Imagen, kernel (o espacio nulo), rango, nulidad, espacio columna y espacio fila de una matriz.

Integrando

13 Jul 202315:59

Summary

TLDRفي هذا الفيديو، يتم شرح مفاهيم أساسية في الجبر الخطي مثل الفضاء الصفري (النواة)، والرتبة، والصورة (الفضاء العامودي)، والفضاء الصفّي لمصفوفة. يتناول الشرح كيفية حساب هذه المكونات عبر تقليص المصفوفة باستخدام العمليات الأولية. كما يتم توضيح طريقة حساب الفضاء الصفري من خلال حل النظام المتجانس، وحساب الصورة باستخدام الأعمدة ذات المحاور في المصفوفة المخفضة، وأيضاً كيفية حساب الرتبة والفضاء الصفّي بناءً على الصفوف ذات المحاور. الفيديو يختتم بتوضيح النظرية الأساسية للجبر الخطي التي تربط بين الرتبة والفضاء الصفري.

Takeaways

😀 الفضاء الصفري (النواة) يتكون من جميع المتجهات التي عند ضربها في المصفوفة تعطينا المتجه الصفري.
😀 النوليدية هي بعد الفضاء الصفري، أي عدد المتجهات في قاعدة الفضاء الصفري.
😀 الصورة (أو الفضاء العمودي) هي مجموعة المتجهات التي يمكن تمثيلها كـ Ax لمتجه x.
😀 يمكن تعريف الرتبة بأنها بعد الصورة أو الفضاء العمودي للمصفوفة.
😀 الفضاء العمودي هو الفضاء الذي يتم توليده بواسطة الأعمدة في المصفوفة.
😀 الفضاء الصفري يرتبط ارتباطًا مباشرًا بالنظام المتجانس المرتبط بالمصفوفة.
😀 عملية تقليص المصفوفة باستخدام عمليات الصفوف تعتبر خطوة أساسية لتحديد النواة والرتبة.
😀 عند تقليص المصفوفة، يتم تحديد الأعمدة التي تحتوي على المحاور (pivots) لتحديد الصورة.
😀 الرتبة هي ببساطة عدد الأعمدة التي تحتوي على محاور بعد تقليص المصفوفة.
😀 الفضاء الصفري (النواة) يمكن حسابه من خلال حل النظام المتجانس المرتبط بالمصفوفة وتحليل الحلول المتاحة.
😀 نظرية الرتبة والنوليدية تقول أن مجموع الرتبة والنوليدية يجب أن يكون مساويًا لعدد أعمدة المصفوفة.

Q & A

ما هو الفضاء الصفري أو النواة في المصفوفة؟
-الفضاء الصفري (أو النواة) للمصفوفة هو مجموعة المتجهات التي عندما نضربها في المصفوفة تعطينا متجه صفري. يمكن القول أيضًا أنه يتكون من جميع الحلول للنظام المتجانس المرتبط بالمصفوفة.
ما هي النوليدية وكيف نحسبها؟
-النوليدية هي ببساطة بُعد الفضاء الصفري أو النواة. يتم حسابها عن طريق إيجاد عدد المتجهات في قاعدة الفضاء الصفري.
كيف يمكن حساب صورة المصفوفة أو الفضاء العامودي؟
-لحساب صورة المصفوفة أو الفضاء العامودي، نأخذ الأعمدة التي تحتوي على القيم المحورية (أي الأعمدة التي تحتوي على القيم المميزة في المصفوفة المخفضة) من المصفوفة الأصلية، وهذه الأعمدة تشكل قاعدة للصورة.
ما هو الفرق بين الفضاء الصفري وصورة المصفوفة؟
-الفضاء الصفري يتكون من المتجهات التي تضاعف المصفوفة وتحصل على المتجه الصفري، بينما صورة المصفوفة هي الفضاء الذي يتم إنشاؤه بواسطة الأعمدة المستقلة خطيًا في المصفوفة.
كيف يرتبط النوليدية بالصورة؟
-النوليدية هي بُعد الفضاء الصفري، بينما الصورة هي بُعد الفضاء العمودي. هناك علاقة بين النوليدية والصورة في المصفوفة: إذا جمعنا النوليدية مع الصورة نحصل على عدد الأعمدة في المصفوفة.
ما هي الخطوات الأساسية في تطبيق تخفيض الصفوف (جوردان) للمصفوفة؟
-الخطوات الأساسية تتضمن اختيار محور في المصفوفة وتحويله إلى 1، ثم جعل العناصر الأخرى في عموده صفرًا باستخدام العمليات الصفية المناسبة (مثل طرح الصفوف) حتى يتم الوصول إلى شكل مقياسي للصفوف.
ما هو دور المتجهات في حساب الفضاء الصفري؟
-المتجهات تُستخدم لتمثيل الحلول للنظام المتجانس المرتبط بالمصفوفة. في الفضاء الصفري، نقوم بربط كل عمود في المصفوفة مع متغير وكتابة المعادلات غير الصفرية للحصول على الحلول.
ما هو الـRank في المصفوفة وكيف يمكن حسابه؟
-الـRank هو بُعد الصورة أو الفضاء العامودي. يتم حسابه عن طريق تحديد عدد الأعمدة المستقلة خطيًا في المصفوفة بعد تخفيض الصفوف.
كيف يمكننا حساب الفضاء الصفيفي (الفضاء الرأسي) للمصفوفة؟
-لحساب الفضاء الصفيفي، ننظر إلى الصفوف التي تحتوي على المحاور في المصفوفة المخفضة. بعد تحديد هذه الصفوف، نكتبها كمتجهات عمودية لتشكل الفضاء الصفيفي.
كيف يساهم مبدأ الوجود والتعدد في حساب النوليدية والـRank؟
-مبدأ الوجود والتعدد أو مبدأ المصفوفة الأساسية ينص على أن مجموع النوليدية و الـRank يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة. يتم التحقق من هذا المبدأ أثناء عمليات الحساب.