05. Posición y velocidad en 2 dimensiones

Summary

El guion explica cómo calcular la velocidad instantánea de un objeto conociendo su posición en función del tiempo. Se ilustra con ejemplos en dos dimensiones, derivando la función de posición para obtener la velocidad en un momento específico. Además, se destaca la diferencia entre velocidad (vector) y rapidez (magnitud del vector de velocidad), y se menciona la importancia de las unidades de medida en el cálculo final. El vídeo agradece el apoyo de suscriptores y patrocinadores.

Takeaways

• 📐 Para calcular la velocidad instantánea de un objeto, se necesita conocer su posición en función del tiempo.
• 🕒 La posición del objeto se puede representar como un vector en el plano cartesiano para cada instante del tiempo.
• 📉 La trayectoria del objeto se obtiene sustituyendo valores de tiempo en la función de posición.
• 🔍 La velocidad del objeto en un tiempo específico se calcula derivando la función de posición y sustituyendo ese valor de tiempo.
• 📌 La derivada de la función de posición da el vector de velocidad en un punto específico del tiempo.
• 📍 El vector de velocidad es tangente a la trayectoria del objeto en el punto considerado.
• 🔄 La rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad, que se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado.
• 📏 La rapidez se mide en función de las unidades de la posición y el tiempo, como metros por segundo o pies por segundo.
• 🔢 La magnitud de un vector bidimensional se calcula usando el teorema de Pitágoras, y es aplicable para vectores tridimensionales también.
• 🙏 El script concluye agradeciendo a los miembros de YouTube y Patreon por su apoyo.

Q & A

¿Cómo se calcula la velocidad instantánea de un objeto?

Para calcular la velocidad instantánea de un objeto, necesitamos conocer su posición en función del tiempo. Esto se hace derivando la función que describe la posición del objeto en términos del tiempo.

Si la posición de un objeto se describe por la función \( t^2 \), ¿cuál es la posición en t=0 y t=1?

En t=0, la posición es \( 0^2 = 0 \). En t=1, la posición es \( 1^2 = 1 \).

Si la posición de un objeto se describe por la función \( t^2 \), ¿cuál es la posición en t=2?

En t=2, la posición es \( 2^2 = 4 \).

¿Cómo se representa la trayectoria de un objeto en un plano cartesiano si se conoce su posición en función del tiempo?

Se puede representar trazando los puntos correspondientes a diferentes valores de tiempo en el plano cartesiano, donde los ejes x e y representan las coordenadas de la posición del objeto.

Si la función de posición es \( t^2 \), ¿cuál es la velocidad del objeto en t=1?

La velocidad se calcula derivando la función de posición, lo que nos da \( 2t \). Sustituyendo t=1, la velocidad es \( 2 \cdot 1 = 2 \).

¿Cómo se interpreta el vector de velocidad en relación con la trayectoria del objeto?

El vector de velocidad es tangente a la trayectoria en el punto correspondiente al tiempo t, indicando la dirección y magnitud de la velocidad instantánea del objeto en ese instante.

¿Cuál es la rapidez instantánea si la velocidad es el vector (1, 2)?

La rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad, que se calcula como \(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\).

¿Cómo se calcula la magnitud de un vector en términos de sus componentes?

La magnitud de un vector se calcula sumando el cuadrado de cada componente y luego tomando la raíz cuadrada del resultado, basado en el teorema de Pitágoras.

¿Cómo varía la unidad de medida de la velocidad si la posición se mide en metros y el tiempo en segundos?

Si la posición se mide en metros y el tiempo en segundos, la unidad de medida de la velocidad será metros por segundo (m/s).

¿Qué diferencia hay entre la velocidad y la rapidez en el contexto del script?

La velocidad es un vector que indica tanto la magnitud como la dirección de un objeto en movimiento, mientras que la rapidez es la magnitud del vector de velocidad, es decir, la velocidad sin considerar la dirección.

Outlines

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📐 Cálculo de Velocidad Instantánea

Este párrafo explica cómo calcular la velocidad instantánea de un objeto a partir de su posición en función del tiempo. Se menciona que para obtener la velocidad en un momento específico, es necesario derivar la función que describe la posición del objeto. Se utiliza el ejemplo de una función t^2 para ilustrar cómo se calcula la derivada, obteniendo 2t, y se aplica este resultado para el tiempo t=1, resultando en una velocidad de (2*1, 2*1) o (2, 2) metros/segundo. Además, se destaca que la velocidad es tangente a la trayectoria del objeto en el plano cartesiano, y se menciona que el concepto se puede extender a tres dimensiones. Finalmente, se hace una distinción entre la velocidad (vectorial) y la rapidez (magnitud de la velocidad), y se explica que la rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad en un momento dado.

Keywords

💡Velocidad instantánea

La velocidad instantánea de un objeto es la velocidad en un punto específico de su trayectoria en un momento dado. Se calcula a partir de la derivada de la función que describe la posición del objeto en función del tiempo. En el guion, se menciona que para calcular la velocidad instantánea en el tiempo t=1, se deriva la función de posición y se sustituye el valor de t, obteniendo un vector de velocidad.

💡Función de posición

La función de posición es una relación matemática que describe cómo la posición de un objeto cambia con el tiempo. Es crucial para entender y calcular la trayectoria y la velocidad de un objeto. En el guion, se utiliza la función \( t^2 \) para ilustrar cómo la posición cambia con el tiempo y se usa para calcular la velocidad.

💡Derivada

La derivada es un concepto fundamental del cálculo que representa la tasa a la que una cantidad cambia con respecto a otra, generalmente la tasa de cambio de una función con respecto a su variable. En el contexto del video, la derivada de la función de posición se usa para encontrar la velocidad instantánea del objeto.

💡Vector de posición

Un vector de posición es un vector que indica la ubicación de un punto en el espacio con respecto a un origen. En el guion, se menciona que la función de posición dada por \( t^2 \) en dos dimensiones nos permite representar la trayectoria del objeto en un plano cartesiano.

💡Tiempo

El tiempo es una variable independiente que se utiliza para estudiar la evolución de un sistema o la trayectoria de un objeto. En el guion, el tiempo se utiliza para determinar la posición y la velocidad del objeto en diferentes instantes.

💡Trayectoria

La trayectoria es la ruta que sigue un objeto en el espacio a lo largo del tiempo. Se puede representar gráficamente a partir de la función de posición. En el guion, se describe cómo sustituir diferentes valores de tiempo en la función de posición para obtener puntos que, al unirse, forman la trayectoria del objeto.

💡Velocidad

La velocidad es una medida de cómo cambia la posición de un objeto con el tiempo y se define como vectorial. En el guion, se explica que la velocidad se calcula a partir de la derivada de la función de posición y que es tangente a la trayectoria del objeto.

💡Rapidez instantánea

La rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad en un momento dado, que es la velocidad sin considerar la dirección. Se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado del vector de velocidad. En el guion, se menciona que la rapidez instantánea es una medida de la velocidad en magnitud.

💡Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En el guion, se utiliza para calcular la magnitud del vector de velocidad a partir de sus componentes.

💡Unidades de medida

Las unidades de medida son convenciones estandarizadas para expresar la magnitud de una cantidad. En el guion, se destaca la importancia de las unidades en la función de posición y en el cálculo de la velocidad, ya que afectan a las unidades de la velocidad resultante.

Highlights

Para calcular la velocidad instantánea de un objeto, se necesita conocer su posición en función del tiempo.

La posición del objeto se puede representar como un vector de posición en función del tiempo.

Se puede obtener la trayectoria del objeto sustituyendo valores de tiempo en la función de posición.

La derivada de la función de posición da la velocidad del objeto en cada instante.

La derivada de la posición cuadrada de t es 2t, que representa la velocidad en el tiempo t.

La velocidad en el tiempo t=1 se calcula sustituyendo t=1 en la derivada, dando como resultado un vector de velocidad.

El vector de velocidad es tangente a la trayectoria del objeto en el tiempo t.

La rapidez instantánea es la magnitud del vector de velocidad instantánea.

La magnitud de un vector se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado.

La rapidez instantánea se mide en la unidad de longitud dividida por la unidad de tiempo.

La posición en metros y el tiempo en segundos da velocidad en metros por segundo.

La posición en pies y el tiempo en segundos da velocidad en pies por segundo.

La función de posición puede tener tres componentes para representar la posición en tres dimensiones.

La velocidad del objeto en tres dimensiones se calcula como un vector tridimensional.

La diferencia entre velocidad y rapidez se enfatiza en el contexto de velocidad instantánea.

El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la magnitud de un vector bidimensional.

El agradecimiento se dirige a los miembros de YouTube y Patreon por su apoyo.

Transcripts

para calcular la velocidad instantánea

de un objeto necesitaremos conocer cuál

es su posición en función del tiempo o

sea en cada instante cada para cada

valor del tiempo saber dónde se

encuentra el objeto si nosotros sabemos

que un objeto tiene una posición dada

por esta función de combate cuadrada

vean que estoy aquí nos dice el vector

de posición de un objeto con respecto

del tiempo en función del tiempo por

ejemplo si el tiempo es cero quiere

decir que aquí la posición va a ser cero

cero cuadrado o sea cero se si el tiempo

vale uno puedo hacer 1-1 al cuadrado o

sea 11 si el tiempo vale 2 pues va a ser

2,2 al cuadrado o sea 2,4 si todos estos

de aquí son puntos que nosotros

podríamos representar en el plano

cartesiano el punto cero punto cero

necesite de aquí que se obtuvo entre

igual a cero el 11 es este de aquí

cuenta igual a 1 y el 2,4 estaría por

acá un tiempo de igualados

podríamos ir sustituyendo más valores

del tiempo e ir obteniendo más puntitos

y obtendríamos que la trayectoria del

objeto es de esta manera

entonces ya que conocemos la trayectoria

del objeto podemos responder por ejemplo

esto de aquí cuál es la velocidad del

objeto en el tiempo t igual a 1

bueno pues simplemente tendríamos que

derivar esta función la derivada de esta

función se calcula derivando cada

componente la derivada de 3-1 la

derivada de t cuadrada es 2 t

y luego sustituir te iguala 1 entonces

va a quedar aquí 12 por 12 con lo cual

obtenemos un vector que es el 12 este

vector es la velocidad en el 1

si la quisiéramos dibujar por aquí

tendríamos que dibujarla aquí en el

punto t igual a 1 un vector 12 pues

sería 1 en x 2 en y el vector sería este

de aquí

y aquí podemos observar qué

el vector de velocidad es tangente a la

trayectoria que también es precisamente

lo que mencionaba por aquí alguien

de hecho eso no siempre va a ocurrir el

vector de velocidad va a ser tangente a

la trayectoria que sigue un objeto y se

puede demostrar eso ya lo dejaremos

pagar para luego pero bueno así es como

podemos nosotros calcular la velocidad

de un objeto si conocemos su su posición

esto de aquí pero yo lo hice en dos

dimensiones está el vector de posición

el bidimensional pero igual podríamos

tener una función con tres componentes

verdad eso nos estaría diciendo la

posición de un objeto en tres

dimensiones y podríamos calcular la

velocidad del objeto como un vector

tridimensional

este bueno ya de eso iremos hablando más

adelante

y qué tal si quisiéramos saber cuál es

la rapidez nada más para volver a

resaltar la diferencia entre velocidad y

rapidez en este caso estamos hablando de

velocidad instantánea y rapidez

instantánea así que la rapidez

instantánea simplemente será la magnitud

del vector de velocidad instantánea o

sea la magnitud del vector 1,2 y la

magnitud de un vector recuerden que

simplemente va a ser la raíz cuadrada de

cada una de sus componentes al cuadrado

y eso se puede deducir a partir del

teorema de pitágoras es la longitud de

esta línea aquí mide 1 aquí y mide 2

pues tenemos un triángulo rectángulo con

cateto 1 cateto 2 y queremos la

hipotenusa aplicando teorema de

pitágoras es raíz cuadrada de hipotenusa

al cuadrado más y podemos al cuadrado

era uno más 45 está en todo esto no he

puesto unidades de medida pero por

supuesto que sí

si nos dan acá que la posición está dada

en metros y que el tiempo está dado en

segundos pues la velocidad será metro

sobre segundo si la posición está dada

en pies y el tiempo en segundos serán

pies sobre segundo etcétera ya dependerá

de las unidades que nos dan acá eso esas

no las tendrían que dar desde el

principio para poder indicar las

unidades al final muchísimas gracias a

todas las personas que me apoyan con su

membresía en youtube y en page jon de

verdad infinitas gracias por todo su

apoyo