mecanique des solides deformables-tenseur de contraintes

Summary

Ce script explore les principes fondamentaux de la mécanique, notamment la manière dont les forces externes, comme la gravité et les forces électromagnétiques, agissent sur un domaine physique. L'accent est mis sur la représentation des contraintes à l'aide de tenseurs de contraintes, permettant de décrire l'état de stress dans un matériau. En combinant la notion de forces réparties et de postulat de Cauchy, il est possible d'analyser les forces sur des éléments infinitésimaux. Ce processus aboutit à une compréhension approfondie de l'équilibre mécanique, essentielle dans les applications de la mécanique des solides.

Takeaways

• 😀 Le principe fondamental de la mécanique s'applique localement à chaque point du domaine d'étude.
• 😀 Il existe deux types d'efforts : ceux répartis dans le volume (comme la pesanteur ou les forces électromagnétiques) et ceux appliqués sur la surface du domaine (comme la pression ou les efforts dus aux liaisons cinématiques).
• 😀 Les efforts externes sur un domaine peuvent être représentés par une densité massique d'efforts (f2m) ou une densité surfacique d'efforts (q2m).
• 😀 Le principe des actions mutuelles stipule que les efforts exercés par une partie sur une autre sont opposés en direction et égaux en grandeur.
• 😀 Le vecteur contrainte est défini comme la force par unité de surface appliquée à un domaine, et il peut être décomposé en une composante normale et une composante tangentielle (cisaillement).
• 😀 Une contrainte normale positive indique un état de traction, tandis qu'une contrainte normale négative indique un état de compression dans le matériau.
• 😀 Les contraintes sont exprimées en Pascals ou plus couramment en mégapascals (MPa).
• 😀 Pour étudier l'état de contraintes dans un domaine, il est nécessaire de couper ce domaine selon différents plans, ce qui révèle différentes composantes du vecteur contrainte.
• 😀 Le principe de Cauchy permet de définir les contraintes normales et tangentielles en fonction de la surface et de la normale au plan de coupe.
• 😀 Les vecteurs contraintes peuvent être calculés dans n'importe quelle direction en utilisant des relations matricielles, ce qui permet d'obtenir une formulation tensorielle des contraintes.
• 😀 L'application du théorème de la divergence permet de relier les forces de surface aux forces volumiques, simplifiant ainsi les calculs dans les domaines infinitésimaux.

Q & A

Quels sont les deux types d'efforts exercés par l'extérieur sur le domaine d'études ?

Il existe deux types d'efforts : les efforts répartis dans le volume, comme la pesanteur ou les forces électromagnétiques, et les efforts répartis sur la surface délimitant le domaine, tels que la pression du fluide ou les efforts dus aux liaisons cinématiques.

Qu'est-ce que le postulat de Cauchy dans le contexte de la mécanique ?

Le postulat de Cauchy stipule que la contrainte sur un domaine est représentée par un vecteur contrainte, qui est défini en chaque point par une densité surfacique de force, orientée suivant la normale à la surface de coupe.

Comment peut-on définir la contrainte normale et la contrainte tangentielle ?

La contrainte normale est la projection du vecteur contrainte sur la direction normale à la surface, tandis que la contrainte tangentielle (ou contrainte de cisaillement) est la projection du vecteur contrainte dans le plan de la surface.

Pourquoi faut-il envisager des forces exercées par la partie enlevée sur la partie restante lors de l'isolation d'une partie du domaine ?

Lorsqu'on isole une partie d'un domaine, les seuls efforts précédemment considérés ne suffisent pas à respecter le principe fondamental de la mécanique. Il est nécessaire d'inclure les efforts exercés par la partie enlevée sur la partie restante, représentés par des actions de surface.

Quelle est la relation entre les vecteurs contraintes et les plans de coupe dans un domaine ?

Il existe une infinité de vecteurs contraintes correspondant à différents plans de coupe dans le domaine. Chaque plan de coupe est associé à un vecteur contrainte, et ces vecteurs sont orientés suivant la normale du plan de séparation entre les deux parties du domaine.

Comment peut-on obtenir les composantes du vecteur contrainte sur un élément de surface ?

Les composantes du vecteur contrainte sont obtenues en projetant le vecteur contrainte sur les trois axes d'une base orthonormée, ce qui permet de représenter le vecteur contrainte sur chacune des faces de l'élément de surface.

Qu'est-ce que la notion de tenseur de contraintes et comment est-elle utilisée ?

Le tenseur de contraintes est une matrice qui permet de représenter l'état de contrainte en chaque point du domaine. Il est utilisé pour calculer les composantes du vecteur contrainte dans n'importe quelle direction d'un système de coordonnées cartésien.

Quelles propriétés du tenseur de contraintes sont explorées dans le cadre du principe fondamental de la mécanique ?

Les propriétés du tenseur de contraintes incluent la manière dont il décrit l'état de contrainte et de déformation dans le domaine, et son utilisation pour résoudre les équations d'équilibre dans un système mécanique.

Qu'est-ce que la déformation et comment est-elle reliée à l'état de contraintes ?

La déformation représente les changements dans la forme ou la taille d'un objet sous l'effet de contraintes. Tout comme les contraintes, elle est décrite par un tenseur et est liée à l'état de contrainte par des relations matricielles.

Pourquoi les contributions de volume sont négligées dans les expressions du principe fondamental de la mécanique ?

Les contributions de volume sont négligées car elles sont d'un ordre supérieur par rapport aux contributions surfaciques dans un domaine infinitésimal. Ainsi, seules les forces de surface sont prises en compte pour les calculs d'équilibre dans ce cadre.