Volumes by Slicing (Calculus)

Summary

El video trata sobre cómo calcular volúmenes mediante secciones en cálculo integral. El presentador explica cómo construir volúmenes a partir de la suma de áreas de figuras geométricas, como semicírculos, cuadrados y triángulos equiláteros, apiladas sobre una región determinada. Se utilizan integrales para calcular estas áreas y luego obtener el volumen total. Se muestra cómo derivar las fórmulas para las diferentes formas y se ilustra el proceso de simplificación de estas integrales, destacando cómo las áreas de las secciones cambian en función de la posición en la región base.

Takeaways

• 📐 El método de volúmenes por cortes se basa en usar integrales para calcular volúmenes sumando áreas de cortes infinitos.
• 🔵 En el ejemplo, la región está delimitada por el eje X y una semicircunferencia con radio 6, y su área se puede calcular usando integrales.
• ➕ Para encontrar el área entre curvas, se usa la fórmula: integral de la función superior menos la función inferior.
• 🍰 El volumen por cortes se genera al apilar formas (como semicírculos, cuadrados o triángulos) sobre una base rectangular.
• 🔺 El área de cada corte semicircular se calcula como 1/2 * π * r^2, donde el radio es la mitad de la longitud de la base del corte.
• ✏️ Para simplificar, el radio se expresa como √(36 - x^2) dividido por 2, resultando en una fórmula para el área de cada semicírculo.
• 🔢 El volumen total con cortes semicirculares se calcula con la integral de -6 a 6 de la fórmula simplificada.
• 📏 También se puede calcular el volumen con cortes cuadrados, usando la fórmula de área de un cuadrado (lado^2).
• 🔻 En el caso de los triángulos equiláteros, la fórmula de área involucra 1/2 * base * altura, y se deduce la altura usando trigonometría.
• 🔧 Cada tipo de corte genera un volumen diferente, dependiendo de la forma de los cortes, pero el principio subyacente es el mismo: integrar áreas para obtener volumen.

Q & A

¿Qué es el concepto de volúmenes por rebanado?

El concepto de volúmenes por rebanado implica calcular el volumen de un objeto sumando áreas de secciones transversales (rebanadas) a lo largo de una región. Esto se hace utilizando integrales para acumular áreas y obtener el volumen.

¿Cómo se determina el área entre curvas en este ejemplo?

Para determinar el área entre curvas, se utiliza la integral del límite inferior al superior de la función superior menos la función inferior. En este caso, la función superior es una semicircunferencia y la función inferior es la línea y = 0.

¿Qué forma tiene la región mencionada en el video?

La región mencionada en el video es una semicircunferencia con radio 6, delimitada por las coordenadas de x que van desde -6 hasta 6 y la curva superior dada por la ecuación y = √(36 - x^2).

¿Cómo se configura la integral para encontrar el volumen cuando se utilizan rebanadas semicirculares?

Para calcular el volumen con rebanadas semicirculares, se usa la fórmula del área de un semicírculo, que es (1/2)πr². Luego, se configura la integral desde -6 hasta 6, donde r es √(36 - x²) dividido por 2. El volumen se obtiene integrando la expresión π/8 * (36 - x²).

¿Qué sucede con el radio en el caso de los semicírculos en el video?

El radio de los semicírculos no es la longitud total de la distancia entre las curvas, sino la mitad de esa longitud. En este caso, el radio es √(36 - x²) dividido entre 2.

¿Cómo cambia el volumen si se usan rebanadas cuadradas en lugar de semicírculos?

Si se usan rebanadas cuadradas en lugar de semicírculos, el área de cada rebanada es simplemente el lado de cada cuadrado al cuadrado, es decir, (√(36 - x²))². El volumen se calcula integrando esta expresión desde -6 hasta 6, lo que da el volumen de un sólido con rebanadas cuadradas.

¿Cómo se determina el área de cada rebanada cuadrada?

El área de cada rebanada cuadrada se obtiene elevando al cuadrado la longitud del lado, que es √(36 - x²). Al cuadrar esta expresión, se simplifica a 36 - x², que se integra para obtener el volumen total.

¿Qué sucede si las rebanadas son triángulos equiláteros?

Cuando las rebanadas son triángulos equiláteros, el área de cada triángulo se calcula usando la fórmula (1/2) * base * altura. La base es √(36 - x²) y la altura se puede calcular usando trigonometría o propiedades de triángulos equiláteros.

¿Cómo se determina la altura de un triángulo equilátero en el ejemplo?

La altura del triángulo equilátero se puede determinar usando trigonometría. Se sabe que el ángulo en un triángulo equilátero es de 60 grados, por lo que se usa la relación tangente de 60° para obtener la altura en términos de la base (√(36 - x²)/2).

¿Cuál es la integral que describe el volumen con rebanadas de triángulos equiláteros?

La integral para el volumen con rebanadas de triángulos equiláteros es ∫[−6,6] (√3/4) * (36 − x²) dx, donde (√3/4) proviene de la combinación de las fórmulas de la base y la altura del triángulo equilátero.

Outlines

00:00

📏 Introducción a los volúmenes por secciones

Este párrafo introduce el concepto de cálculo de volúmenes por secciones mediante integrales, utilizando un ejemplo con una región delimitada por una semicírculo y el eje x. El área entre curvas se explica brevemente, pero el enfoque principal es la transición de áreas a volúmenes, al construir figuras tridimensionales sobre estas áreas mediante cortes o secciones. En este caso, se menciona que las secciones serán semicirculares.

05:01

🔄 Explicación del cálculo de volúmenes usando semicírculos

Se describe cómo las rebanadas semicirculares se colocan sobre las áreas rectangulares, sumando los volúmenes de todas estas para obtener el volumen total. El área de cada semicírculo se calcula usando la fórmula para el área de un círculo, pero se ajusta para semicírculos. El radio de estas secciones es la mitad de la distancia desde la raíz de 36 menos x al eje x. Finalmente, se simplifica la fórmula del volumen, dando lugar a una integral que representa el volumen total de la figura con secciones semicirculares.

10:01

🔳 Construcción de volúmenes con secciones cuadradas

Este párrafo introduce un nuevo método de seccionado, ahora utilizando cortes cuadrados en lugar de semicírculos. Las secciones cuadradas se colocan sobre la misma base anterior, pero ahora el área de cada sección es simplemente el cuadrado de la longitud del lado, que es la raíz de 36 menos x cuadrado. Se establece la integral para encontrar el volumen de la figura tridimensional resultante de las secciones cuadradas.

🔺 Cálculo de volúmenes con triángulos equiláteros

Aquí se presenta una nueva forma de calcular volúmenes, utilizando cortes con triángulos equiláteros. El párrafo explica cómo se obtiene la base del triángulo y se dedica gran parte del texto a calcular la altura del triángulo utilizando trigonometría, específicamente la tangente de 60 grados. Después de obtener las expresiones para la base y la altura, se formula el área de cada triángulo equilátero y se incorpora en la integral para hallar el volumen total.

Keywords

💡Volumen por rebanadas

Es una técnica utilizada en cálculo para encontrar el volumen de un sólido mediante la suma de áreas de secciones transversales a lo largo de una región. En el video, se explica cómo se puede utilizar esta técnica apilando formas geométricas, como semicírculos, cuadrados o triángulos equiláteros, sobre una base, y luego sumando sus áreas para obtener el volumen total.

💡Integral

La integral es un concepto fundamental del cálculo que representa la suma de infinitos valores pequeños para obtener un valor total, como área o volumen. En el video, se utiliza la integral para sumar las áreas de las secciones transversales de diferentes formas geométricas, lo que permite calcular el volumen de un sólido generado por esas secciones.

💡Semicírculo

Un semicírculo es la mitad de un círculo. En el video, se menciona un semicírculo superior definido por la ecuación y = √(36 - x²) que se utiliza para delimitar la región en la cual se apilan las secciones transversales, y sobre esta base se construyen rebanadas semicirculares para calcular el volumen.

💡Área de una sección transversal

Se refiere al área de cada rebanada o corte que se usa para calcular el volumen. Dependiendo de la forma que se utilice para las secciones (semicírculo, cuadrado, triángulo equilátero), el área de la sección cambia. En el video, el área de cada rebanada se calcula utilizando fórmulas geométricas como la del área de un semicírculo o un cuadrado.

💡Radio (R)

El radio es la distancia desde el centro de un círculo hasta cualquier punto en su borde. En el contexto del video, el radio del semicírculo es crucial para determinar el área de las rebanadas semicirculares. El video muestra cómo el radio se extrae de la fórmula y = √(36 - x²), dividiéndolo entre dos para adaptarse a la geometría del semicírculo.

💡Pi (π)

Pi es una constante matemática utilizada para calcular áreas y volúmenes relacionados con círculos y es aproximadamente 3.14159. En el video, π aparece en la fórmula para el área del semicírculo (½πR²) y se utiliza para calcular el volumen cuando se apilan las rebanadas semicirculares.

💡Cuadrado

Un cuadrado es una forma geométrica con cuatro lados iguales. En el video, se utilizan cuadrados como secciones transversales para calcular un volumen alternativo al de los semicírculos. La fórmula para el área de un cuadrado es el lado al cuadrado, y el lado está dado por la ecuación √(36 - x²).

💡Triángulo equilátero

Un triángulo equilátero es un triángulo donde todos los lados y ángulos son iguales. El video explica cómo se pueden usar rebanadas en forma de triángulos equiláteros sobre la misma base semicircular para calcular un volumen diferente. La fórmula para el área de un triángulo equilátero se deriva de la base y la altura, y se usa trigonometría para calcular la altura.

💡Región delimitada

Se refiere al área o región en el plano que está limitada por ciertas curvas. En el video, la región está delimitada por el eje x (y=0) y un semicírculo superior definido por la ecuación y = √(36 - x²). Esta región es la base sobre la cual se apilan las secciones transversales para calcular el volumen.

💡Eje x

El eje x es la línea horizontal en el plano cartesiano, y en este caso actúa como la base inferior de la región delimitada. En el video, la función y=0 corresponde al eje x, y junto con la curva semicircular superior, delimita el área en la que se apilan las secciones para calcular volúmenes.

Highlights

Introduction to volumes by slicing using integrals, often following the topic of area between curves.

The region is bounded by two curves: the x-axis (y = 0) and a semicircle (y = sqrt(36 - x^2)) with radius 6.

Setup of integral for finding the area between the curves from -6 to 6, noting symmetry allows for simplifying from 0 to 6.

Transition from calculating area to volume, where rectangles become the base of shapes that are stacked to create volume.

First type of slicing discussed: semicircular slices stacked over the region to find volume.

Explanation of the semicircular slice formula: volume as the integral of the area of semicircles, which is 1/2 π r^2, over the given range.

Radius of each semicircular slice is half the distance across the semicircle, derived from sqrt(36 - x^2) / 2.

Simplifying the integral for semicircular slices: using the formula PI/8 (36 - x^2) dx from -6 to 6.

Introduction to another slicing method: square-shaped slices stacked over the same region for a different volume.

Formula for the volume with square slices: integral of (side length)^2, where the side is the distance sqrt(36 - x^2).

Simplified formula for square slices: integral of (36 - x^2) dx from -6 to 6.

Third slicing method introduced: equilateral triangle slices built on top of the region, resulting in a different shape.

Formula for equilateral triangle slices: 1/2 base times height, where the base is sqrt(36 - x^2) and height is derived using trigonometry.

Height for the equilateral triangle slice calculated as sqrt(3)/2 * sqrt(36 - x^2) using trigonometric relationships.

Final formula for the equilateral triangle volume: integral of (sqrt(3)/4) * (36 - x^2) dx from -6 to 6, combining base and height.

Transcripts

everyone Houston math prep here talking

about volumes by slicing which is

something that you might do in calculus

with integrals right after we've talked

about finding area between curves so

here I've got two curves I've got some

region that's bounded by these curves

the bottom is just the x axis y equals

zero and this top is an upper semicircle

here y equals the square root of 36

minus x squared so it's a semicircle it

has radius six my leftmost point here is

at negative 6 and my rightmost point

here is at 6 if we were just going to

find the area of this region so we would

look at doing the integral from A to B

of the top function minus the bottom

function if I draw my rectangle let's

say this way vertically so if I draw it

vertically top function minus the bottom

function would be the root formula minus

is zero minus zero wouldn't change

anything so we would just get root 36

minus x squared DX from A to B would be

from negative six to six we could go

from zero to six and double it due to

the symmetry not going to go into that

too much here this integral itself is

actually a little bit to deal with so

we're not gonna actually work this but I

just want to make sure that we remember

this idea the idea with volume by

slicing is going to be not how to find

area using this rectangle but imagine

laying this region sort of down on the

desk and this rectangle is no longer

just a rectangle that I'm using to fill

the space to find area within an

integral this rectangle is actually

going to be the base for some shape on

top of it and I'm going to build the

same shape over and over and over and

get a volume basically by making a bunch

of slices that are a similar shape so

we're gonna look at how we'll do that

the first type of slice that I'm going

to use I'm going to build semi circular

slices

on top of my semicircular region so

let's take a look at how that will work

so if I look at this here and I think

about all of my rectangles that would

run through the region and I'm stacking

semi-circle slices on top of each of

those rectangles then I would add up all

the areas on top of those rectangles to

give me a volume so where normally we're

doing an in summing an infinite number

of lengths to give us area we are now

summing an infinite number of areas to

give us volume hopefully that makes some

sense there so now looking at what we

have here so we have a bunch of

cross-sections or slices that are semi

circles the way we'll do volume and the

way a lot of books will do this is they

will say well volume will be the

integral from A to B just like before

they'll use something sometimes like a

of X DX and this a of X is really what

you have to determine in each situation

and it is what is the formula for the

area of each slice so if you look at

this one slice that I have kind of

through the middle of the region how do

I find a formula for the area of any

slice no matter where it is okay so if

we look at the base remember that this

curved part was y equals the square root

of 36 minus x squared and this line over

here was y equals 0 and this point way

over here is that x equals negative 6

and this point way over here is at x

equals 6 this one sort of toward the

middle as far as a slice go so it's

giving us quite a bit of area the slice

is down at the end are much smaller

they're not going to provide much area

in terms of volume so each one gives us

a different amount I need to figure out

a formula for a of X so a of X is going

to be the area of each semicircular

slice so this will depend on the shape

this is a semicircle so what's the area

of a semicircle well the area of a

circle is PI R squared so if I want a

half circle or a semi

circle then the area formula should be

1/2 PI R squared that would be half a

circle as the area for each slice so the

trick then is figuring out what do I put

in for R the rest of this no problem I

got to figure out what is R so if I go

over here and I say well radius would

kind of be along this edge here the

problem is this line here is not the

radius of this semicircle it is the

diameter it's all the way across right

so if you can imagine how would we get a

radius well think about like a point

here only half of this line right would

be a radius that would be an R for us so

what is that well it would be half that

distance from the root down to zero in

other words this distance is going to be

the square root of 36 minus x squared

divided by 2 is really what we've got so

that's what we'll go in for our radius

there let's go ahead and put that in our

a of X so our a of X is going to equal

1/2 pi and then we'll have a root of 36

minus x squared over 2 that's a radius

squared we would do some simplifying

here I'm going to kind of do this all in

one shot so if I square that will take

care of the root the root will go away

if I square the two on the bottom that's

going to give me a 4 and then if I have

4 times this 2 that's also on the bottom

that's going to give me an 8 right so I

really have keep the pie I have PI over

2 times 4 which is 8 and then again the

square gets rid of the root and we have

this so our volume for this object with

all these semicircular slices would be

the integral from negative 6 to 6 PI

over 8 36 minus x squared DX and this

would just be power rules you could bump

the PI over 8 out we're not going to

work out the full integral in this one

we're just going to set it up and give

you the idea for slicing here

okay let's look at another one this time

we're going to do a volume but we're

going to do it with a different type of

slice we're going to do square shaped

slices so same base right but the volume

that we're building on top of this

region is going to have all of its

slices as a square shape so you can see

the volume takes on a very different

tone especially as you look at sort of

the top contours of the shape there so

let's look at how to build volume with

this one so if we have square slices

right so our volume again is going to

equal the integral from A to B formula

for the area of each slice integral DX

right okay so what is the area for this

well this one's not so bad right

I need the area of a square well square

is simply going to equal

whatever the side length is squared

right side times side they're the same

so this length here and we already have

a formula for this so this length we

already know from before right

this was square root 36 minus x squared

that's the side of one side length I

need to square that right so side

squared is going to be the square root

of 36 minus x squared squared in other

words 36 minus x squared so very similar

right based on the shape of the base so

our volume for this one would be the

integral from negative six to six of

simply 36 minus x squared DX and again

you can work this out this isn't too bad

just power rule

plugging in you should be able to get

something for this I think but let's go

ahead and do one more similar but a

different shape this one's a little bit

more complicated we're going to actually

build equilateral triangles on top so

you notice we get a nice little slant on

one side of the volume as we build this

looks more rounded on one side but the

other side has a nice slant surface to

it so we've got equilateral triangles

we're gonna build and we're gonna go

ahead and do that again volume is going

to equal I'm gonna give me some room

here integral from A to B a of xdx our

base is the same so we're still going to

be going from negative six to six we

need to figure out what's the formula

for this equilateral triangle area that

we're dealing with so area well area of

this equilateral triangle any triangle I

guess you could say something like

one-half base times height there are

some other ways to do this but let's

just say you go with this this is a

pretty common way that people will say

area for a triangle so base I think we

have down right the base is just going

to be this distance and we already know

that this distance is the square root of

36 minus x-square from all our other

stuff and then the question becomes what

is the height right what is this height

well you can do a lot of things with

this I guess you could do some maybe

some trigonometry if you know this is

equilateral you know that this is 60

degrees so if you wanted to figure out

some things you could do it a bunch of

different ways if you already know stuff

about similar triangles you could just

figure it out that way you could figure

it out using maybe this half of a right

triangle here and you could say

something like well let's see tangent of

60 degrees is equal to the opposite side

over the adjacent side and this would

just be half of it right so it would be

root 36 minus x squared over 2 lots of

things you can do there so if I simplify

tangent of 60 will get root 3 I can go

ahead and multiply the top and bottom by

two if I want and get something like

this instead so we're getting close to

figuring out what H is so if I go ahead

and multiply both sides by the root on

the bottom and divide both sides by two

and don't worry too much about

simplifying at this point in time then I

would get root three over two times this

square root and we can do some different

things with simplifying there but that

would be our H so this one a little bit

more to deal with as far as getting the

a of X right not as nice as a square

obviously but now we can go ahead and

take this and put it in there put our

base in there as well the nice thing is

if we had 1/2 base times height then

that's 1/2 times the root 36 minus x

squared and then the height this really

gives us another root 3 over 2 and gives

us another of the same root so it

actually allows us to get rid of the

root and combine those so if we go ahead

and turn this into a nice formula all in

one we're going to get something like

first of all integral negative 6 to 6

hasn't changed I'll go ahead and combine

this I could put it out front

but I'll just leave it in the integral

for now so I'd have a root three on top

two times two on the bottom would give

me a four there and then the two roots

multiplied together would just give me a

36 minus x squared so we'd integrate all

of that DX from negative six to six okay

hopefully this gives you an idea it's

really the same thing but you're

building area on top of each rectangle

to create volumes or integrating

infinite number of areas to give volume

by slicing alright good luck with this