ALLE Nullstellen berechnen – Ganzrationale Funktionen, Polynom

Summary

In diesem Video wird Schritt für Schritt erklärt, wie man die Nullstellen einer Funktion mit x^6 findet. Trotz der hohen Potenz wird die Aufgabe durch Ausklammern und Polynomdivision in kleinere, einfachere Teile zerlegt. Zuerst werden die Nullstellen der ausgeklammerten Teile bestimmt, dann mithilfe des Satzes vom Nullprodukt und schließlich durch Polynomdivision die restlichen Nullstellen berechnet. Der Prozess wird anschaulich und verständlich erklärt, wobei jede Phase detailliert beschrieben wird, um auch komplexere Probleme nachvollziehbar zu machen.

Takeaways

• 📊 Die Funktion hat den Grad 6, also kann sie bis zu sechs Nullstellen haben.
• ➕ Der erste Schritt ist, die Funktion gleich null zu setzen und zu prüfen, ob man etwas ausklammern kann.
• 🔢 In diesem Fall kann man x^2 ausklammern, wodurch das Problem in zwei kleinere Probleme aufgeteilt wird: eines mit x^2 und eines mit x^4.
• 🔍 Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass man beide Teile separat gleich null setzen kann.
• 🟢 Durch das Wurzelziehen wird die erste doppelte Nullstelle bei x = 0 gefunden.
• 🎲 Um die restlichen Nullstellen zu finden, wird Polynomdivision angewendet, da kein weiteres Ausklammern möglich ist.
• 🔗 Der Linearfaktor x - 1 wird benutzt, um die Nullstelle x = 1 abzuspalten.
• ♻️ Polynomdivision wird schrittweise wiederholt, bis alle Teile abgezogen und die weiteren Nullstellen gefunden werden.
• 🧮 Eine weitere doppelte Nullstelle bei x = 1 wird durch Polynomdivision bestätigt.
• ✔️ Schließlich werden die letzten beiden Nullstellen mit dem Satz von Vieta ermittelt: x = -1 und x = -2.

Q & A

Wie viele Nullstellen kann man bei der gegebenen Funktion insgesamt finden?

Es können insgesamt sechs Nullstellen gefunden werden, da die Funktion x^6 enthält.

Wie beginnt man bei der Lösung der Gleichung zur Bestimmung der Nullstellen?

Man setzt die Funktion gleich Null und überprüft, ob man x ausklammern kann, was in diesem Fall möglich ist, da in jedem Teil der Funktion x^2 vorkommt.

Was passiert, nachdem man x^2 ausgeklammert hat?

Die Funktion wird in zwei kleinere Teile aufgeteilt: ein x^2-Problem und ein x^4-Problem. Dadurch kann man zwei Nullstellen für den x^2-Teil und vier Nullstellen für den x^4-Teil finden.

Was besagt der Satz vom Nullprodukt, und wie wird er hier angewendet?

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass wenn zwei Faktoren multipliziert gleich Null sind, mindestens einer der Faktoren Null sein muss. Hier wird dies verwendet, um zu sagen, dass entweder der x^2-Teil oder der x^4-Teil Null sein muss.

Wie viele Nullstellen ergeben sich aus dem x^2-Teil der Funktion?

Aus dem x^2-Teil der Funktion erhält man zwei Nullstellen bei x = 0, wobei es sich um doppelte Nullstellen handelt.

Wie wird die Polynomdivision angewendet, um Nullstellen des x^4-Teils zu finden?

Man rät zunächst eine Nullstelle, beginnend bei x = 1, und prüft durch Einsetzen, ob es eine Nullstelle ist. Wenn dies der Fall ist, wird die Polynomdivision angewendet, um den x^4-Teil zu vereinfachen und weitere Nullstellen zu finden.

Was ist ein Linearfaktor, und wie wird er bei der Polynomdivision verwendet?

Ein Linearfaktor ist von der Form (x - Nullstelle). In der Polynomdivision wird der gefundene Linearfaktor, wie x - 1, aus der Funktion herausgespalten, um die weiteren Nullstellen zu bestimmen.

Was passiert, nachdem man die Nullstelle x = 1 gefunden hat?

Man setzt den Rest der Funktion gleich Null und führt erneut die Polynomdivision durch, um weitere Nullstellen zu finden. In diesem Fall findet man, dass x = 1 eine doppelte Nullstelle ist.

Wie löst man die verbleibende quadratische Gleichung am Ende des Prozesses?

Die quadratische Gleichung kann mit der pq-Formel, der quadratischen Ergänzung oder dem Satz von Vieta gelöst werden. Hier wird der Satz von Vieta verwendet, um die letzten beiden Nullstellen zu bestimmen.

Wie viele unterschiedliche Nullstellen hat die Funktion insgesamt, und warum sind es nicht sechs verschiedene?

Die Funktion hat vier unterschiedliche Nullstellen: 0 (doppelt), 1 (doppelt), -1 und -2. Da einige Nullstellen doppelt vorkommen, gibt es sechs Nullstellen insgesamt, aber nur vier unterschiedliche.