4! من البسط والمقام.
ماذا يعني العامل صفر (0!)؟
-العامل صفر (0!) يعادل 1، وهذا هو تعريف ثابت في الرياضيات.
ما هو مفهوم التبديل (البرموتاسيون) في الرياضيات؟
-التبديل هو ترتيب العناصر مع مراعاة ترتيبها. يُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب مجموعة من العناصر.
ما هو قانون التبديل العام (Pnr)؟
-قانون التبديل العام هو Pnr = n! / (n - r)! حيث n هو عدد العناصر المتاحة و r هو عدد العناصر المطلوبة.
ما الفرق بين التبديل العام والتبديل مع تكرار العناصر؟
-في التبديل مع تكرار العناصر، نستخدم القانون P = n! / (p1! * p2! * ... * pk!) حيث نأخذ في الاعتبار التكرار بين العناصر المتشابهة.
كيف يمكن حساب عدد الترتيبات الممكنة للكلمة 'ملايو' باستخدام التبديل؟
-لكلمة 'ملايو' التي تحتوي على 6 أحرف مختلفة، نستخدم قانون التبديل العام P = 6! = 720 ترتيبًا ممكنًا.
كيف يمكن حساب التبديلات الممكنة عندما يكون لدينا 5 طلاب في صف؟
-لحساب عدد التبديلات الممكنة لـ 5 طلاب في صف، نستخدم قانون التبديل العام P = 5! = 120 ترتيبًا ممكنًا.
كيف نحدد عدد التبديلات الممكنة عندما لا يتم تكرار الأرقام؟
-في هذه الحالة، نستخدم قانون التبديل العام P = n! / (n - r)! كما في حالة ترتيب الأرقام من 1 إلى 6 باستخدام 4 أرقام، فإن الجواب سيكون 6! / 2!.
ما هو التبديل الدائري (البرموتاسيون السايكلي) وكيف يتم حسابه؟
-التبديل الدائري هو الترتيب حيث يتم ترتيب العناصر في دائرة (دون اعتبار التدوير). يُحسب باستخدام P = (n - 1)!. على سبيل المثال، لعدد 6 أفراد يجلسون حول طاولة دائرية، يكون عدد الطرق الممكنة هو 5! = 120.