Unit vector notation | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy

Summary

这段视频讲解了如何使用单位向量i和j来表示二维向量。首先介绍了二维向量可以表示为一对有序数对(2,3)的形式,然后引入了使用单位向量和标量乘法的记法方式,即向量v可以表示为2i+3j的形式。接着通过实例演示了如何使用单位向量记法对两个向量进行加法运算。最后将向量用单位向量和标量乘法表示的结果与列向量表示进行了等同性的说明,阐明了两种记法之间的关系。总的来说,这一过程很好地解释了单位向量在表示和操作向量时的应用。

Takeaways

• 😀 向量可以用箭头来表示,箭头的长度代表向量的大小,方向代表向量的方向。
• 🤔 一个二维向量可以用有序对(x, y)来表示,其中x代表水平方向的分量,y代表垂直方向的分量。
• ✏️ 引入了单位向量 i 和 j 的概念,i 代表水平方向的单位向量,j 代表垂直方向的单位向量。
• ➕ 任何二维向量都可以表示为 i 和 j 的线性组合,即 v = xi + yj,其中 x 和 y 是相应的系数。
• 🔢 例如,向量 v = (2, 3) 可以写作 2i + 3j。
• ⚡ 用单位向量表示法可以方便地进行向量加法和数乘运算。
• ➕ 向量加法就是将对应分量相加:v + w = (v_x + w_x)i + (v_y + w_y)j。
• ✖️ 数乘就是将向量的每个分量乘以相同的数:kv = (kv_x)i + (kv_y)j。
• 🌐 单位向量表示法在高维情况下也适用,比如三维空间引入 k 作为第三个单位向量。
• 💡 这种表示方法有助于理解向量的本质,并为后续的向量运算奠定基础。

Q & A

1. 什么是向量的视觉表示?

向量可以用一个箭头来表示,箭头的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。

2. 如何用数学方式表示一个二维向量?

可以用一个有序对或二元组来表示,第一个数值表示水平方向的分量,第二个数值表示垂直方向的分量。例如向量v可以表示为(2,3)。

3. 什么是单位向量,如何表示?

单位向量是指在某个特定方向上长度为1的向量。在二维空间中,有两个单位向量i和j,分别对应水平和垂直方向。用一个小帽符号来表示,如i表示水平方向上的单位向量,j表示垂直方向上的单位向量。

4. 如何用单位向量表示一个向量?

任何二维向量都可以表示为单位向量i和j的缩放和。例如,向量v可以表示为2i + 3j,其中2是水平方向上的缩放系数,3是垂直方向上的缩放系数。

5. 如何用单位向量表示法进行向量加法运算?

向量加法可以通过将各个分量相加来实现。例如,v + b = (2 + (-1))i + (3 + 4)j = i + 7j。

6. 单位向量表示法和列向量表示之间有什么关系?

这两种表示法是等价的,可以相互转换。例如v可以写作(2, 3)的列向量形式,也可以写作2i + 3j的单位向量形式。

7. 单位向量表示法在三维空间中会有什么变化?

在三维空间中,除了i和j表示水平和垂直方向外,还需要引入第三个单位向量k表示第三个维度的方向。

8. 为什么需要引入单位向量的概念?

引入单位向量的概念是为了方便对向量进行缩放和相加等运算。它提供了一种标准的基础,使得向量运算更加统一和简洁。

9. 如何用单位向量表示法表示负方向的向量?

可以在单位向量前乘以负数来表示相反方向。例如,-2i表示水平方向上长度为2,方向相反的向量。

10. 单位向量表示法和传统的(x, y)坐标表示有何区别?

单位向量表示法更加抽象和一般化,不必局限于特定的坐标系。它提供了一种独立于坐标系的方式来表示和操作向量。(x, y)坐标表示隐含了特定的坐标系选择。