Ecuaciones Cuadráticas con Su Gráficaa Parábolas
Summary
TLDREn este video, se explica detalladamente cómo resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general y cómo graficar sus soluciones. Se aborda el concepto de discriminante para determinar si las raíces son reales, iguales o imaginarias, mostrando ejemplos prácticos para cada caso. Además, se destaca la importancia de los coeficientes numéricos y cómo afectan el comportamiento de la parábola en la gráfica. El video es una guía útil para quienes desean aprender a resolver ecuaciones cuadráticas paso a paso y entender su representación gráfica.
Takeaways
- 📐 El video trata sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas y graficarlas.
- ✏️ Se utiliza la fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.
- 🧮 La ecuación trabajada en el ejemplo es x² - x - 6 = 0.
- 🔢 Los coeficientes de la ecuación cuadrática son extraídos como: a = 1, b = -1, y c = -6.
- ➕ Al sustituir los valores en la fórmula general, se resuelve para obtener las dos raíces: x₁ = 3 y x₂ = -2.
- 📝 Se explica el uso del discriminante para determinar el tipo de raíces que tendrá una ecuación cuadrática.
- 📊 Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.
- 🔍 Si el discriminante es cero, la ecuación tiene una sola raíz real.
- ❌ Si el discriminante es negativo, la ecuación tiene raíces imaginarias y no cruza el eje X.
- 📈 Finalmente, se grafica la ecuación cuadrática mostrando cómo las raíces afectan la parábola.
Q & A
¿Qué es una ecuación cuadrática?
-Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado que tiene la forma ax² + bx + c = 0, donde 'a', 'b' y 'c' son coeficientes y 'x' es la variable.
¿Cuáles son las tres formas principales de resolver una ecuación cuadrática?
-Las tres formas principales son: utilizando la fórmula general, el método de factorización y completando el cuadrado.
¿Cómo se determinan los coeficientes en una ecuación cuadrática?
-Los coeficientes 'a', 'b' y 'c' se extraen directamente de la ecuación. En el ejemplo x² - x - 6 = 0, 'a' es 1, 'b' es -1 y 'c' es -6.
¿Qué es el discriminante en una ecuación cuadrática?
-El discriminante es la parte de la fórmula general que se encuentra bajo la raíz: b² - 4ac. Determina el número y tipo de soluciones que tendrá la ecuación.
¿Qué indica un discriminante positivo?
-Un discriminante positivo indica que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y diferentes.
¿Qué sucede si el discriminante es igual a cero?
-Cuando el discriminante es igual a cero, la ecuación cuadrática tiene una única solución real, y la parábola toca el eje de las x en un solo punto.
¿Qué significa que el discriminante sea negativo?
-Un discriminante negativo significa que la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales, solo soluciones imaginarias. La parábola no corta el eje de las x.
¿Cómo se grafica una ecuación cuadrática con dos soluciones reales?
-Se identifican las raíces de la ecuación, se marcan en el eje de las x y luego se dibuja la parábola que pasa por esos puntos.
¿Qué error común se comete al multiplicar los coeficientes en la fórmula general?
-Un error común es multiplicar incorrectamente los coeficientes, como confundir el proceso de multiplicar el número por sí mismo en vez de aplicarlo correctamente en la fórmula.
¿Cómo afecta el discriminante a la forma de la parábola?
-Si el discriminante es positivo, la parábola cruza el eje de las x en dos puntos. Si es cero, toca el eje en un solo punto. Si es negativo, la parábola no cruza el eje de las x.
Outlines
📊 Introducción a las ecuaciones cuadráticas
En este párrafo, se presenta el tema de las ecuaciones cuadráticas y cómo se pueden resolver y graficar. Se menciona la fórmula general y se explica el proceso de identificar los coeficientes numéricos de una ecuación cuadrática. Luego, se sustituyen estos valores en la fórmula para encontrar las raíces. Se destaca el error común al multiplicar términos y se corrigen algunos conceptos sobre los signos y cómo afectan el resultado final.
📝 Uso del discriminante para graficar
Aquí se continúa con el ejemplo de la ecuación cuadrática y se introduce el concepto del discriminante. Se explica cómo el discriminante permite determinar si la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes, y cómo se pueden graficar estas raíces en el plano cartesiano. Además, se explica la relación entre el discriminante positivo y la existencia de dos raíces reales y distintas.
📉 Raíces imaginarias y gráficas que no cruzan el eje X
En este párrafo, se aborda el caso de las ecuaciones cuadráticas con discriminantes negativos, que resultan en raíces imaginarias. Se describe cómo estas gráficas no cruzan el eje de las X y cómo la parábola resultante se comporta en este caso. Se ofrece un ejemplo concreto y se refuerza la idea de que cuando el discriminante es negativo, las raíces son imaginarias y la parábola no intersecta el eje X.
📐 Un único punto de intersección: discriminante igual a cero
Se analiza el caso cuando el discriminante es igual a cero, lo que significa que la ecuación cuadrática tiene una sola raíz real. La gráfica en este caso solo toca el eje X en un punto. Se explica con un ejemplo, sustituyendo los valores en la fórmula general y describiendo cómo el signo de los términos afecta el resultado final. Se concluye con una explicación de cómo graficar la parábola resultante.
🔍 Conclusiones sobre el uso del discriminante
El último párrafo resume los conceptos clave sobre el discriminante. Se explica cómo se puede usar el discriminante para predecir el comportamiento de la gráfica de una ecuación cuadrática: si tiene dos raíces reales diferentes, una sola raíz real o raíces imaginarias. Finalmente, se concluye motivando a los estudiantes a seguir aprendiendo matemáticas con entusiasmo, en un mensaje final dirigido a la audiencia.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación cuadrática
💡Fórmula general
💡Discriminante
💡Raíces
💡Gráfica de la parábola
💡Coeficientes numéricos
💡Raíces imaginarias
💡Factorización
💡Raíces reales
💡Eje X
Highlights
Introducción al tema de ecuaciones cuadráticas y su gráfica, usando la fórmula general para resolverlas.
Explicación de cómo extraer los coeficientes numéricos (a, b y c) de la ecuación cuadrática.
Sustitución de los valores en la fórmula general y pasos detallados de cómo resolver la ecuación.
Ejemplo concreto con la ecuación x² - x - 6 = 0 y resolución paso a paso, incluyendo errores comunes.
Cálculo del discriminante (b² - 4ac) y su importancia para determinar el número y tipo de raíces.
Diferenciación entre raíces reales y distintas, una sola raíz, y raíces imaginarias según el discriminante.
Explicación de cómo graficar la parábola basada en las raíces encontradas en la ecuación cuadrática.
Segundo ejemplo de una ecuación cuadrática donde el discriminante es negativo y cómo las raíces son imaginarias.
Clarificación de cómo el signo del discriminante afecta si la parábola toca o no el eje de las X.
Ejemplo donde el discriminante es igual a 0, mostrando una sola raíz real y cómo esto afecta la gráfica.
Discusión sobre el uso del discriminante para determinar si una parábola toca, pasa, o no pasa por el eje X.
Último ejemplo mostrando cómo una ecuación con discriminante negativo resulta en raíces imaginarias y gráficas que no cruzan el eje X.
Aplicación del discriminante para determinar el comportamiento de la gráfica sin necesidad de resolver completamente la ecuación.
Resumen final sobre la importancia del discriminante para comprender gráficamente y algebraicamente las ecuaciones cuadráticas.
Conclusión motivadora dirigida a los estudiantes, cerrando el tema de ecuaciones cuadráticas con una invitación a seguir practicando.
Transcripts
qué rollo mis boxeadores matemáticos el
día de hoy Les traigo el tema de
ecuaciones cuadráticas y su gráfica O
sea que vamos a solucionar la ecuación
vamos a encontrar sus raíces y los vamos
a graficar para este caso necesitamos la
fórmula general también se puede
utilizar también se puede utilizar el
factor método de factorización también
podemos hacerlo pero en este caso lo
vamos a hacer por este esta forma para
que se pueda entender Ok tenemos Este
ejemplo x al cuadrado menos x menos 6
igual a cero vamos a extraer sus
coeficientes numéricos aquí tenemos x al
cuadrado y como no tenemos ningún número
aquí significa que es un 1 y como esta
variable es positiva como no se le pone
un signo positivo es un mundo positivo
en este caso la B lo extraemos de la
parte lineal y tenemos que aquí está
menos x por lo tanto sería menos uno
sabemos que cuando no hay nada en los
coeficientes numéricos significa que con
uno y cuando no tiene signo significa
que es positivo aquí tenemos de la la c
la representa la parte independiente que
en este caso es menos 6 y ya
prácticamente extrajimos de la ecuación
cuadrática en el valor de a el valor de
b y el valor de c ahora esos valores
esos coeficientes numéricos los vamos a
sustituir en la ecuación cuadrática aquí
está y dice que aquí va a haber por lo
tanto ve cuánto vale menos uno Aquí
vamos a poner menos uno y también aquí
vale menos uno porque eso también me lo
da que B está elevado al cuadrado y
luego vamos a poner el valor de a que
este en este caso es uno que va aquí o
sea aquí va y luego aquí también aquí
verdad Entonces tenemos que el valor de
c va en esta parte que es
y ya prácticamente sustituir los valores
de a de 20c Ok después vamos a
multiplicar este menos por este menos se
hace más por lo tanto aquí tendríamos
uno positivo y luego tendríamos más
menos raíz
Sabemos que esta parte tenemos que
multiplicar la base las veces que me lo
diga el exponente o sea menos uno por
menos uno o sea menos uno que multiplica
menos 1 menos por menos da más y uno por
uno es uno Comenten mucho el error
cuando algunas personas por ejemplo
hacen lo siguiente multiplican uno que
multiplica a dos eso no está correcto
multiplica en este 1 lo multiplican por
este 2 eso lo puede ser posible Ese es
el error más común que utilizan ustedes
Entonces menos uno por menos uno da uno
positivo pero como voy a iniciar la
ecuación Pues no le pongo el signo
positivo y luego tendríamos menos por
menos por más da menos y este menos de
ese de esa multiplicación de resultado
menos por menos da más por lo tanto aquí
me resultado va a cambiar a positivo
vuelvo a repetir este menos por este más
se hace negativo y en negativo por
negativo se también es uno de las cosas
que más se equivocan esta parte es donde
más equivocan y cuatro por una cuatro y
seis por cuatro veinticuatro aquí
tendríamos 24 sobre el valor de 2 * 1 2
* 1 Serían dos Okay Ojalá y hayan
entendido esta parte donde este signo
negativo cambia por este signo negativo
menos por menos da más por eso cambio a
positivo Ok ya que tenemos esa parte de
ahí ahora vamos a sumar lo del
discriminante la parte B cuadrada menos
4 hace se le llama discriminante y
también nosotros podemos utilizar en
este caso podemos utilizar solamente El
puro discriminante para saber cuánto
valen sus raíces y saber si es raíces
reales o diferentes y todo eso pero
vamos a ver más adelante entonces
tendríamos uno más o menos raíz sumó 24
más uno serían 25 y esto sobre 2 y ya
tendríamos nosotros que sacarle de raíz
a 25 en este caso es el valor más menos
5 porque la raíz de 25 es 5 entonces
aquí es viene lo interesante donde
Tendremos que poner x1 es igual a 1 + 5
sobre 2 y luego x2 es igual a 1 - 5
sobre 2 es lo mismo Exactamente lo mismo
lo único que hice es cambiar este signo
positivo acá y este signo negativo acá
es lo único que se realizó entonces
tendríamos ahí hizo uno es igual uno más
cinco Serían seis
y 6 entre 2 es a 3 y luego tendríamos x2
es igual a 1 - 5 ahí tenemos signos
diferentes que es del signo del número
más grande Cuál es más grande cinco el
uno el cinco cinco tiene signo negativo
por lo tanto va a quedar negativo a 5 le
quito uno Me quedan 4
entre 2 es igual a menos 2 y ya tenemos
las dos raíces que así es como se
soluciona la ecuación por lo tanto puedo
concluir que tiene dos raíces tiene dos
raíces por lo tanto vamos a graficarlo
en estos momentos seguimos con el
ejemplo y sabemos ya solucionamos la
ecuación donde tenemos que x1 vale 3 y
x2 es -2 Entonces vamos a graficarlo
Pero antes de eso quiero decirles que
esta parte se le llama discriminante se
le llama
discriminante eso significa que cuando
yo quiero graficar una ecuación y quiero
saber si tiene solución la ecuación si
no tiene solución Solamente tienes una
solución aplicó el discriminante
extraigo los coeficientes numéricos como
hace un momento lo hice donde a vale 1 B
vale menos uno y se vale menos 6 y
prácticamente obtengo los valores de la
ecuación 4 Esta es la parte del
determinante menos uno por menos uno es
uno positivo y más 24
4 * 424 y 24 más uno serían 25 cuando el
discriminante es positivo o es mayor que
0 significa que tiene dos raíces iguales
Perdón dos raíces reales y diferentes y
podemos graficarlo entonces Qué
significa esas dos raíces
reales y diferentes fíjense bien x1 es 3
por lo tanto me voy a ir en el eje de
las X en el eje de las y menos y en el
eje de la menos x entonces tendríamos
aquí que en este caso tendríamos x vale
3 o sea aquí iría la raíz la raíz número
1 y luego tendríamos menos 2 aquí sería
la raíz número 2 raíz número 2 y a la
mitad 1 2 3 4 5 Entonces más o menos a
la mitad hay como por aquí así entonces
yo puedo tener que mi ecuación pasa
ahí más o menos y
Y esa es mi parábola de esta ecuación
cuadrática se acuerdense que es una
parábola es una parábola Y esa ecuación
es x al cuadrado menos x menos 6 esta
parábola representa esa ecuación
cuadrática una ecuación cuadrática puede
ser mayor que cero Entonces es positiva
y tiene raíces iguales diferentes reales
diferentes o es igual a cero y igual a
cero y sus raíces es solamente tiene una
sola raíz y cuando es negativo es menor
que cero entonces la raíz son
imaginarias y diferentes vamos a ver
otro ejemplo ahora vamos a ver otro
ejemplo donde la ecuación cuadrática no
tiene solución Acuérdese cuando el
discriminante es positivo o mayor que 0
entiende entonces tiene dos raíces
son reales y diferentes cuando el
discriminante o sea esta parte de aquí
es igual a cero entonces solamente tiene
una sola solución cuando el
discriminante es menor que cero o
negativo significa que no tiene solución
O prácticamente
tiene raíces imaginarias los imaginarias
y diferentes Entonces vamos a ver este
ejemplo donde prácticamente Ya vimos
donde tiene dos raíces y que sus raíces
son reales y diferentes cuando el
discriminante fue positivo puede ganar
entonces hacemos Exactamente lo mismo
cuánto vale a vale 1 cuánto vale B vale
3 y cuánto vale c vale 6 tiene 6 tiene 6
entonces ahí tendríamos nosotros
que poner aquí el tres aquí en tres aquí
el 1 aquí el uno y aquí el 6 está bien
fácil verdad Entonces ya prácticamente
quedaría menos tres verdad y luego más
menos raíz ya sabemos que debemos de
multiplicar 3 por 3 Son 9 no 3 * 2
porque eso no está correcto 3 por 2
mucha gente lo hace 3 por 2 debe ser
tres por tres tres por tres o nueve y
luego menos quedaría menos por más da
menos y menos por más da menos por el
tacto mi resultado sería negativo y 6
por 4 24
y dos por una dos Entonces ya tenemos
ahí lo resolvemos rápido en un solo en
un solo golpe no paso a paso si tú
quieres saber algo te voy a dejar las
descripción donde dejo paso a paso cada
una de las cosas entonces tendríamos
aquí menos tres más menos raíz verdad
hago la sumatoria 9 tengo dos números
con signos diferentes el 24 tiene signo
negativo y es el más grande entonces va
a quedarse el signo del número más
grande a 24 le quito 9 me quedan 15 por
lo tanto mi discriminante fue
negativo es menor que cero o es un
número negativo eso significa que la
ecuación
tiene raíces imaginarias y diferentes
pero no tiene solución en la parte real
eso significa que mi gráfica verdad mi
gráfica en este caso Estas son las menos
x Estas son las x Estas son la menos Y
esta es y positiva por lo tanto fíjense
bien cuando la parte de aquí de adentro
que se llama discriminante es menor que
cero o es un número negativo
significa que la ecuación que la
parábola no va a pasar
no va a pasar no va a pasar por el eje
de la CX no va a pasar por el eje de la
c y esa sería mi parábola
esa sería mi parábola no va a pasar por
el eje de las x no tiene solución en la
parte real sus raíces son imaginarias y
diferentes Entonces no pasa verdad no va
a pasar no puede ir puede pasar también
por aquí sin ningún problema o por acá
sin ningún problema pero no tiene que
tocar al eje de las x no va
a tocar entonces así es como funcionan
vamos a ver voy a entrar al otro ejemplo
donde la raíz el discriminante es igual
a cero en este ejemplo menos 9 al
cuadrado más 12 x menos 4 extraemos los
coeficientes numéricos a vale menos 9 B
vale 12 y se vale menos 4 lo sustituimos
en la ecuación en la fórmula general
aquí va B aquí va B aquí va a aquí va c
y ya lo sustituimos entonces quedaría
menos 12 menos 12 más menos raíz se va
12 por 12 144
y menos por menos da más y más por menos
da menos por lo tanto eso sería negativo
este menos del 4 por este menos de 9 se
hace positivo verdad se hace positivo y
este positivo del resultado de la
multiplicación este positivo por este
Negativo si se hace negativo y 9 por 4 9
por 4 por 4 serían 144 negativo sobre 9
por 2 18 pero como más por menos da
menos no sería menos 18 verdad Ahí
quedaría menos 18 Entonces ya esta parte
de aquí se hace cero menos 44 más 44
pues se hace cero entonces tendríamos
aquí que esto es el igual verdad y
tendríamos menos 12 más menos raíz de 0
sobre menos 18 por lo tanto no va a
tener va a tener solamente una solución
sus raíces son e iguales es la misma las
dos raíces entonces prácticamente nos
quedaría esto es igual a 12 sobre -18 a
-2 será A menos 12 verdad pues quedaría
menos 12 sobre menos 18 y entonces y ahí
tendríamos que menos entre menos da más
y la mitad de ese de 12 es 6 la mitad de
18 es 9 se hace positivo porque menos
entre menos da más y la mitad de 6 es si
divido el 6 entre 3 eso me da 2 y si
divido el 9 entre 3 eso me da 3 y
entonces tendríamos este valor de ahí
entonces ya prácticamente ahí podemos
graficarla Cómo podemos graficar la
ecuación la graficamos bien sencilla
bien sencillo prácticamente ahí
tendríamos que tener si se fijan eso es
un menor que un que uno a mí uno o sea
de 0 a 1 yo voy a fraccionarlo en tres
el numerador y el numerador las veces
que va a tener por ejemplo aquí va a ser
mi uno Esto vale
1 entonces aquí 0 a 1 verdad por lo
tanto yo voy a fraccionar ese uno en
tres partes iguales uno dos más o menos
por ahí no entonces Cuántas voy a
agarrar voy a agarrar dos por lo tanto
mi raíz está aquí esta sería mi raíz
entonces por ahí va a tocar mi gráfica
por ahí va a pasar verdad mi gráfica mi
parábola por ahí va a pasar va a pasar
ahí lo va a tocar y luego de ahí se sube
Esa es mi parábola
Ese es mi parábola Esa es mi ecuación y
esta sería mi parábola verdad si se
fijan vuelvo a repetir solamente cuando
el discriminante verdad cuando el
discriminante es
cero significa que va a tener solamente
una raíz
o dos raíces iguales verdad aquí va a
pasar aquí exactamente pasa y así se
comportaría mi parábola
miren ya para concluir así este tema de
las ecuaciones con sus gráficas podemos
nosotros determinar en el discriminante
con la utilización del puro
discriminante que es lo que va dentro de
la raíz es el discriminante podemos
concluir que cuando el discriminante lo
podemos aplicar solito ve al cuadrado
menos 4 hace lo aplicamos nada más esa
parte de la de la fórmula general que es
el discriminante cuando el discriminante
de positivo entonces tiene dos raíces
reales diferentes y va a pasar por la
por el eje de las x cuando el
discriminante de 0
ahí son raíces reales e iguales y va a
pasar solamente la puntita por el eje de
las x y cuando la raíz el discriminante
perdón sea negativo entonces las raíces
son imaginarias diferentes vamos a ver
este ejemplo que es la aplicación del
discriminante 5 por 5 25
menos 4 por 2 son 8 y menos por más da
menos y menos por más da menos por lo
tanto eso 25
tenemos ahí 25 menos 8 es 17 eso es 17
positivo es positivo o es mayor que 0
eso significa que mi raíz tiene dos
raíces reales y diferentes y va a pasar
por el eje de las x va a pasar así
ecuación mi parábola va a pasar así va a
pasar esta sería las dos raíces ahora
podemos ver en este ejemplo donde tiene
que dar 0 4 por 4 16 será 16 y menos por
más da menos y menos por más da menos 4
por 4 16 y 16 por 1 pues 16 y esto es
igual a 0 por lo tanto como es igual a
cero el discriminante entonces la
ecuación tiene dos soluciones pero son
iguales por lo tanto va a pasar verdad
va a pasar por una parte solamente va a
pasar esas dos raíces son iguales son
exactamente iguales y No más va a tocar
verdad le deje de las x las va a tocar
No nada más ahí esa sería mi parábola
verdad para bola Ok cuando el
discriminante sea menor que cero o
negativo entonces las raíces serían
imaginarias diferentes y no pasaría por
el eje de las x aquí tenemos el 2 por
ejemplo
vídeo 5 por 4 son 20 menos 20 verdad por
lo tanto ahí tendríamos menos 18
tendríamos menos 18 entonces la Gráfica
de la ecuación no va a pasar por el eje
de las x no va a pasar no va a llegar no
va a llegar al eje de las x porque son
raíces imaginarias y diferentes y así
podemos concluir con la el discriminante
podemos saber qué tipo de gráfica se va
a comportar la ecuación cuadrática donde
pasa por el eje de las x solamente toca
el eje de las x o no toca el eje de las
x y lo que lo manda es cuando el
discriminante es positivo cuando el
discriminante 0 y cuando el destinante
es negativo así hemos concluido mis
boxeadores matemáticos el día de hoy en
la ecuación cuadrática con sus gráficas
ánimo México estamos boxeando las
matemáticas en un mundo de números ánimo
México saludos desde célula Jalisco
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