91. Ecuación diferencial de coeficientes constantes, con raíces complejas EJERCICIO RESUELTO
Summary
TLDREn este video educativo, se explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, específicamente la ecuación y'' - 6y' + 13y = 0. Se describe el proceso de encontrar la solución general a través de la ecuación característica y cómo lidiar con soluciones complejas involucrando números complejos. Se utiliza la identidad de Euler para transformar las soluciones complejas en una forma más manejable, usando senos y cosenos. El vídeo concluye con un ejercicio práctico y un llamado a la acción para que el público likee, se suscriba y comparta el contenido.
Takeaways
- 🧮 La ecuación diferencial que se resuelve es y'' - 6y' + 13y = 0, una ecuación de coeficientes constantes.
- 📝 La solución de una ecuación de coeficientes constantes sigue la forma y = e^(r*x), y se parte de la ecuación característica.
- 🔢 La ecuación característica asociada es r² - 6r + 13 = 0, que se resuelve usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.
- ➗ En este caso, se obtienen raíces complejas: r1 = 3 + 2i y r2 = 3 - 2i, las cuales llevan a una solución diferente a las raíces reales.
- 📐 Para las raíces complejas, la solución general toma la forma y = e^(a*x) [c1*cos(b*x) + c2*sin(b*x)], donde a es la parte real (3) y b es el coeficiente imaginario (2).
- 🔍 Se explica detalladamente cómo calcular las raíces complejas utilizando números complejos y aplicando la fórmula cuadrática.
- 🔄 La exponencial de un número complejo se descompone usando la identidad de Euler: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x), lo que conecta la exponencial con las funciones trigonométricas.
- 💡 La solución general para este tipo de ecuación diferencial es y = e^(3x) [c1*cos(2x) + c2*sin(2x)].
- 📊 El proceso de deducir esta solución a partir de la ecuación diferencial se muestra paso a paso, enfatizando la importancia de las funciones trigonométricas.
- 📚 Al final, se deja un ejercicio similar para resolver: y'' + 2y' + 2y = 0, y se menciona que las soluciones serán también complejas, aplicando la misma fórmula.
Q & A
¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el video?
-Se resuelve una ecuación diferencial de coeficientes constantes de la forma y'' - 6y' + 13y = 0.
¿Cómo se inicia el proceso de resolución de la ecuación diferencial?
-Se inicia diciendo que la solución de la ecuación será de la forma y = e^(rx).
¿Cuál es la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial mostrada?
-La ecuación característica asociada es r^2 - 6r + 13 = 0.
¿Cómo se resuelve la ecuación de segundo grado obtenida?
-Se resuelve mediante la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
¿Cuál es el resultado de aplicar la fórmula general a la ecuación característica?
-El resultado es r = (6 ± √((-6)^2 - 4*1*13)) / (2*1), lo que da r = 3 ± 4i.
¿Qué significa que la solución a la ecuación característica sea un número complejo?
-Significa que las soluciones generales de la ecuación diferencial incluirán funciones senos y cosenos en lugar de solo exponenciales.
¿Cómo se adapta la solución general de la ecuación diferencial cuando las raíces son complejas?
-Se utiliza la fórmula y = e^(ax) * (c1 * cos(bx) + c2 * sin(bx)), donde a es la parte real de la raíz compleja y b es la parte imaginaria.
¿Por qué se prefiere expresar la solución general sin números complejos?
-Se prefiere para facilitar la interpretación y el manejo de la solución, ya que los senos y cosenos son funciones reales.
¿Qué es la identidad de Euler mencionada en el video y cómo se relaciona con la ecuación diferencial?
-La identidad de Euler es e^(ix) = cos(x) + i * sin(x), y se relaciona con la ecuación diferencial al permitir expresar las soluciones complejas en términos de funciones senos y cosenos.
¿Cómo se demuestra que la solución general con raíces complejas se puede reducir a la fórmula mencionada?
-Se demuestra aplicando propiedades de las exponenciales y de las funciones trigonométricas, y mostrando que la combinación lineal de las soluciones correspondientes a las raíces complejas se puede factorizar y simplificar para obtener la fórmula general.
¿Cuál es la ecuación diferencial que se propone como ejercicio al final del video?
-La ecuación diferencial propuesta como ejercicio es y'' + 2y' + 2y = 0.
Outlines
📘 Introducción a la ecuación diferencial con coeficientes constantes
El vídeo comienza explicando cómo resolver una ecuación diferencial de coeficientes constantes de la forma y'' - 6y' + 13y = 0. Se menciona que la solución general para este tipo de ecuaciones se expresa en términos de e^(rx). Para encontrar la solución, se construye la ecuación característica obtenida reemplazando y'' por r^2, y' por r y y por 1, lo que resulta en la ecuación r^2 - 6r + 13 = 0. Se resuelve esta ecuación de segundo grado usando la fórmula general para raíces de ecuaciones de segundo grado, obteniendo raíces complejas.
🔍 Solución de la ecuación característica y raíces complejas
Se procede a resolver la ecuación característica obtenida, la cual es un segundo grado, y se obtienen raíces complejas. Se explica que, al obtener raíces complejas, la solución general de la ecuación diferencial involucra números complejos. Se introduce la fórmula para resolver ecuaciones con raíces complejas, que implica la existencia de dos soluciones posibles para cada raíz compleja, una con el signo positivo y otra con el signo negativo. Se sugiere que, aunque se pueden considerar ambas raíces, en la solución general se elige una de ellas para evitar la inclusión de números complejos.
📐 Aplicación de la fórmula para raíces complejas y demostración
Se detalla cómo se utiliza la fórmula para raíces complejas en la solución general de la ecuación diferencial. Se explica que, al emplear la fórmula e^(ix) = cos(x) + i*sin(x), se pueden transformar las partes complejas de la solución en funciones senos y cosenos. Se demuestra paso a paso cómo se llega a la solución general y se factoriza la exponencial, mostrando cómo las constantes arbitrarias c1 y c2 se combinan con las funciones trigonométricas para formar la solución completa. Se enfatiza la importancia de comprender este proceso para resolver ecuaciones diferenciales con raíces complejas.
🔗 Conclusión y ejercicios adicionales
El vídeo concluye con una invitación a los espectadores para que resuelvan un ejercicio similar y se ofrecen instrucciones para verificar sus respuestas en los siguientes videos. Se menciona la importancia de aplicar la fórmula de Euler para resolver ecuaciones con raíces complejas y se alude a que, en futuras ocasiones, se utilizará directamente la fórmula sin necesidad de deducirla cada vez. Finalmente, se invita a los espectadores a dejar comentarios si tienen preguntas o sugerencias y se les recuerda suscribirse y compartir los videos.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación diferencial
💡Solución general
💡Ecuación característica
💡Coeficientes constantes
💡Raíz compleja
💡Número imaginario
💡Función par
💡Función impar
💡Identidad de Euler
💡Constante arbitraria
Highlights
Introducción al vídeo sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes.
Explicación de que la solución de la ecuación diferencial será de la forma y = e^(rx).
Forma de escribir la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial.
Colocación de términos en la ecuación característica basada en las derivadas de y.
Obtención de la ecuación r^2 - 6r + 13 = 0 a partir de la ecuación característica.
Resolución de la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general.
Explicación de los coeficientes a, b y c en la fórmula general de la ecuación de segundo grado.
Cálculo de los valores de r utilizando la fórmula general.
Obtención de raíces complejas para la ecuación diferencial.
Transformación de la raíz cuadrada de un número negativo en un número complejo.
Explicación de la representación de números complejos y su relación con la raíz cuadrada de -1.
Consideración de dos posibilidades para los valores de r: 3 + 2i y 3 - 2i.
Sustitución de los valores de r en la ecuación y = e^(rx) para obtener soluciones.
Diferenciación entre el manejo de valores reales y complejos en las soluciones de ecuaciones diferenciales.
Uso de una fórmula especial para soluciones generales cuando las raíces son complejas.
Explicación de la fórmula y = e^(a*x) * (c1*cos(b*x) + c2*sin(b*x)) para raíces complejas.
Demostración de cómo se deduce la fórmula para soluciones generales a partir de las raíces complejas.
Uso de propiedades de las exponenciales para simplificar la solución general.
Aplicación de la identidad de Euler para transformar exponenciales complejas en funciones trigonométricas.
Utilización de propiedades de funciones trigonométricas para simplificar la solución.
Factorización de la solución general en términos de constantes arbitrarias y funciones trigonométricas.
Conclusión sobre cómo se obtiene la solución general de una ecuación diferencial con raíces complejas.
Propuesta de un ejercicio similar para resolver la ecuación diferencial y'' + 2y' + 2y = 0.
Invitación a los espectadores a dejar comentarios, suscripciones y compartir el vídeo si les gustó.
Transcripts
Hola y bienvenidos a otro video de Mate
fácil en este video vamos a resolver la
siguiente ecuación diferencial de
coeficientes constantes yv prima - 6y
prima + 13y = 0 como es una ecuación de
coeficientes constantes empezamos
diciendo que su solución va a ser de
esta manera y = e elevado RX y
escribimos la ecuación característica de
nuestra ecuación diferencial Recuerden
que la ecuación característica la
podemos escribir a partir de la forma
que tiene la propia ecuación diferencial
donde aparece la segunda derivada de y
vamos a poner una r cuadrada donde
aparece la primer derivada de y vamos a
poner una r y donde aparezca únicamente
y no vamos a poner nada nada más
colocamos el puro coeficiente de Y
entonces nos queda r cu - 6r + 13 = 0
ahora tenemos aquí una ecuación de
segundo grado que podemos resolver
mediante la fórmula general la fórmula
general recordemos es esta de
aquí aquí hay que recordar que a es el
coeficiente de la r cuadrada que en este
caso vale 1 B es el coeficiente de r que
en este caso Vale -6 y C es el término
independiente que en este caso es 13
Simplemente hay que sustituir aquí en la
fórmula y obtenemos lo siguiente
empezamos poniendo que r es igual a - b
que es -6 más menos la raí cu de B
cuadrada - 4 * a que vale 1 * C que vale
13 sobre 2 * a que vale 1 y lo siguiente
que tenemos que hacer son las
operaciones que están siendo aquí
indicadas lo primero es multiplicar y
elevar al cuadrado Entonces vamos a
hacer esta multiplicación menos por
menos da más entonces queda 6 positivo
-6 cu es 36 positivo porque cualquier
número negativo al cuadrado se convierte
en positivo luego Aquí 4 * 1 4 * 13 son
52 entonces queda -52 y aquí 2 * 1 2
ahora hacemos esta resta 36 - 52 Y eso
nos da
-16 en este caso esta raíz cuadrada no
nos da un número real como resultado ya
que se trata de una raíz cuadrada de un
número que es
negativo Entonces el resultado va a ser
un número complejo simplemente lo que
hacemos es obtener la raíz cuadrada del
número 16 que es 4 y multiplicarla por
el número complejo
I es decir la raíz cuadrada de -16 es la
raíz de 16 que es el número positivo o
sea lo consideramos sin signo que es 4 y
como en este caso se trata de un número
negativo hay que agregarle esta I esto
es de números complejos si nunca han
visto números complejos Bueno pues
simplemente aquí hay que tener en cuenta
que y lo pueden pensar lo pueden
imaginar como si fuera la raíz cuadrada
de -1
estrictamente la definición de I es un
poco distinta pero lo podrían imaginar
como si fuera la raíz cuadrada de -1 y
como si aquí lo que estuviéramos
haciendo es raíz cuadrada de -1 * 16
Entonces es raí -1 * ra 16 la raíz de 16
es 4 y la raí de -1 es
I Así es básicamente entonces aquí
tenemos un número que es
complejo Bueno entonces igual que antes
vamos a considerar dos posibilidades el
signo posito y el signo negativo a R1 le
vamos a poner cuando es el signo
positivo que es 6 + 4i sobre 2 que
podemos separar bueno como como Tenemos
aquí una fracción con una suma en el
numerador lo podemos Separar en dos
fracciones 6 / 2 + 4i sobre 2 y aquí
podemos hacer algunas divisiones 6 / 2
nos da 3 4 / 2 nos da 2 entonces nos
queda el número 3 + 2i que es un número
complejo y por otro lado si tomáramos el
signo negativo simplemente haríamos todo
Exactamente igual nada más que aquí en
lugar de un signo más tenemos un signo
menos así que el resultado termina
siendo 3 -
2i Bueno ahora lo que normalmente
hacemos cuando hemos obtenido los
valores de r es sustituirlos aquí
en en donde pusimos al principio y = e a
la RX aquí en la r es donde sustituimos
los valores de r Pero eso lo hacemos
únicamente cuando hemos obtenido valores
reales Por ejemplo si aquí hubiéramos
obtenido un cco y aquí hubiéramos
obtenido un do tendríamos que una
solución sería y = e a la 5x y otra
sería y = e a la 2x pero cuando hemos
obtenido números complejos como aquí
donde aparece la i la situación es un
poco distinta lo que vamos a hacer es
utilizar una fórmula esta fórmula de
aquí cuando nosotros tenemos una raíz de
la forma a + b la solución general va a
ser de esta forma y = a e elevado a AX
donde a es la parte que no tiene la i
que en este caso sería el 3
y luego eso multiplicado por c1 coseno
de BX + C2 por el seno de BX donde B es
el coeficiente de la i en este caso el
dos aquí el dos se pone sin necesidad de
poner el signo menos O sea en realidad
siempre que tengamos una raíz
compleja vamos a tenerla doble siempre
van a ser dos raíces complejas y la
única diferencia entre una raíz compleja
y la otra es que la parte que tiene la i
una queda positiva y la otra queda
negativa nosotros debemos tomar
únicamente una de esas raíces complejas
podemos tomar únicamente la que tiene la
positiva es esta de aquí 3 + 2i y
quedarnos Entonces como con a como 3 y
con b como 2 y usar esta fórmula Y
entonces en este caso la solución
general termina siendo y = e a la 3x
porque dice en primer lugar e elevado a
AX y como ya dijimos a vale 3 entonces
queda e a la 3x y esto multiplicado por
c1 coseno de BX en este caso como B vale
2 pues queda c1 coseno de 2x + C2 seno
de 2x y estas es la solución general de
nuestra ecuación diferencial Cuando
tenemos una raíz compleja bueno en este
punto algunos de ustedes pueden tener la
duda de Por qué es que se hace De esta
manera y no eh se sustituye aquí más
bien en la r 3 + 2i y 3 - 2i y se hace
como en las otras ocasiones bueno
básicamente la razón es que queremos
expresar la solución general de nuestra
ecuación diferencial sin utilizar
números complejos Y si
esta fórmula entonces quédense en el
video porque voy a demostrar ahora cómo
es que a partir de estas dos raíces
obtenemos esta solución general y o
bueno si no les interesa mucho saber
esta razón pues pueden pasar al final
del video donde les dejo un ejercicio y
continuar viendo los demás videos porque
a partir de ahora voy a eh mostrarles De
dónde sale esta solución
general Bueno entonces vamos a ver de
dónde sale esa fórmula que les mostraba
hace un un momento con este mismo
ejemplo hemos obtenido dos raíces para
la ecuación característica que han sido
números complejos el número 3 + 2i y el
número 3 - 2i vamos a escribir la
solución general de esta ecuación
diferencial como lo hemos hecho
anteriormente colocando aquí en r el 3 +
2i y el 3 - 2i y escribiendo la solución
como una combinación lineal es decir
escribimos que y es igual a una
constante arbitraria c1 * e elevado 3 +
2i por x y más una constante C2 * e
elevado a 3 - 2i * x Esto es lo que
hemos estado haciendo en los ejercicios
anteriores simplemente colocar cada una
de las raíces en r obtenemos dos
soluciones y a cada una la multiplicamos
por una constante arbitraria y
escribimos eso como una combinación
lineal Bueno ahora Aquí vamos a aplicar
algunas propiedades para empezar podemos
hacer la multiplicación 3 * x y 2i * x y
entonces nos queda 3 * x 3x 2i * x queda
2 i x que bueno vamos a a expresar como
I * 2x ahorita vamos a ver por qué
conviene escribir la y en primer lugar y
Aquí hacemos lo mismo 3 * x quea 3x y
aquí -2i * x vamos a escribirlo como - I
* 2x Bueno ahora tenemos la exponencial
de una suma sabemos nosotros que la
exponencial de una suma la podemos
separar como un producto de
exponenciales o sea lo podemos separar
como e a la 3x * e a la i * 2x y aquí
también e a la 3x * e a la - i * 2x eso
es por leyes de exponentes cuando
nosotros multiplicamos potencias los
exponentes se suman Entonces si tenemos
una suma de exponentes lo podemos
separar como un producto de potencias
ahora Aquí vamos a utilizar una fórmula
que es una fórmula conocidísima en
variable compleja en cálculo complejo si
nunca han visto variable compleja Bueno
no importa de todas formas Esta es la
fórmula que que se utiliza y que ya
llegarán a ver en algún momento la
fórmula es esta de aquí e elevado a ix
es igual al coseno de X + I * el seno de
X La exponencial de un número complejo
está muy relacionada con las funciones
trigonométricas de esta manera Entonces
esta fórmula la vamos a utilizar con
esta exponencial y con esta exponencial
que son las que tienen la i en el
exponente por eso es que convenía
escribir la i al principio porque aquí
podemos ya ver que para poder utilizar
esta fórmula vamos a tomar x como el 2x
de aquí en este caso y en este caso como
-2x o sea con todo y el signo negativo
entonces aplicamos la fórmula y nos
queda lo siguiente nos queda c1 * e a la
3x que es esta parte del principio y ya
en lugar de escribir e a la i * 2x
ponemos coseno de 2x que es esta parte +
I * el seno de 2x eso con esta
exponencial y con la otra exponencial
Algo similar nada más que en este caso
se va tomar como -2x entonces va a
quedar coseno de -2x má y por el seno de
-2x Aquí vamos a utilizar una propiedad
de las funciones trigonométricas que es
la de que el coseno es una función par y
el seno es una función impar o sea
coseno de menos teta es igual al coseno
de teta y el seno de os teta es igual a
menos el seno de teta en el caso del
seno el signo menos se puede sacar hasta
acá afuera y en el caso del coseno se
puede quitar eso es lo que significa que
el coseno sea una función par y que el
seno sea una función impar entonces
usamos esas propiedades aquí para quitar
esos signos negativos y entonces esto lo
podemos escribir como coseno de 2x como
el coseno es función par simplemente
quitamos el signo menos y como el seno
es función impar extraemos este signo
menos lo ponemos hasta acá afuera
multiplicamos menos por más queda menos
entonces queda coseno de 2x - y por el
seno de
2x bueno ahora lo que vamos a hacer es
multiplicar esta suma por el la
constante c1 y esta suma por la
constante C2 no vamos a multiplicar por
la exponencial porque ahorita la vamos a
factorizar en el siguiente paso entonces
simplemente vamos a multiplicar por las
constantes Y entonces nos queda en el
primer caso la exponencial de 3x esa la
seguimos dejando afuera del paréntesis
simplemente multiplicamos c1 * coseno de
2x que es c1 coseno de 2x y c1 por el
seno de 2x y luego Aquí también lo mismo
C2 * coseno de 2x y C2 por el seno de de
2x bueno ahora tenemos aquí una
exponencial aquí otra exponencial
podemos
factorizarlos únicamente e a la 3x y
entre paréntesis colocamos lo de este
paréntesis y lo de este otro o sea
ponemos c1 coseno de 2x + I c1 seno de
2x que es lo de los primeros paréntesis
y lo de los segundos paréntesis quedaría
aquí + C2 coseno de 2x - I C2 seno de
2x bueno ahora aquí podemos también
factorizar algunas cosas podemos
factorizar el coseno de 2x y podemos
factorizar el seno de 2x Entonces vamos
a factorizarlos y nos queda de esta
manera cuando factorizamos coseno de 2x
las constantes que están multiplicando
al coseno son c1 + C2 Entonces eso queda
en un paréntesis y cuando factorizamos
seno de 2x lo que está multiplicando al
seno de 2x es ic1 men
ic2 ahora Aquí vamos a razonar esto de
la siguiente manera Tenemos aquí una
constante arbitraria c1 + una constante
arbitraria C2 cuando nosotros sumamos
dos constantes arbitrarias lo que
obtenemos como resultado sigue siendo
una constante
arbitraria aquí lo mismo y por c1 y por
C2 son constantes arbitrarias Aunque
tengan este número complejo el número
complejo I también es una
constante Entonces estamos haciendo una
resta de constantes arbitrarias Por lo
cual el resultado sigue siendo una
constante arbitraria que es distinta de
esta otra constante arbitraria Así que
esta constante arbitraria la vamos a
colocar como c1 y esta como C2 pero con
minúsculas para diferenciarlas entonces
ponemos aquí c1 con coseno de 2x y C2
con seno de 2x y noten que esto de aquí
es exactamente la solución general que
les había mostrado hace un momento con
la fórmula entonces así es básicamente
Cómo se deduce la fórmula que les
mostraba hace un momento y que es la
fórmula que estaremos utilizando cuando
obtengamos raíces complejas siempre que
obtengamos raíces complejas no es
necesario realizar todo este
procedimiento para llegar a la solución
general simplemente basta con recordar
que la parte compleja se va a convertir
en senos y cosenos debido a esta fórmula
que se conoce como identidad de oiler y
que la parte real se va a quedar en una
exponencial y con eso Entonces más
adelante iremos viendo más ejemplos en
los cuales ya no voy a a deducir esta ya
no voy a hacer todo este procedimiento
simplemente vamos a utilizar la fórmula
que vimos en un
principio Bueno entonces Esta es la
solución general de nuestra ecuación
diferencial Ahora les dejo a ustedes un
ejercicio similar resolver la siguiente
ecuación diferencial yv prima + 2y prima
+ 2y = 0 Y en el siguiente video les
muestro el procedimiento completo para
que verifiquen su respuesta en este caso
la ecuación característica también va a
quedar con soluciones que son complejas
Así que se va a utilizar la fórmula que
vimos en este video y bueno si les gustó
este video apóyenme regalándome un like
suscríbanse a mi canal y compartan mis
videos y Recuerden que si tienen
cualquier pregunta o sugerencia pueden
dejarla en los comentarios
تصفح المزيد من مقاطع الفيديو ذات الصلة
87. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO
96. Ecuación diferencial de coeficientes constantes, raíces repetidas. EJERCICIO RESUELTO.
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. Curso completo de ecuaciones diferenciales desde cero
78. Qué son las ecuaciones de segundo orden, ecuaciones homogéneas y de coeficientes constantes
Ecuaciones Racionales con denominador polinomio | Ejemplo 4
90. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (Con una raíz igual a cero) EJERCICIO RESUELTO
5.0 / 5 (0 votes)