0625 Distribución binomial

Summary

يشرح النص توزيع بواسون باستخدام توزيع ثنائي الحدين ويعرض كيفية حساب احتمالات النجاح في سلسلة من التجارب المستقلة باستخدام دالة الاحتمال الثنائية. يتم توضيح طريقة حساب التوقع والانحراف المعياري باستخدام التوزيع الثنائي الحدين. يتناول النص أيضًا حساب دوال التوليد الاحتمالية ودوال التوليد اللحظية بالإضافة إلى تطبيق عملي يتعلق باحتمال وجود عيب في عينة مأخوذة من مجموعة من المنتجات. مثال حسابي يظهر كيفية استخدام هذا التوزيع لحساب احتمالية ظهور عنصر معيب في عينة من خمسة عناصر.

Takeaways

• 😀 التوزيع الثنائي يصف نتائج سلسلة من التجارب المستقلة، حيث يكون لكل تجربة احتمال نجاح p.
• 😀 المتغير العشوائي X يمثل عدد النجاحات في n تجارب بيرنولي مستقلة.
• 😀 دالة الاحتمال للمتغير العشوائي X هي دالة ذات شكل رياضي يعتمد على التوزيع الثنائي.
• 😀 يمكن حساب احتمالية الحصول على x نجاحات باستخدام دالة الاحتمال: P(X=x) = (n اختر x) * p^x * (1-p)^(n-x).
• 😀 التوزيع الثنائي يحقق الشروط التي تجعله دالة احتمال صحيحة، مثل أن جميع الاحتمالات غير سلبية ومجموعها يساوي 1.
• 😀 التوزيع الثنائي له قيمة متوقعة (متوسط) تساوي n * p.
• 😀 التباين (الفرق المربع) في التوزيع الثنائي هو np * (1-p).
• 😀 لا توجد صيغة مختصرة لدالة التوزيع التراكمي (CDF) للتوزيع الثنائي، ولذلك تُترك بصيغتها الأصلية.
• 😀 يمكن حساب القيمة المتوقعة للتوزيع الثنائي من خلال جمع الاحتمالات باستخدام معادلة تعتمد على التوزيع الثنائي.
• 😀 التوزيع الثنائي يمكن تمثيله كمجموع لعدد n من المتغيرات العشوائية المستقلة، كل واحدة منها تتبع توزيع بيرنولي.
• 😀 يمكن استخدام التوزيع الثنائي في حالات عملية مثل حساب احتمالية ظهور عنصر معيّن في عينة عشوائية، كما في المثال الذي يوضح احتمال وجود منتج معيب في عينة من المنتجات.

Q & A

ما هي التوزيع الثنائي؟

التوزيع الثنائي هو توزيع احتمالي يستخدم لتحديد عدد النجاحات في سلسلة من التجارب المستقلة التي كل واحدة منها لها احتمال ثابت للنجاح. يتم استخدامه في حالات مثل اختبار النجاح أو الفشل في سلسلة من التجارب.

ما هي معادلة الدالة الاحتمالية للتوزيع الثنائي؟

الدالة الاحتمالية للتوزيع الثنائي هي: P(X = x) = (n choose x) * p^x * (1-p)^(n-x) حيث X هو عدد النجاحات، n هو عدد التجارب، و p هو احتمال النجاح في كل تجربة.

كيف يتم حساب المتوسط للتوزيع الثنائي؟

المتوسط أو التوقع الرياضي للتوزيع الثنائي يتم حسابه باستخدام الصيغة: E(X) = n * p حيث n هو عدد التجارب و p هو احتمال النجاح في كل تجربة.

ما هي التباين للتوزيع الثنائي؟

التباين للتوزيع الثنائي يتم حسابه باستخدام الصيغة: Var(X) = n * p * (1 - p) حيث n هو عدد التجارب و p هو احتمال النجاح في كل تجربة.

كيف يتم حساب احتمال أن يكون عدد النجاحات أقل من x في توزيع ثنائي؟

لحساب احتمال أن يكون عدد النجاحات أقل من x في توزيع ثنائي، يمكن استخدام دالة التوزيع التراكمي التي تجمع الاحتمالات من 0 إلى x.

ما هي دالة التوزيع التراكمي في التوزيع الثنائي؟

دالة التوزيع التراكمي في التوزيع الثنائي هي مجموع الاحتمالات من 0 إلى x، وتعطى بواسطة: F(x) = Σ P(X = k) من k = 0 إلى x.

كيف يتم حساب دالة التوليد الاحتمالي للتوزيع الثنائي؟

دالة التوليد الاحتمالي للتوزيع الثنائي هي: G(t) = (1 - p + p * t)^n حيث p هو احتمال النجاح و n هو عدد التجارب.

ما هو المثال الذي تم شرحه في الفيديو؟

في المثال الذي تم شرحه في الفيديو، يتم أخذ عينة عشوائية من 5 عناصر من أصل 100، حيث 7% من العناصر معيبة. السؤال هو حساب احتمال وجود عنصر معيب واحد على الأقل في العينة.

كيف يمكن حساب احتمال أن تحتوي العينة على عنصر معيب واحد على الأقل؟

لحساب هذا الاحتمال، يمكن استخدام المكمل، أي حساب 1 - P(X = 0) حيث X هو عدد العناصر المعيبة في العينة.

كيف يتم حساب احتمال أن X تكون 0 في المثال المذكور؟

لحساب P(X = 0)، نستخدم الصيغة: P(X = 0) = (5 choose 0) * p^0 * (1-p)^5، حيث p هو احتمال أن يكون العنصر معيبًا (0.07) و (1-p) هو احتمال أن العنصر غير معيب.