Clase 15 Álgebra Lineal. Transformaciones Lineales - Introducción
Summary
TLDREl script proporciona una introducción detallada a las transformaciones lineales, que son funciones que mapean vectores de un espacio vectorial a otro. Se define el dominio y el co-dominio de la transformación, y se ilustra cómo estas operan en espacios vectoriales como R2. Se describe la regla de correspondencia para la transformación, mostrando cómo se aplican a vectores específicos y cómo transformar conjuntos, como una circunferencia, en otros formas, como una elipse. Además, se discuten las propiedades fundamentales que hacen que una transformación sea lineal: la superposición y la homogeneidad. Estas propiedades son cruciales para la comprensión de conceptos más complejos en álgebra lineal y para aplicaciones prácticas, como la animación por computadora.
Takeaways
- 📐 Una transformación lineal es una función que mapea vectores de un espacio vectorial a otro espacio vectorial.
- 📍 El dominio de la transformación es el espacio vectorial de origen, mientras que el co-dominio es el espacio vectorial de destino.
- 🔍 Se define una regla de correspondencia para la transformación lineal, que especifica cómo se transforman los vectores del dominio.
- 🧮 La transformación lineal puede involucrar operaciones como sumar o multiplicar componentes de vectores por escalares.
- 🔑 Las transformaciones lineales son importantes en la animación por computadora, donde se utilizan para manipular puntos y regiones de una escena.
- 📉 La aplicación de una transformación lineal a vectores específicos puede resultar en vectores transformados en el espacio vectorial de destino.
- 🔄 Las transformaciones lineales también se pueden aplicar a conjuntos de puntos, como una circunferencia, lo que resulta en una transformación del conjunto completo.
- ⭕ Al aplicar una transformación lineal a una circunferencia, se obtiene una elipse, mostrando cómo las transformaciones pueden alterar las formas geométricas.
- 📏 Las características de la elipse resultante, como los semiejes mayores y menores, dependen de los coeficientes en la regla de correspondencia de la transformación.
- 🔍 Para que una transformación sea lineal, debe cumplir con las propiedades de superposición y homogeneidad.
- 🔗 La superposición asegura que la transformación de una suma de vectores sea igual a la suma de las transformaciones de cada vector individual.
- 📈 La homogeneidad establece que la transformación de un escalar multiplicado por un vector es igual a escalar multiplicando la transformación del vector.
Q & A
¿Qué es una transformación lineal?
-Una transformación lineal es una función que lleva de un espacio vectorial a otro, cumpliendo con dos propiedades fundamentales: la superposición y la homogeneidad.
¿Cuál es la propiedad de superposición en las transformaciones lineales?
-La propiedad de superposición establece que la transformación aplicada a la suma de dos vectores es igual a la suma de las transformaciones de cada vector por separado.
¿Cómo se define la propiedad de homogeneidad en las transformaciones lineales?
-La propiedad de homogeneidad indica que la transformación aplicada a la multiplicación de un escalar por un vector es igual a la multiplicación de ese escalar por la transformación del vector.
¿Cómo se representa gráficamente una transformación lineal?
-Gráficamente, una transformación lineal se representa como una función que conecta dos espacios vectoriales, donde los vectores de un espacio se transforman en vectores pertenecientes a otro espacio vectorial.
¿Qué es el dominio y el co-dominio de una transformación lineal?
-El dominio de una transformación lineal es el espacio vectorial de origen, y el co-dominio, también llamado imagen, es el espacio vectorial de destino al cual se dirigen los vectores tras la transformación.
¿Cómo se define una regla de correspondencia en una transformación lineal?
-Una regla de correspondencia en una transformación lineal es la fórmula o conjunto de instrucciones que define cómo cada componente de un vector del dominio se transforma para dar lugar a un vector en el co-dominio.
¿Cómo se calcula la transformación de un vector utilizando una regla de correspondencia?
-Para calcular la transformación de un vector, se sustituyen los valores de las componentes del vector en la regla de correspondencia, y se realiza el cálculo según la fórmula proporcionada.
¿Por qué son útiles las transformaciones lineales en la animación por computadora?
-Las transformaciones lineales son útiles en la animación por computadora porque permiten manipular objetos y figuras de manera sencilla y coherente, creando efectos como rotaciones, traslaciones y escalas en los modelos gráficos.
¿Cómo se transforma una circunferencia al aplicarle una transformación lineal?
-Al aplicar una transformación lineal a una circunferencia, generalmente se transforma en una elipse, con semiejes mayores y menores que dependen de los coeficientes de la transformación.
¿Cómo se determina el tipo de elipse que resulta de aplicar una transformación lineal a una circunferencia?
-Se determina el tipo de elipse a partir de los coeficientes de la transformación lineal, que definen los semiejes mayores y menores de la elipse resultante.
¿Cómo se relaciona una transformación lineal con un isomorfismo?
-Un isomorfismo es un caso particular de una transformación lineal que también cumple con las propiedades de superposición y homogeneidad, pero además preserva la estructura del espacio vectorial, es decir, mapea vectores linearmente independientes en vectores también linearmente independientes.
Outlines
📐 Introducción a las Transformaciones Lineales
Este párrafo inicia discutiendo la definición de una transformación lineal, que es una función que lleva de un espacio vectorial a otro. Se describe que estas transformaciones generalmente involucran el movimiento entre espacios vectoriales y cómo se representan gráficamente. Además, se menciona un ejemplo específico de transformación de R² a R², y cómo se aplica a vectores para producir vectores en el espacio de destino. Se destaca la regla de correspondencia para la transformación y cómo se utiliza para transformar vectores dados.
🔍 Aplicaciones de las Transformaciones Lineales
En este párrafo se exploran las aplicaciones prácticas de las transformaciones lineales, destacando su importancia en la animación por computadora. Se describen los pasos para aplicar una transformación a un conjunto de vectores y se muestra cómo graficar los resultados en un plano cartesiano. Se ilustra cómo una transformación puede alterar la orientación y la posición de los vectores. Además, se presenta un ejercicio para aplicar una transformación a una región definida por una circunferencia y se discute cómo esta transformación afecta la forma general de la región.
🤔 Ejemplo de Transformación de una Circunferencia en una Elipse
Este párrafo se enfoca en el proceso de aplicar una transformación lineal a una circunferencia centrada en el origen con radio uno. Se describe el resultado de aplicar la transformación a cada punto de la circunferencia y cómo esto altera la geometría del conjunto resultante. Se utiliza un ejemplo específico para demostrar cómo los coeficientes de la regla de correspondencia de la transformación afectan la forma de la elipse resultante, y se discute cómo los cambios en estos coeficientes pueden producir elipses de diferentes proporciones.
📘 Propiedades de las Transformaciones Lineales
En el último párrafo se definen las propiedades que hacen a una transformación lineal: la superposición y la homogeneidad. Se explica que la superposición implica que la transformación de una suma de vectores es igual a la suma de las transformaciones de cada vector individual. La homogeneidad se refiere a la propiedad de que la transformación de un escalar multiplicado por un vector es igual a dicho escalar multiplicando la transformación del vector. Además, se menciona que las transformaciones lineales son un caso particular de isomorfismos, que son funciones que preservan las estructuras algebraicas de los espacios vectoriales.
Mindmap
Keywords
💡Transformación lineal
💡Dominio
💡Codominio
💡Regla de correspondencia
💡Superposición
💡Homogeneidad
💡Escalar
💡Vector
💡Espacio vectorial
💡Polinomios de grado 2
💡Ánimaición por computadora
Highlights
Definición de una transformación lineal como una función que lleva de un espacio vectorial a otro.
El dominio y el co-dominio de la transformación son espacios vectoriales que representan el origen y el destino de los vectores.
Representación gráfica de la transformación lineal donde los vectores de un espacio son transformados a vectores de otro espacio.
Ejemplo práctico de una transformación lineal que mapea vectores de R^2 a otros vectores de R^2.
Proceso de sustitución en la regla de correspondencia para encontrar la transformación de un vector específico.
Aplicación de una transformación lineal a vectores para obtener resultados en un espacio vectorial distinto, como de R^2 a polinomios de grado 2.
Importancia de las transformaciones lineales en la animación por computadora.
Ejercicio que muestra la aplicación de una transformación lineal a múltiples vectores y su representación gráfica.
La transformación lineal que inclina un vector sin desplazarlo, representada mediante una ecuación.
La transformación de una circunferencia en un conjunto de vectores que satisfacen una ecuación de elipse.
Ecuación geométrica resultante de aplicar una transformación lineal a una circunferencia, mostrando una elipse con semiejes principales específicos.
La influencia de los coeficientes en la regla de correspondencia de la transformación en la forma final de una elipse.
Explicación de las propiedades de superposición y homogeneidad que definen una transformación lineal.
Relación entre las transformaciones lineales y los isomorfismos, siendo estos un caso particular.
Importancia de cumplir con las propiedades de superposición y homogeneidad para clasificar una transformación como lineal.
Transcripts
comenzamos con el tema tres
transformaciones lineales hoy vamos a
definir qué es una transformación que es
el dominio y el condominio de dicha
transformación en realidad esto ya luego
ya lo saben manuel que ya lo saben pero
pero no se han dado cuenta una
transformación lineal es una función que
me va a llevar de un espacio vectorial
lugar a un espacio vectorial w decir
vamos a estar saltando ahí entre
espacios vectoriales normalmente
definimos como sí wv son espacios
vectoriales una función de fíjense la
nomenclatura de que va de v wv reciba el
nombre de transformación los espacios w
respectivamente dominio ic o dominio de
la transformación entonces lo
representamos así la transformación que
es una función
el dominio de la transformación que es
el espacio vectorial de origen y el co
dominio de la transformación que sería
el espacio vectorial de destino
gráficamente lo podemos ver de la
siguiente manera
tenemos un espacio vectorial ub y dentro
de este espacio vectorial v se
encuentran o viven los vectores google
aquí está y tenemos acá un espacio
vectorial w que vamos a conectarlo con
el espacio vectorial v a través de una
transformación sí o sea que la
transformación aplicada a estos vectores
v me va a dar como resultado vectores
que pertenecen ahora al espacio
vectorial w vectores w y lo leemos la
siguiente manera el vector v bajó de
transformación t se convierte en el
vector veámoslo con en este ejemplo
tenemos una transformación que va de r2
a r2 también aquí no les dije que no
necesariamente los espacios vectoriales
van a ser distintos tenemos por ejemplo
este caso donde el cono me el dominio es
el mismo que el condominio entonces
también se pueden no pasa nada
para definir una transformación
requerimos de una regla de
correspondencia en este caso sería de
este estilo para la transformación
aplicada a un vector de r 2x como ayer
me da como resultado otro vector de r 2
pero de la forma x + dosier coma menos x
menos jr que está haciendo esta
transformación tomar la componente x y
la coloca aquí y luego le suma dos veces
la componente ayer coma menos la primera
componente - la segunda componente eso
es lo que haría esta regla de
correspondencia de la transformación
vamos a obtener la transformación de
estos vectores y 12 menos 1 1 y 0 y 0 y
pues ya bien fácil no nada más hay que
sustituir el valor de x y de jr en la
regla de correspondencia de la
transformación
por ejemplo para esta primera
transformación cuanto vale x 11
entonces nada más sustituimos aquí en el
resultado y nos quedaría el resultado
uno más dos por dos coma menos 1 - 2 es
decir nos quedarían cinco como menos
tres y ya esa es la transformación del
vector 12 aplicando tg
luego te dé menos 11 directamente me
pueden decir cuál sería el resultado no
1,0 no baja 10 bueno si no lo ven le
escribo todavía este procedimiento aquí
aquí es vale menos 1 y llevarle 1
entonces nos quedaría menos uno más dos
por uno dos por coma menos -1 cosa 1 - 1
igual a 10
y finalmente de 0,0 este día
así es listo ya saben transformaciones
lineales tan
ejercicio 2 aquí mi transformación ya no
va a ser mismo dominio que co dominio la
transformación me va a llevar de
vectores de r2
a polinomios de grado 2 y la regla de
correspondencia nos dice que trabaje con
las componentes de este vector de dedos
y las coloque el no haberlo del
polinomio de grado menor o igual a 2 y
con coeficientes complejos en este caso
no si lo ven aquí está por ti por ti y
por ti pero es lo mismo nada más hay que
ir sustituyendo a y b nos piden la
imagen de dos comas -1 y de 0,3
me acuerdo que la transformación y nada
más es ir siguiendo su regla de
correspondencia por ejemplo para el caso
de la transformación de dos menos uno
aquí es igual a 2 y b es igual a menos 1
nos quedaría entonces 2 más menos 1 por
y por x cuadrada más 3 por 2 por y
porque x más
- 12
y trabajamos de expresión nos quedaría 2
menos y por x cuadrada más 6 y x + menos
112
si esto no sea la transformación del
primer vector ahora el segundo vector
vale 0 y b es igual a 3
entonces nos quedaría 0 3 por iu por
equis cuadradas más tres por a pero a
vale cero entonces este término sería
cero luego más ven más dos y es decir
tres y por equis cuadrada más tres más
dos y listo
ahora vamos a hacer este ejercicio es
repetir lo mismo pero lo que quiero que
veamos al final de este ejercicio es
para qué sirven las transformaciones una
de las muchas aplicaciones nada más
entonces vamos a aplicar esta
transformación y la vamos a estar
utilizando bastante está esta
transformación en particular que nos
dicen que es la transformación aplicada
un vector x como ayer es igual a x +
punto 5 ayer como llegué de dónde a
dónde va la transformación quién sería
el dominio r 2 y el condominio también
claro también es r 2 me da como
resultado un vector de drd2 dos
componentes
y vamos a aplicar esta transformación a
todos estos vectores estos 10 vectores y
vamos un poquito rápido aquí la
transformación de 0,4 puntos 5 cuánto da
ahora la transformación de 0.5 4
- 0.54 1.54
gracias
transformación de 0 3.5
si se entiende que estamos haciendo
entonces aquí para por la cuestión del
tiempo ya les voy a dar los resultados
de las transformaciones que faltan
listo ya tenemos todas las
transformaciones ahora voy a graficar
los vectores originales estos vectores a
los cuales le aplique la transformación
y los voy a ubicar
en un plano cartesiano y luego voy a
unir los puntos convenientemente nos
quedaría esto que le va a pasar al
monito una vez que aplicamos la
transformación
miren la transformación me dice la
transformación que tome a la componente
en x y le sume la mitad de ella y que la
deje la deja igualita su modelo derecho
se va no se va a desplazar pero si se va
a inclinar ok esto es lo que tendríamos
de resultado una vez aplicada la
transformación super tirando bueno eso
utilizamos haya voy así cómo lo ven
rústico es la base de la animación por
computadora para eso se utilizan las
transformaciones si obviamente ya no así
pues algo se empieza esa es la base de
la animación por computadora
bien seguimos practicando ahorita vamos
a hacer este ejercicio que nos va a dar
también una mejor idea de cómo se cómo
se aplican las transformaciones ya no a
puntos en particular sino a regiones y
por ejemplo se nos pide aplicar esta
transformación que va de r2 a r2 con
esta regla de correspondencia ya no a un
punto en particular sino a una región a
un conjunto ese conjunto está definido
como x como ayer tal que x cuadrada
mayor cuadrada igual a 1 esta ecuación
que me representa
así es representa a una circunferencia a
la cual le vamos a aplicar
esta transformación y observaremos en
qué se convierte la circunferencia una
vez aplicada la transformación ya no
punto por punto de la circunferencia
sino en general tenemos entonces al
conjunto ese que define a una
circunferencia con centro en el origen y
radio igual a uno y eso lo sabemos de
observar la ecuación
es el espacio geométrico definido por la
ecuación x cuadrada más de cuadrada
igual a un radio igual a 1 centro en el
origen vamos a aplicarle la
transformación a cada uno de estos
puntos de la circunferencia por ejemplo
si tomamos el punto de x con mayer
aplicamos la transformación y
obtendríamos otro punto no
necesariamente este pero aquí coloque un
punto hay arbitrario que va a ser ya no
x como ayer sino ahora como a ver un
punto diferente después de aplicar la
transformación esto me lo den de x como
ayer es igual a como b y la regla de
correspondencia que nos dieron en el
enunciado nos dice que la transformación
a su vez es 3 quiere tomar 2x entonces
voy a sustituir de x
según la regla de correspondencia estrés
el coma
2x ahora 7x mayer es igual a como b pero
también es igual a 3,2 x x transitividad
estos dos también los podemos igualar a
como ven es igual a 3,2 x ahora por
igualdad de vectores entre dos sabemos
que tres es igual a quien a y 2 x igual
a ver
si despejamos a tanto a equis como ayer
ya nos quedaría igual a para tercios y
equis sería igual
de medios
ahora vamos a sustituir estos nuevos
valores ya transformados de xy ya en la
ecuación de la circunferencia x cuadrada
madre cuadrada igual a 1 pero ahora en
lugar de x colocó de medios todo al
cuadrado y en lugar de le colocó a
tercios todo al cuadrado y eso es igual
con 1 si trabajamos un poquito en esa
expresión nos quedaría b cuadrada entre
4 más a cuadrado entre 9 ok voy a
invertir la posición para que nos quede
primero
y luego ver eso igual a uno que lugar
geométrico me representa esta ecuación
una elipse verdad en el ipsa que vemos
qué característica ciones elipse 'te voy
a reescribir esta ecuación
para que yo sé que les gusta más ver las
ecuaciones con xy ya que con aire
entonces nada más voy a cambiar las
variables me va a quedar x cuadradas
entre 9 más y cuadrada entre 4 igual a 1
y si ya se ve clarito en que se trata de
una elipse de qué tipo de elipse vamos a
tener el ipp se concentró en el origen
semieje mayor 3 y semieje menor 2 de
dónde salen esos semiejes recordemos no
voy a regresar a la ecuación el semieje
mayor sale de aquí no este es algo el
semieje al cuadrado entonces sería 3 y
el semieje menor sería 2 significa que
al haber aplicado la transformación a la
circunferencia a todos los puntos de la
circunferencia el resultado sería éste
aquí está que ésta elipse con su semi
eje mayor igual a 3 123 mis menor
igualados 12
por lo tanto la transformación del
conjunto s de la circunferencia se
convierte ahora en en vectores en un
conjunto de vectores de r2 tales que se
cumpla esta ecuación de la elipse y aquí
podemos jugarnos en este caso nos queda
una elipse con estas características
pero si quisiéramos por ejemplo una
elipse más alargada
y tendríamos que cambiar aquí la regla
de correspondencia de la transformación
esta es la regla de correspondencia
original pero si queremos una elipse más
alargada habrá que cambiar este
coeficiente el coeficiente que se
multiplica en la primera componente en
lugar de tres podemos poner por ejemplo
9 y ya me quedaría un semieje mayor de 9
en lugar de atrás o si quisiéramos una
elipse vertical como tendríamos que
hacerles aquí tendríamos que darle un
valor más grande al de la segunda
componente que el de la primera
componente aquí ya las coloque como
parámetros acá y ha hecho si acá debería
de ser menor que h subtema 3.2
definición de transformación lineal
hasta ahorita vimos qué cosa es una
transformación ahorita vamos a ver qué
hace que una transformación sea lineal
que es el tema que nos que nos va a
interesar a nosotros una transformación
lineal es una transformación que cumple
con dos características o propiedades
que se llaman superposición y
homogeneidad en qué consiste la
superposición dije eso y tenemos una
transformación aplicada a la suma de dos
vectores es lo mismo que aplicar la
transformación por separado a uno de los
vectores más la transformación del
segundo vector y esta era propiedad de
superposición y la homogeneidad nos dice
que la transformación aplicada a la
multiplicación de un escalar por un
vector es exactamente igual que la
escala multiplicando a la transformación
del vector esa propiedad se llama
homogeneidad ya se acordaron
exactamente es prácticamente igual del
inhfa lo que vimos de isomorfismo de
hecho los isomorfismo son un caso
particular de las transformaciones
lineales las transformaciones ya es más
general pero se cumplen se deben cumplir
en las dos propiedades superposición y
homogeneidad para hablar de que la
transformación es lineal
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