QUADRATISCHE ERGÄNZUNG – Parabel in Scheitelpunktform umwandeln, binomische Formel

Summary

In diesem Video erklärt Susanne die quadratische Ergänzung anhand zweier Beispiele. Zunächst zeigt sie, wie man eine Gleichung ohne Vorzahl vor dem x² umformt, indem man die Zahl vor dem x halbiert, quadriert und dann abzieht. Anschließend wird das Verfahren erweitert, wenn eine Zahl vor dem x² steht. Hier wird diese Zahl ausgeklammert, bevor die quadratische Ergänzung angewendet wird. Am Ende erläutert Susanne, wie der Scheitelpunkt aus der umgeformten Gleichung abgelesen werden kann. Bei Fragen bietet sie Unterstützung in den Kommentaren an.

Takeaways

• 🟢 Die quadratische Ergänzung wird anhand eines Beispiels erklärt, bei dem vor dem x² keine Zahl steht.
• ✂️ Zuerst wird die Zahl vor dem x, in diesem Fall 14, durch zwei geteilt, um 7 zu erhalten.
• ➗ Diese Zahl (7) wird dann quadriert und sowohl hinzugefügt als auch direkt wieder abgezogen.
• 🔄 Ziel ist es, die Gleichung in eine Klammerform zu bringen, sodass man das Ergebnis in der Form (x + 7)² schreiben kann.
• 🧮 Am Ende wird das zusammengefasste Ergebnis (-49 + 38 = -11) berechnet, was die quadratische Ergänzung darstellt.
• 🔧 Beim zweiten Beispiel muss vor der quadratischen Ergänzung zuerst die Zahl vor dem x² (hier 3) ausgeklammert werden.
• ✏️ Nach dem Ausklammern der 3 wird die quadratische Ergänzung wie im ersten Beispiel durchgeführt, indem die Zahl vor dem x (6) durch 2 geteilt wird.
• 📦 Die Klammerform wird dann erstellt, in der (x + 3)² steht, und -9 zum Ergebnis hinzugefügt.
• 🧮 Nachdem die Klammer mit 3 multipliziert und die äußeren Zahlen verrechnet werden, ergibt sich das Endergebnis von 55.
• 📍 Der Scheitelpunkt wird durch Ablesen der Koordinaten bestimmt: für das erste Beispiel (-7, -11) und für das zweite Beispiel (-3, 55).

Q & A

Was ist der erste Schritt bei der quadratischen Ergänzung, wenn keine Zahl vor dem x^2 steht?

Der erste Schritt besteht darin, die Zahl vor dem x zu betrachten, diese durch zwei zu teilen und dann das Quadrat dieser Zahl zu bilden.

Warum wird die hintere Zahl zunächst unverändert gelassen?

Die Zahl, die keinen Zusammenhang mit x oder x^2 hat, wird erst am Ende der Berechnung berücksichtigt und bleibt bis dahin unverändert.

Was macht man mit der Zahl vor dem x nach dem Teilen durch zwei?

Man nimmt das Quadrat dieser Zahl und fügt es der Gleichung hinzu, um dann direkt den gleichen Betrag wieder zu subtrahieren, damit sich der Wert der Gleichung nicht ändert.

Wie wird die binomische Formel in der quadratischen Ergänzung rückwärts angewendet?

Man betrachtet das Quadrat des ersten und den konstanten mittleren Term, um die Gleichung in die Form (x + a)^2 zurückzuführen.

Was passiert, wenn eine Zahl vor dem x^2 steht?

In diesem Fall muss die Zahl vor x^2 ausgeklammert werden, bevor die quadratische Ergänzung durchgeführt werden kann.

Warum wird die Zahl vor dem x^2 ausgeklammert?

Damit der Ausdruck vereinfacht wird und die quadratische Ergänzung wie üblich durchgeführt werden kann, ohne dass eine Zahl vor dem x^2 steht.

Wie wird die Scheitelpunktform aus der quadratischen Ergänzung abgelesen?

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist das Gegenteil der Zahl in der Klammer (x - a)^2, und die y-Koordinate ist die Konstante, die am Ende der Gleichung steht.

Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Zahl in der Scheitelpunktform?

Das Vorzeichen der Zahl in der Klammer wird umgedreht, um die x-Koordinate des Scheitelpunkts zu bestimmen.

Was passiert mit der Konstante außerhalb der Klammer nach der Berechnung der quadratischen Ergänzung?

Diese Konstante wird zusammen mit den anderen Zahlen außerhalb der Klammer verrechnet, um die endgültige y-Koordinate des Scheitelpunkts zu bestimmen.

Wie wirkt sich das Quadrat der Zahl nach der Teilung durch zwei auf die weitere Berechnung aus?

Das Quadrat dieser Zahl wird zur quadratischen Ergänzung hinzugefügt und sofort wieder subtrahiert, sodass der Wert der Gleichung unverändert bleibt, jedoch die Umformung in die Scheitelpunktform ermöglicht wird.