DEMONSTRATION : √2 est irrationnel - Seconde
Summary
TLDRThis video script explores the irrationality of the square root of 2. It begins by defining rational numbers, exemplified by one-third, which can be expressed as a repeating decimal. In contrast, irrational numbers, like pi, have non-repeating, non-terminating decimal expansions. The script then introduces a proof by contradiction to demonstrate that the square root of 2 cannot be expressed as a fraction of two integers, leading to the conclusion that it is indeed an irrational number.
Takeaways
- 📘 The video discusses the irrationality of the square root of 2.
- 🔢 A rational number is defined as one that can be expressed as a fraction of two integers, such as one-third (1/3).
- 📏 Irrational numbers, in contrast, cannot be expressed as a simple fraction; their decimal representation is non-repeating and infinite, like the number pi (π).
- 🤔 The video aims to prove that the square root of 2 is irrational by assuming the opposite and seeking a contradiction.
- 📉 The proof uses a method of contradiction, assuming that the square root of 2 is rational and then deriving an absurdity from this assumption.
- 🔄 The assumption leads to the expression of the square root of 2 as a fraction a/b, where a and b are integers with no common divisors.
- 🔢 When squared, the equation a^2 = 2b^2 is derived, and by manipulating this equation, it's shown that both a and b must be even numbers.
- 🔄 This leads to a contradiction because it implies that a and b have a common divisor (2), which contradicts the initial assumption that they are coprime.
- 📚 The video emphasizes the importance of understanding the properties of numbers, such as the fact that the square of an odd number is always odd.
- 🏁 The conclusion is that the square root of 2 is irrational, as the initial assumption that it could be expressed as a fraction leads to a contradiction.
Q & A
What is the definition of an irrational number as explained in the video?
-An irrational number is a number that cannot be expressed as a simple fraction, meaning it cannot be written in the form of a ratio of two integers. When written in decimal form, it has a non-repeating, non-terminating pattern.
Can you provide an example of a rational number given in the video?
-Yes, one-third (1/3) is given as an example of a rational number because when divided, it results in a repeating decimal pattern of '0.3333...' indefinitely.
What is the approximate value of the irrational number pi mentioned in the video?
-The approximate value of pi given in the video is 3.14, but it is emphasized that the actual value of pi continues indefinitely without a pattern.
What method is used in the video to prove that the square root of 2 is irrational?
-The video uses a proof by contradiction, assuming that the square root of 2 is rational and then showing that this assumption leads to a contradiction, thus proving that the square root of 2 is irrational.
What does it mean for two numbers to be 'co-prime' as discussed in the video?
-Two numbers are 'co-prime' or 'relatively prime' if they have no common divisors other than 1, meaning they cannot be simplified further.
Why does the video suggest that a and b in the expression of the square root of 2 as a rational number must be co-prime?
-The video suggests that a and b must be co-prime because any fraction can be simplified to its simplest form, which is when the numerator and denominator are co-prime.
What property of squares is used in the video to deduce that a must be even if a^2 = 2b^2?
-The video uses the property that an even number is a multiple of 2. Since a^2 equals 2 times an integer (2b^2), it implies that a^2 is even, and therefore a must also be even.
How does the video demonstrate that both a and b cannot be even, leading to a contradiction?
-The video shows that if a and b are both even, then they would have a common divisor (2), which contradicts the initial assumption that a and b are co-prime.
What is the conclusion of the proof in the video regarding the rationality of the square root of 2?
-The conclusion is that the square root of 2 is not rational, as the assumption that it is rational leads to a contradiction, proving it must be irrational.
Outlines
📐 Introduction to Irrational Numbers
This paragraph introduces the concept of irrational numbers through the example of the square root of 2. It contrasts rational numbers, which can be expressed as fractions of integers (like one-third, which can be written as a repeating decimal), with irrational numbers, which cannot be expressed as fractions. The square root of 2 is proposed as an example of an irrational number, and the historical example of pi is also mentioned. The explanation sets up for a proof by contradiction, suggesting that if the square root of 2 were rational, it could be expressed as a fraction of two integers. However, the proof will aim to show that this leads to a contradiction, thereby proving the irrationality of the square root of 2.
🔍 Proof by Contradiction of the Irrationality of the Square Root of 2
The paragraph delves into a proof by contradiction to demonstrate the irrationality of the square root of 2. It begins by assuming that the square root of 2 is rational, which implies it can be expressed as a fraction of two integers, a and b, which are in their simplest form (co-prime). The proof then squares both sides of the equation to derive that 'a' squared equals 2 times 'b' squared. Since 'a' squared is even (as it equals 2 times an integer), 'a' itself must be even, leading to the conclusion that 'a' can be written as 2 times some integer 'k'. Substituting back, the equation becomes 4 times 'k' squared equals 2 times 'b' squared, which simplifies to 'b' squared equals 2 times 'k' squared. This implies 'b' is also even, leading to a contradiction because it suggests both 'a' and 'b' could be further simplified, which contradicts the initial assumption that 'a' and 'b' are in their simplest form with no common divisors. This contradiction proves that the initial assumption that the square root of 2 is rational is false, thus establishing its irrationality.
Mindmap
Keywords
💡Irrational Number
💡Rational Number
💡Square Root of 2
💡Proof by Contradiction
💡Prime Numbers
💡Reduced Fraction
💡Even Numbers
💡Odd Numbers
💡Decimal Expansion
💡Multiples
Highlights
Definition of irrational numbers and rational numbers.
Example of a rational number: one-third, explained as a repeating decimal.
Introduction of irrational numbers with the example of the number pi.
Explanation of the vague definition of irrational numbers and the need for a clearer definition.
Rational numbers are expressed as a fraction of two integers, a and b.
Irrational numbers cannot be expressed as a fraction of two integers.
The method of proof by contradiction to demonstrate the irrationality of the square root of 2.
Assumption that the square root of 2 is rational leads to a contradiction.
If the square root of 2 is rational, it can be expressed as a/b where a and b are coprime integers.
Squaring the equation a/b = √2 leads to a new equation a^2 = 2b^2.
Analysis showing that a^2 is an even number implies a is also even.
If a is even, it can be expressed as 2k where k is an integer.
Substituting a with 2k in the equation leads to 4k^2 = 2b^2.
Solving for b^2 shows that b^2 is also an even number, implying b is even.
The contradiction arises when both a and b are shown to be even, contradicting their initial assumption of being coprime.
Conclusion that the square root of 2 is irrational based on the reached contradiction.
End of the demonstration with a summary of the proof.
Transcripts
bonjour dans cette vidéo nous avons
effectué et étudier une démonstration de
l'irrationalité de racines de 2 alors
déjà qu'est ce qu'un nombre irrationnel
et pour répondre à cette question il
faudrait savoir ce qu'est un nombre
rationnel alors un nombre rationnelle
pas comme en français c'est un nombre
que je comprends que je comprends au
sens décimales je vais donner un exemple
très simple de nombreux rationnelle un
tiers est un nombre rationnelle parce
que lorsque je divise un par 3 c'est une
suite 2,3 après la virgule 0,3 à 3 3 à 3
et ça se poursuit comme ça indéfiniment
alors je ne peux pas l'écrire sous sa
forme décimales un tiers mais je le
comprends sous sa forme décimales dans
le sens où je sais que il se poursuit
comme ça avec une infinité de 3,1 nombre
irrationnel et bien c'est pas ça un
nombre irrationnel
quand on tente de l'écrire sous sa forme
décimales on trouve une suite de
décimales qui se suivent mais sans suite
logique ça ne se répète pas on peut pas
dire parce que là j'ai un cadre derrière
j'aurai un set ça c'est pas vrai on en
connaît un de nombre irrationnel depuis
longtemps c'est le nombre pi dont on
donne habituellement une valeur approché
3,14
mais on c'est derrière que j'ai encore
1,1 1,5 1,9 et ça se poursuit comme ça
de façon indéfinie et bien ce nombre là
est un nombre irrationnel mais enfin
cette définition elle est un peu vague
on pourrait apporter une définition un
peu plus claire de ce qu'est un nombre
rationnelle parce que du coup si on sait
ce qu'est un nombre rationnelle et bien
on sait ce que c'est qu'un nombre
irrationnel et comme ça on pourra
prouver que racine de 2 et irrationnel
alors un homme rationnel s'écrit sous
cette forme à sur b avec a et b qui sont
des entier on se souvient tout à l'heure
de notre un tiers 1 et 3 sont des entier
un tiers est bien un nombre rationnelle
et bien un nombre rationnelle peut
toujours s'écrire sous la forme assure b
a et b entier positifs négatifs mais en
tout cas ce sont des entier
donc un nombre irrationnel c'est un
nombre qui ne peut pas s'écrire sous
cette forme
il vaudrait donc démontrer que notre
racines de deux ne peut pas s'écrire
sous la forme à sur b a et b entier et
bien là tout naturellement le principe
de la démonstration va être d'utiliser
un raisonnement par l'absurde c'est à
dire qu'on va supposer
au départ le contraire de ce qu'on veut
démontrer et l'objectif sera d'aboutir à
la fin à une contradiction à une
absurdité par rapport au contexte de
l'exercice donc ici si on va supposer
contraire on va supposer que racine de 2
et rationnel on est d'accord que c'est
faux mais c'est là le principe de la
démonstration par l'absurde et en
supposant que racine de 2 et rationnel
on devrait aboutir à la fin quelque
chose de faux si tel est le cas et bien
ça voudra dire que notre hypothèse de
départ est également fausse et donc
racine de deux n'est pas rationnel c'est
à dire racines 2 et irrationnel alors
c'est parti
supposons donc que racine de 2 est un
nombre rationnel alors si on suppose que
racine carrée de 2 et rationnelle cela
signifie que racine de 2 peut s'écrire
sous la forme assure b avec a et b qui
sont des sentiers mais on va aller plus
loin dans l'écriture rationnelle de
racine carrée de deux en fait
a et b on va même pouvoir dire que ce
sont des nombres premiers entre eux
pourquoi lorsqu'on a une fraction je
prends par exemple infractions 16 sur 18
il est toujours possible de simplifier
la fraction pour la rendre irréductible
et pour cela il faut récupérer des
diviseurs commun entre le numérateur et
le dénominateur ici un diviseur commun
ces deux ce qui veut dire que je peux
simplifiée par deux et cela va me donner
8 sur 9
ensuite on regarde si on peut continuer
mais en tous les cas il est toujours
possible d'aller le plus loin possible
pour rendre notre fraction irréductible
et quand notre fraction est irréductible
cela signifie que le numérateur et le
dénominateur non plus de diviseur commun
je peux plus les simplifier et donc
s'ils n'ont plus de diviser
commun ça veut dire qu'ils sont premiers
entre eux donc on peut supposer que
l'écriture de racine carrée de deux sous
la forme assure b est avec a et b des
entiers premier entre eux on imagine
qu'en réalité on a notre racines de 2
qui a été écrit sous sa forme la plus
simple possible
est ce si on en aura besoin dans la
suite de la démonstration
alors du coup on va poursuivre en
mettant tout ça au carré si racines de
deux égal à sur b cela signifie que
racine de 2 ou qui a ré est égal à ce
assure b au carré racines de deux au
carré bien ça fait 2 assure b le tout au
carré ça fait à carey sur becquart et
donc on a deux qui est égal à akkar et
sur becquart et je l'écris dans l'autre
sens soit à cadrer sur becquart est égal
à 2 c'est la même chose tout simplement
maintenant pour multipliées de part et
d'autre part b carré et de cette façon
là j'obtiens une nouvelle égalité qui
est à carrer égal 2 beccari alors en
voyant ceux ci eh bien on peut en
déduire que notre carré à gauche est un
nombre pair pourquoi ça parce que à
carey est égal à 2 x 1 entier autrement
dit à carrer ces 2 x quelque chose donc
à caresses et un multiple de 2 donc si
c'est un multiple de 2 on est bien
d'accord que à carrer père et bien ceci
va entraîner que à et perd alors ça
c'est moins des moins évident pour le
comprendre il faudrait se souvenir d'une
propriété qui nous dit que six as et un
père alors un carré et un perce d'une
propriété qui fait partie également des
démonstrations à connaître et qui a été
vu un petit peu plus tôt dans la leçon
du coup et bien si a été un père cela
signifierait que à carey serait un père
donc c'est pas possible puisque à
carhaix et père bon bah du coup y'a pas
le choix à et perd donc on en arrive au
fait que à et père et 6 ha et perd on re
applique la règle de tout à l'heure sur
les multiples cela signifie que à peut
s'écrire sous la forme de x 1 entier
cet anti on va l'appeler cas et on va
dire que ça peut s'écrire deux cas donc
à égal deux cas
en revenant un autre égalité de tout à
l'heure à carrer galles 2b carré eh bien
on peut remplacer maintenant à part deux
cas on obtient comme ça une nouvelle
égalité qui sera 2 k o car est égal de
becquart et en écrivant un petit peu
autrement de chaos carrés ces deux cas
fois de cas soit 4 carrés dont 4 cas
carré égal 2 b au carré on divise de
part et d'autre part deux et on obtient
deux cas carré et galbées carré qu'on
écrit dans l'autre sens soit becquart
est égale deux cas carré et on réutilise
une troisième fois la règle du multiple
on à becca carré en ab carré pardon qui
est égal à 2 x 1 entier autrement dit b
carré est un nombre pair
eon rae applique la règle de tout à
l'heure et bien comme b carré et perd
cela entraîne que b est également un
nombre pair et là on arrive à quoi et
bien là on arrive à une absurdité
il ya un problème et oui on vient de
prouver que à et perd et que b et perd
également mais souvenons nous de ce
qu'on avait dit au départ on avait dit
que a et b son premier d'entre eux on
avait dit que a et b correspondent à la
fraction simplifier au maximum
mais s'ils sont tous les deux pères ça
voudrait dire que je peux encore
simplifier cette fraction ça c'est pas
possible puisque on a posé au départ que
a et b ne peuvent plus être divisé a et
b non pas diviseurs commun et pourtant
là on vient démontrer que a et b ont un
diviseur commun ces deux eh bien on
aboutit on aboutit à une absurdité
cela signifie donc que l'hypothèse de
départ est fausse soit racines de deux
n'est pas rationnelle et donc racine de
2 est irrationnel cqfd
cette séquence est terminée
[Musique]
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