PROPIEDADES DE LOS LÍMITES CON EJEMPLOS (Para principiantes)
Summary
TLDREste video explica las propiedades fundamentales de los límites en matemáticas, ejemplificando con operaciones como suma, resta, producto, cociente y potencias. Se ilustra cómo calcular el límite de una constante, variable, funciones algebraicas y radicales, así como cómo manipular límites de expresiones complejas mediante la aplicación de propiedades especiales de los límites.
Takeaways
- 📘 Las propiedades de los límites son fundamentales en el cálculo y se pueden aplicar a diferentes funciones y variables.
- 🔢 El límite de una constante es la constante misma, por ejemplo, \(\lim_{{x \to 3}} 5 = 5\).
- 📍 El límite de una variable que tiende a un valor constante es igual a ese valor, por ejemplo, \(\lim_{{x \to 2}} x = 2\).
- 🆙 El límite de una variable elevada a un poder, cuando esta tiende a un valor, es igual al valor elevado a ese poder, \(\lim_{{x \to 3}} x^2 = 3^2 = 9\).
- 🌱 El límite de una raíz n-ésima de una variable, cuando esta tiende a un valor, es igual a la raíz n-ésima de ese valor, siempre que el valor sea mayor que 0.
- 🧮 El límite del producto de una función por una constante es igual al producto de la constante por el límite de la función, \(\lim_{{x \to 2}} 4x^2 = 4 \cdot \lim_{{x \to 2}} x^2 = 4 \cdot 4 = 16\).
- 🔄 El límite de una suma o resta es igual a la suma o resta de los límites, \(\lim_{{x \to 3}} (3x + 4x) = 3 \cdot \lim_{{x \to 3}} x + 4 \cdot \lim_{{x \to 3}} x = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 21\).
- 🔗 El límite de un producto es igual al producto de los límites, \(\lim_{{x \to 2}} (2x \cdot 4x) = \lim_{{x \to 2}} 2x \cdot \lim_{{x \to 2}} 4x = 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32\).
- ⚖️ El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero, \(\lim_{{x \to 5}} \frac{3x - 12}{4x - 19} = \frac{3 \cdot 5 - 12}{4 \cdot 5 - 19} = \frac{15 - 12}{20 - 19} = 3\).
- 🌀 El límite de una potencia enésima es igual a la potencia enésima del límite, \(\lim_{{x \to 3}} (2x)^3 = 2^3 \cdot \lim_{{x \to 3}} x^3 = 8 \cdot 3^3 = 216\).
- 🌐 El límite de una raíz enésima es igual a la raíz enésima del límite, y si la raíz es de un número par, el límite de la función debe ser mayor que 0, \(\lim_{{x \to 2}} \sqrt[3]{4x} = \sqrt[3]{4 \cdot \lim_{{x \to 2}} x} = \sqrt[3]{4 \cdot 2} = 2\).
Q & A
¿Qué son las propiedades especiales de los límites que se mencionan en el guion?
-Las propiedades especiales de los límites mencionadas son: el límite de una constante, el límite de una variable, el límite de x elevado a un grado n, y el límite de la raíz n-ésima de x.
¿Cómo se define el límite de una constante según el guion?
-El límite de una constante es igual a esa misma constante. Por ejemplo, si tomamos el límite de 5 cuando x tiende a 3, el resultado es 5.
¿Cuál es la diferencia entre el límite de una constante y el límite de una variable que tiende a un valor?
-El límite de una constante siempre es la constante misma, mientras que el límite de una variable que tiende a un valor es el valor constante al cual esa variable tiende.
¿Cómo se calcula el límite de x al cuadrado cuando x tiende a un número específico, según el guion?
-Para calcular el límite de x al cuadrado cuando x tiende a un número específico, se sustituye ese número en lugar de x y se eleva al cuadrado.
¿Qué significa el límite de la raíz n-ésima de x cuando x tiende a un número, y cómo se calcula?
-El límite de la raíz n-ésima de x cuando x tiende a un número significa tomar la raíz n-ésima del número al que tiende x. Se calcula sustituyendo el número por x y luego calculando la raíz n-ésima.
¿Cómo se aplica la propiedad del límite del producto de una función por una constante?
-La propiedad del límite del producto de una función por una constante se aplica dejando la constante fuera del límite y tomando el límite de la función, luego multiplicando el resultado por la constante.
¿Qué propiedad se utiliza para calcular el límite de una suma o resta de funciones?
-Para calcular el límite de una suma o resta de funciones, se utiliza la propiedad que establece que el límite de una suma o resta es igual a la suma o resta de los límites individuales.
¿Cuál es la propiedad que se aplica al calcular el límite de un producto de funciones?
-La propiedad que se aplica al calcular el límite de un producto de funciones es que el límite del producto es igual al producto de los límites.
¿Cómo se calcula el límite de un cociente de funciones según el guion?
-El límite de un cociente de funciones se calcula dejando el límite del numerador sobre el límite del denominador, siempre y cuando el límite del denominador no sea cero.
¿Qué significa el límite de una potencia enésima y cómo se calcula?
-El límite de una potencia enésima significa tomar el límite del numerador y luego elevarlo a la potencia n-ésima. Se calcula conservando la potencia y sustituyendo el límite dentro de la potencia.
¿Cuál es la consideración importante al calcular el límite de la raíz enésima de una función?
-La consideración importante al calcular el límite de la raíz enésima de una función es que si la raíz es de un número par, el límite de la función debe ser mayor que 0.
Outlines
📘 Propiedades de los límites en matemáticas
Este párrafo explica las propiedades fundamentales de los límites en matemáticas. Se mencionan cuatro propiedades principales: el límite de una constante, el límite de una variable que tiende a una constante, el límite de una variable elevada a un poder cuando tiende a una constante y el límite de una raíz n-ésima de una variable que tiende a una constante. Se utilizan ejemplos concretos para ilustrar cada propiedad, como el límite de 5 cuando x tiende a 3, que es igual a 5, o el límite de x al cuadrado cuando x tiende a 3, que es igual a 9. También se aborda el límite del producto de una función por una constante, mostrando cómo se multiplica el límite de la función por la constante.
🔢 Aplicación de propiedades de los límites para sumas y productos
En este segundo párrafo se continúa la explicación de las propiedades de los límites, centrándose en cómo se aplican a sumas y productos. Se detalla cómo el límite de una suma o resta es igual a la suma o resta de los límites individuales. Se ilustra con el ejemplo del límite de 3x + 4x cuando x tiende a 3, que resulta en 21. También se explica cómo el límite de un producto es igual al producto de los límites, utilizando el ejemplo del límite de 2x * 4x cuando x tiende a 2, que da como resultado 32. Además, se introduce la propiedad de los límites de cocientes, recordando que el límite del denominador no debe ser cero.
🔄 Límites de potencias y raíces
El tercer párrafo se enfoca en las propiedades de los límites para potencias y raíces. Se explica que el límite de una potencia enésima es igual a la potencia enésima del límite, y se ejemplifica con el límite de (2x)^3 cuando x tiende a 3, que resulta en 216. También se aborda el límite de una raíz enésima, señalando que si el índice de la raíz es par, el límite de la función debe ser positivo. Se ilustra con el ejemplo del límite de la raíz cúbica de 4x cuando x tiende a 2, que da como resultado 2. Estos ejemplos muestran cómo se aplican las propiedades de los límites para resolver problemas más complejos.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Constante
💡Variable
💡Potencia
💡Producto
💡Suma
💡Resta
💡Coeficiente
💡Raíz
💡Cociente
💡Propiedad especial
Highlights
El límite de una constante es igual a esa misma constante.
El límite de una variable cuando tiende a una constante es igual a esa misma constante.
El límite de x elevado a n cuando x tiende a una constante es igual a esa constante elevada a n.
El límite de la raíz n-ésima de x cuando x tiende a una constante es igual a la raíz n-ésima de esa constante.
El límite del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por el límite de la función.
El límite de una suma o resta es igual a la suma o resta de los límites.
El límite de un producto es igual al producto de los límites.
El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero.
El límite de una potencia enésima es igual a la potencia enésima del límite.
El límite de una raíz n-ésima es igual a la raíz n-ésima del límite, si el límite es mayor que cero.
Ejemplo: el límite de 5 cuando x tiende a 3 es igual a 5, ya que el número 5 es la constante.
Ejemplo: el límite de x^2 cuando x tiende a 3 es igual a 9, aplicando la propiedad de potencias.
Ejemplo: el límite de 4x^2 cuando x tiende a 2 es igual a 16, aplicando la propiedad de productos.
Ejemplo: el límite de la raíz cúbica de 4x cuando x tiende a 2 es igual a 2.
Ejemplo: el límite de 3x menos 12 sobre 4x menos 19 cuando x tiende a 5 es igual a 3, aplicando la propiedad de cocientes.
Transcripts
[Música]
vamos a explicar las propiedades de los
límites con su respectivo ejemplo en
este caso debemos suponer que el límite
de la función eje de xy gdx existe
entonces primero iniciamos con estas
cuatro propiedades que se identifican
como propiedades especiales de los
límites entonces en la primera propiedad
tenemos el límite de una constante
cuanto extiende aa es igual a esa misma
constante por ejemplo si tenemos el
límite de 5 cuando x tiende a 3 es igual
a 5 el número 5 sustituye a la letra c o
más bien el número 5 es la constante y
en la siguiente propiedad
el límite de una variable cuando ésta
tiende a a es decir esa misma variable
tiende a una constante vamos a
identificar a la letra como una
constante es igual a esa misma constante
ok entonces por ejemplo si tenemos el
límite de x cuanto x tiende a 2
base igual a 2 en este caso el número 2
sustituye a la letra a entonces quiere
decir que es igual a ese mismo número y
en la siguiente propiedad tenemos el
límite de x a bain en cuanto x tiende a
a
es igual a alva m
entonces observamos el ejemplo si
tenemos el límite de x al cuadrado
cuando x tiende a 3 es igual
la letra aquí la tenemos en este caso es
el número 3 entonces conservamos el
número 3 y en lugar de n sustituimos el
número 2
entonces tenemos 3 al cuadrado y 3 al
cuadrado es igual a 9 y luego la
siguiente propiedad tenemos el límite de
la raíz n encima de x cuando extiende a
es igual a la raíz n o enésima de a en
este caso n es un entero positivo y la
letra a debe ser mayor que 0 observemos
el ejemplo si tenemos el límite de la
raíz
de x cuando extiende a 4
es igual a la raíz cuadrada
de 4 lugar de a sustituimos el número 4
y calculamos la raíz cuadrada de 4 y
obtenemos 2 ahora pasamos con la
siguiente propiedad entonces el límite
del producto de una función por una
constante es igual al producto de la
constante por el límite de la función en
este caso el número 4 es la constante y
x al cuadrado es la función entonces
siguiendo la propiedad conservamos el
número 4 y dejamos el límite
de equis a un cuadrado cuando x tiende a
dos y ahora resolvemos conservamos el
número 4 y el límite de x al cuadrado
cuando x tiende a 2 aquí vamos a aplicar
la tercera propiedad que ya explicamos
entonces quiere decir que 4 va a
multiplicar con 2 al cuadrado y ahora
resolvemos esta potencia 2 al cuadrado
es igual a 4 y 4 x 4 es igual a 16
entonces el límite de 4x ser cuadrado
cuando x diente a 2 es igual a 16 ahora
seguimos con la siguiente propiedad y en
esta propiedad el límite de una suma o
resta es igual a la suma o resta de los
límites entonces en este caso tenemos el
límite de 36 de 4x cuando x 103
que va a ser igual al límite de 3x
cuando x tiende a tres más el límite
de 4x cuando x tiende a 3 y pero
resolver cada uno de estos límites
aplicamos esta propiedad entonces
dejamos el número 3 que multiplica como
el límite de x cuando x tiende a tres
más
4 que multiplica con el límite de x
cuando extiende a 3 y en el límite de x
cuando eficiente a 3 ahí vamos a aplicar
la propiedad número 2 que ya analizamos
entonces dejamos 3 que multiplica y el
límite de x cuando eficiente a 3 es
igual a 3 más
4 que multiplica y el límite de x cuando
es lo mismo es igual a 3
ahora resolvemos las multiplicaciones 3
por 3 nos da 9 + 4 por 3 es igual a 12 y
9 + 12 es igual a 21 y si observamos en
el procedimiento si hacemos la
sustitución directa es decir en lugar de
x sustituimos 3 y 3 por 3 es igual a 9
lo mismo este lado sustituimos 3 y 4 por
3 obtenemos 12 entonces quiere decir que
nos podemos saltar estos dos pasos pero
me interesa que entiendan cómo se van
aplicando cada una de las propiedades
que ya analizamos y si en lugar de una
suma tenemos una resta lo único que
hacemos es
en lugar del signo positivo vamos a
tener el signo negativo y seguimos el
mismo procedimiento ahora seguimos con
la siguiente propiedad y en este caso el
límite de un producto es igual al
producto de los límites entonces en este
caso tenemos el límite de 2x con 4x
cuando el siguiente a 2 siguiendo la
propiedad nos queda de la siguiente
forma dejamos el límite
de 2 x cuando x tiende a 2 por el límite
de 4x cuando x siendo
a 2 y en este caso en cada uno de estos
límites aplicamos esta propiedad y
entonces dejamos el número 2 que es la
constante que multiplica con el límite
de x cuando se extiende a 2 x 4
en este caso 4 es la constante que
multiplica con el límite de x cuando x
tiende a 2 y en el límite cuando x 102
aplicamos la propiedad número 2 que ya
analizamos previamente entonces dejamos
2 que multiplica con 2 en lugar de x
sustituimos 2 que multiplica con 4 por
el número 2 y por último multiplicamos 2
por 2 4 4 por 4 16 y 16 por 2 es igual a
32
entonces el límite de 2 x 14 x cuando
embistiendo a 2 es igual a 32 y en la
siguiente propiedad se trata de un
y un cociente y el límite de un cociente
es igual al cociente de los límites en
este caso se debe tener en cuenta que el
límite del denominador debe ser distinto
de 0 recordar que en un cociente no
debemos tener 0 en el denominador ahora
siguiendo esta propiedad pasa vamos a
resolver el siguiente límite
el límite de 3x menos 12 sobre 4x menos
19 cuando x 105 entonces de acuerdo a la
propiedad dejamos el límite de 3x menos
12 cuando x tiende a 5 sobre el límite
de 4x menos 19 cuando extiende a 5 y en
el límite el numerador y del denominador
vamos a aplicar esta propiedad es decir
el límite de una diferencia que va a ser
igual a la diferencia de los límites y
entonces dejamos
el límite de 13 x cuando x tiende a 5 -
el límite
de 12 cuando x tiende a 5 sobre el
límite de 4 x cuando eficiente a 5 menos
el límite de 19 cuando x siente a 5 y en
el límite de 3 x cuando existente a 5
ahí vamos a aplicar esta propiedad
entonces en este caso vamos a hacer la
sustitución directa es decir que vamos a
sustituir 5 en lugar de x entonces
dejamos 3 que multiplica con 5 menos y
en el límite de 12 cuando x 105 es igual
a 12 recordar que ya aplicamos la
primera propiedad que explicamos y en el
límite de 4x cuanto eficientes 5 de la
misma forma
conservamos el número 4 y en lugar de x
sustituimos el número 5 menos
en el límite de 19 en cuanto x 105 es
igual a 19 resolvemos las operaciones
que tenemos 3 por 5 que es igual a 15
menos 12 45 es igual a 20 menos 19
finalmente resolvemos las diferencias en
el numerador y en el denominador y 15
menos 12 es igual a 320 menos 19 es
igual a 1 entonces 3 entre 1 es igual a
3
simplemente borramos el número 1 y nos
queda el número 3 entonces quiere decir
que el límite de esta expresión o
consciente cuando eficiencia 5 es igual
a 3
y enseguida pasamos con la siguiente
propiedad y el límite de una potencia
enésima es igual a la potencia enésima
del límite en este caso n es un entero
positivo entonces siguiendo esta
propiedad resolvemos el siguiente
ejemplo conservamos el límite de 2 x
cuando x siente a 3 protegemos con
paréntesis
en lugar de n sustituimos el número 3 y
en el límite de 2 x cuando x tiende a 3
aplicamos esta propiedad y entonces
conservamos el paréntesis y dejamos 2
que multiplica con el límite de x cuando
extiende a 3
elevamos al cubo y en el límite
davis cuando x tiende a 3a y aplicamos
la segunda propiedad que explicamos al
inicio entonces conservamos el número 2
que multiplica con 3 aquí sustituimos 3
en lugar de x
elevamos al cubo y 2 por 3 es igual a 6
6 al cubo es igual a 216 entonces el
límite de 2x al cubo cuando x tiende a 3
es igual a 216 y finalmente tenemos el
límite de la raíz enésima que es igual a
la raíz encima del límite en este caso
si n es un número par el límite de fx
debe ser mayor que 0 entonces siguiendo
esa propiedad vamos a resolver el
siguiente ejemplo entonces dejamos la
raíz cúbica en este caso en lugar de n
sustituimos el número 3 y dentro del
radical vamos a dejar el límite
de 4x cuando x tiende a 2 y en seguida
calculamos el límite que tenemos dentro
del radical y ahí vamos a aplicar esta
propiedad entonces dejamos 4 que es la
constante que multiplica con el límite
de x cuando x tiende a 2 y en el
siguiente paso aplicamos la segunda
propiedad de las propiedades especiales
que explicamos al inicio y entonces
dejamos 4 que multiplica con el límite
de x cuando eficiente a 2 que es igual a
2 y ahora multiplicamos
4 por 2 y obtenemos 8 finalmente
resolvemos esta raíz cúbica y raíz
cúbica de 8 que es igual a dos porque si
multiplicamos dos por dos obtenemos
cuatro y cuatro por dos es igual a ocho
entonces quiere decir que el límite de
la raíz cúbica de 4x cuando x tiende a 2
es igual a 2
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