Clase 11: Problema de péndulo físico con un disco.
Summary
TLDREl guion trata sobre el cálculo del período de un péndulo físico en forma de disco de madera de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a una distancia 'l' desde su centro de masa. Se busca el valor de 'l' para lograr un período de 1.7 segundos y el valor de 'l' que minimiza el período. Se discute la fórmula del período para un péndulo físico, incluyendo el momento de inercia respecto al centro de masa y la distancia 'l'. Se resuelven ecuaciones para encontrar los valores de 'l' que satisfacen las condiciones dadas y se calcula el valor de 'l' para el período mínimo.
Takeaways
- 📏 Se analiza un problema de un péndulo físico con un disco de madera uniforme de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a una distancia \( l \) desde el centro de masa.
- ⏲️ El objetivo es encontrar los valores de \( l \) para que el período del péndulo sea de 1.7 segundos, y además determinar \( l \) para que el período sea mínimo.
- 📐 La fórmula del período para un péndulo físico es \( T = 2\pi \sqrt{\frac{I + ml^2}{mgl}} \), donde \( I \) es el momento de inercia del disco respecto al centro de masa.
- 🧮 El momento de inercia de un disco respecto a su centro de masa es \( I = \frac{1}{2} m r^2 \), donde \( r \) es el radio del disco (0.5 metros).
- 📝 El período \( T \) en función de \( l \) se simplifica a \( T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{2}r^2 + l^2}{gl}} \).
- 📊 Se describe que la gráfica del período en función de \( l \) tiene un mínimo, y existen dos valores de \( l \) para los cuales el período es 1.7 segundos.
- 🔎 Para encontrar los valores de \( l \) cuando \( T = 1.7 \) segundos, se resuelve la ecuación cuadrática resultante, obteniendo \( l_1 = 0.30 \) metros y \( l_2 = 0.42 \) metros.
- 🧮 Para encontrar el valor de \( l \) que minimiza el período, se utiliza la derivada de la expresión del período respecto a \( l \), estableciendo \( \frac{dT}{dl} = 0 \).
- 📏 El valor de \( l \) que minimiza el período es \( l = \frac{r}{\sqrt{2}} \), lo que resulta en \( l \approx 0.35 \) metros.
- 🎯 En resumen, los valores de \( l \) para un período de 1.7 segundos son aproximadamente 0.30 y 0.42 metros, y el valor que minimiza el período es aproximadamente 0.35 metros.
Q & A
¿Cuál es el problema 8 mencionado en el guion?
-El problema 8 trata sobre un péndulo físico en forma de disco de madera uniforme de 1 metro de diámetro, suspendido de un clavo a cierta distancia 'l' desde su centro de masa, y se busca encontrar la longitud 'l' para que el período sea de 1.7 segundos.
¿Qué es un péndulo físico?
-Un péndulo físico es un objeto que puede oscilar libremente alrededor de un punto fijo, generalmente en un movimiento armónico simple, y se caracteriza por su período, que es el tiempo que toma para completar un ciclo de oscilación.
¿Cómo se relaciona el período de un péndulo con la distancia 'l' desde el clavo al centro de masa?
-El período de un péndulo físico está dado por la fórmula T = 2π√(I/m*l), donde 'I' es el momento de inercia respecto al eje de rotación, 'm' es la masa y 'l' es la distancia desde el punto de suspensión al centro de masa.
¿Cuál es el momento de inercia 'I' de un disco de radio 'r' respecto al eje que pasa por su centro?
-El momento de inercia 'I' de un disco respecto al eje que pasa por su centro es I = 1/2 * m * r^2.
¿Cómo se calcula el momento de inercia 'I' del disco dado en el guion?
-El momento de inercia 'I' del disco se calcula como 1/2 * m * (0.5)^2, ya que el diámetro es de 1 metro y por lo tanto el radio 'r' es de 0.5 metros.
¿Cuál es la fórmula para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos?
-La fórmula para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos es T = 2π√(I/m*l) = 1.7, y al sustituir I y reorganizar la ecuación, se obtiene una ecuación que se resuelve para encontrar los valores de 'l'.
¿Cuál es la longitud 'l' que hace que el período sea mínimo?
-La longitud 'l' que hace que el período sea mínimo se encuentra cuando la derivada de la fórmula del período con respecto a 'l' es igual a cero, lo que da como resultado l = sqrt(r^2/2).
¿Cuál es el valor de 'l' que se calcula para que el período sea mínimo?
-El valor de 'l' que se calcula para que el período sea mínimo es aproximadamente 0.35 metros, basado en el radio 'r' de 0.5 metros.
¿Cómo se determina si el período de un péndulo es el mínimo?
-Se determina si el período de un péndulo es el mínimo al analizar la derivada de la fórmula del período con respecto a la longitud 'l'. Si la derivada es cero, se alcanza un punto crítico que indica un mínimo local.
¿Cuál es la importancia de conocer el período mínimo de un péndulo?
-El conocimiento del período mínimo de un péndulo es importante en física para comprender las propiedades del movimiento armónico y en aplicaciones prácticas donde se requiere un movimiento oscilatorio regular y predecible.
Outlines
🔍 Análisis del Péndulo Físico
El primer párrafo aborda el problema de un péndulo físico en forma de disco de madera de 1 metro de diámetro, colgado de un clavo a una distancia 'l' desde su centro de masa. Se busca encontrar el valor de 'l' para que el período del péndulo sea de 1.7 segundos y, adicionalmente, el valor de 'l' que minimiza el período. Se recuerda que el período de un péndulo físico se calcula como 2π√(I/m*l), donde I es el momento de inercia respecto al eje de giro y m*l es la masa multiplicada por la distancia desde el centro de masa hasta el punto de giro. Se resalta que el momento de inercia de un disco respecto al eje que pasa por su centro de masa y es perpendicular a su plano es 1/2*m*r², donde r es el radio del disco. Se procede a establecer una ecuación para encontrar los valores de 'l' que satisfacen las condiciones dadas.
📐 Cálculo de Longitudes para Periodo Deseado
El segundo párrafo se enfoca en el cálculo de las longitudes 'l' que hacen que el período del péndulo sea exactamente de 1.7 segundos. Se establece una ecuación basada en la relación entre el período y la longitud del péndulo y se resuelve para encontrar dos posibles valores de 'l', uno mayor y otro menor, que satisfacen esta condición. Se menciona que el radio del disco es de 0.5 metros y se usa esta información para simplificar la ecuación. Se calculan los valores numéricos aproximados para 'l', obteniendo dos longitudes que corresponden a los puntos donde el período es de 1.7 segundos.
📉 Minimización del Período del Péndulo
El tercer párrafo trata sobre cómo encontrar la longitud 'l' que minimiza el período del péndulo. Se utiliza el conocimiento de cálculo diferencial para encontrar el punto crítico de la función que representa el período del péndulo en función de 'l'. Se calcula la derivada de la ecuación del período respecto a 'l' y se establece la condición de que esta derivada sea cero para encontrar el mínimo. Se resuelve la ecuación resultante para obtener el valor de 'l' que minimiza el período, que se encuentra ser aproximadamente 0.35 metros, basado en el radio del disco.
Mindmap
Keywords
💡Péndulo
💡Período
💡Momento de inercia
💡Claudio
💡Disco
💡Radio
💡Gravedad
💡Minimizar
💡Derivada
💡Función
💡Gráfico
Highlights
Se describe un péndulo físico en forma de disco de madera de 1 metro de diámetro y cómo se suspende de un clavo.
Se busca encontrar la distancia 'l' desde el clavo al centro de masa para que el período del péndulo sea de 1.7 segundos.
Se plantea la necesidad de que el péndulo oscile libremente sin fricción.
Se menciona que el momento de inercia del disco es clave para calcular el período del péndulo.
Se recuerda la fórmula del período de un péndulo físico y cómo se relaciona con el momento de inercia y la masa.
Se indica que el período del péndulo se puede expresar en función de la masa, el radio y la distancia 'l'.
Se establece que el período del péndulo es igual a 2π multiplicado por la raíz cuadrada de una constante que incluye 'l'.
Se discute cómo encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos.
Se resalta la importancia de entender la gráfica del período en relación con 'l' para encontrar los valores correctos.
Se calcula el valor de 'l' para un período de 1.7 segundos usando la fórmula del péndulo.
Se obtienen dos posibles valores de 'l' que satisfacen la condición del período de 1.7 segundos.
Se explica cómo se llega a los valores de 'l' utilizando la relación entre el período y la distancia 'l'.
Se menciona que el radio del disco es de 0.5 metros y cómo se utiliza en los cálculos.
Se resuelve la ecuación para encontrar los valores de 'l' que hacen que el período sea de 1.7 segundos.
Se presentan los valores aproximados de 'l' en metros que satisfacen la condición del período.
Se discute cómo determinar la longitud 'l' para que el período del péndulo sea mínimo.
Se utiliza la derivada del período con respecto a 'l' para encontrar el valor de 'l' que minimiza el período.
Se calcula el valor de 'l' que resulta en el período mínimo del péndulo.
Se presenta el resultado final del cálculo para el valor de 'l' que minimiza el período.
Transcripts
i
bueno
problema 8
se forma un péndulo físico como un disco
de madera uniforme de 1 metro de
diámetro
se le suspende de un clavo a una
distancia l medida desde su centro de
masa
encontrar inciso a para que valores de l
el periodo es de 1.7 segundos
y sabe cuánto debe valer l para que el
periodo sea mínimo
el siguiente problema
no te habla de un disco
al cual se le hace un agujero por algún
lado así como se ve acá
y tengo mi problema se coloca en un
clavo
donde puede oscilar libremente sin
fricción digámoslo acá porque se
requiere que no haya excepción
la distancia que hay el clavo al centro
de masa se le ha llamado l
acá
y entonces nos están pidiendo cuál debe
ser esa distancia el de aquí para acá
para que el pedido sea de 1.7 segundos
llegaron un cronómetro medimos el
período o sea una operación completa
cuál sería esa distancia para que
efectivamente sea 1.7 segundos y luego
nos preguntan cuál debe ser esta
longitud para que el periodo sea mínimo
acá tenemos porque es un péndulo físico
nos recordamos que el periodo para un
péndulo físico de esta forma dos por la
raíz cuadrada el momento de inercia
respecto del centro de masa más la masa
con la distancia que hay desde donde
está pivoteado al centro de masa que
tenía l al cuadrado / m
l
hecho eso ahora me pregunto cuánto vale
el momento de inercia respecto al centro
de más de un disco usted diría el
momento de inercia
lo metemos ahí entonces y tenemos que el
periodo es igual a 2 y la raíz cuadrada
de un medio de la masa el radio al
cuadrado más
la masa
por l al cuadrado / m
l
y te das cuenta aquí vamos a crear un
factor común la masa esta masa se
cancela tengo que el periodo es igual a
2 y con la raíz cuadrada de un medio de
r al cuadrado
+ l al cuadrado
/ l
y ahí tenemos básicamente
lo que es el periodo ahora gente
recuerdas del problema de la barra que
trabajamos aquí nos están preguntando
para qué valores de l acá no solamente
es un valor que para qué valores de l
el periodo vale este valor
entonces si recuerdas cuando hacíamos un
gráfico
y este caso sería el de acá y el periodo
acá pero tener un valor muy grande muy
cercano a cero
y después toma un mínimo
y ahí se va este sería básicamente un
gráfico y entonces fíjate para un
periodo en este caso de 1.7 asumir que
por acá en un valor de 1.7 segundos
entonces si te das cuenta hay dos
valores de ay que el inpec al valor l 1
y un valor l 2 esto es lo que nos está
preguntando qué valores debe tener tele
para que el pedido sea de 1.7 segundos
es obvio que estamos comprobando hasta
que tenemos que buscar los valores como
lo encontramos entonces
como conozco el período que es 1.7 lo
voy a vivir entre dos picos y lo hubiere
para el cuadrado se ha dividido
y luego al cuadrado es igual a
me dio
el radio al cuadrado imágenes a
distancia al cuadrado / g l
voy a pasarme explicando hasta el
periodo /
l es igual a un medio de guerra
l al cuadrado o sea que es de ponerlo de
esta manera al cuadrado menos el período
de periodo
porque por l
más me dio de beber
tiene que ser igual a cero
ahora vamos a colocar acá l al cuadrado
menos exterior 1.7 dividido
todo esto luego al cuadrado por 9.8 por
l
como el diámetro de un metro por lo
tanto el radio es de 50 centímetros
punto 5 metros que habría que poner un
medio de punto 5 al cuadrado y eso es
igual
a 0
voy a colocar esto como numeritos a ver
quería de poner
al cuadrado menos
ahora sería 1.7
aproximado lo voy a poner con cuatro y
males para que nos dé un valor más
exacto sería del punto
71
74 l
más
punto 5
al cuadrado
divido entre dos mira
punto 125 y eso tiene que ser igual a 0
resolviendo tendríamos los valores de l1
y l2
metemos laboral la actuación de segundo
orden
vamos a ver sería de poner
américo deficiente es 1
que sigue un punto 71-70 negativo
y le sigue unos 125
siempre manteniendo los cuatro decimales
voy a poner la primera respuesta como
20.29 82 metros y la segunda teoría
de punto 41 92 metro
o sea
aproximado a dos decimales
básicamente tendríamos que las
longitudes a las cuales yo debo trabajar
serían punto 30 metros que a 30
centímetros aproximadamente y el de 12
punto 42
metros y entonces
dónde debo colocar el agujero respecto
al centro de masa ósea apunto 30.42 yo
estaría esperando que el periodo de
operación de este disco es de 1.7
segundos y estos dos valores gracias a
la curva que tú puedes observar acá aquí
el periodo tiene un valor de 1.7 y por
lo tanto genera una cierta longitud por
otro lado tendrá
y esta otra no
luego nos están pidiendo cual debe ser
ahora la longitud para que el periodo
sea mínimo o sea para este punto que
está acá
y tengo un periodo mínimo
y obviamente aquí tengo una cierta
distancia l
entonces la pregunta es cuánto vale está
l
bien tenemos entonces la expresión del
periodo la camina esto nos va a servir
si te das cuenta de emergencia como lo
hicimos en el problema de la barra yo
escribo otra vez de esta manera la razón
de cambio
del periodo respecto a la longitud él
tiene que tercero para garantizar
obviamente un punto crítico
estoy aquí
y escribo el periodo de esta manera
y por
un medio de r al cuadrado más al
cuadrado
/ dl todo esto a un medio
la razón me cambió entonces el periodo
respecto a la longitud sería igual a 2 y
ahora
o la catedral y dividido entre dos que
tenían
el exponente acá pondría un medio de
cuadrado más
y si te das cuenta la media que es el
denominador por la razón de cambio con
respecto a él es de un medio de re
cuadrado más l cuadrados dividido l
ahora si te das cuenta todo lo que nos
interesa según hicimos que el problema
de la barra es que se va a quedar en el
denominador como esto va a ser cero
básicamente no puedo pasar para allá y
lo que me interesa básicamente este
resultado que va a quedar aquí en el
numerador
o sea calcula derivada de esto
sería igual a
y cuadrados y le cuadrado
con la primera derivada de el numerador
que tenía simplemente 2 l si la primera
derivada x gl al multiplicar por g l me
quedaría en el pagado por g - ahora esto
por la derivada de esto la derivada
cacería que habría que multiplicar esto
porque la que sería medio de re cuadrado
por g - cl cuadrado
ahora que te das cuenta
solamente considerando el numerador
tendría que acá tengo 2 l cuadrado de gm
en l cuadrado sería simplemente g l
cuadrado
- un medio
es igual a cero
y por lo tanto l cuadrado tenía igual a
r cuadrado / / 2 que por lo tanto la l
tiene que ser
r vídeo la raíz de dos o sea él es igual
a 2.5 dividido a raíz de dos
el resultado nos da
punto 52 / me da punto 35 metros ahí
tenemos entonces cuando debe ser el
valor l
el periodo sea mínimo
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