Historia del cálculo

Matem os clase

8 Aug 202107:32

Summary

TLDREste video explora la rica historia del cálculo, destacando sus desarrollos a lo largo de la antigüedad, la edad media y la modernidad. Desde los primeros aportes en el cálculo de áreas y volúmenes en los papiros de Moscú hasta las contribuciones de matemáticos como Arquímedes y Liu Hui, pasando por los avances islámicos y la era de los descubrimientos independientes en Japón y Europa. El video resalta la evolución del cálculo, desde sus inicios hasta la formalización por Newton y Leibniz, y sus amplios usos en física, optimización y otras disciplinas matemáticas.

Takeaways

📚 La historia del cálculo se puede dividir en tres periodos principales: antiguo, medieval y moderno.
📏 En la antigüedad, se desarrollaron ideas de cálculo de áreas y volúmenes, pero sin un enfoque riguroso o sistemático.
📘 Los papiros matemáticos de Moscú, datan del 1890 a.C., y Arquímedes son ejemplos tempranos de cálculo integral.
🌏 Arquímedes utilizó el método exhaustivo y una serie infinita para calcular áreas y aproximar el número pi.
📖 La teoría de los indivisibles, que más tarde sería llamada así por Cavalieri, se usó en China para calcular áreas y volúmenes.
📉 En la edad media, matemáticos islámicos y persas contribuyeron con avances en la derivación de series y funciones.
📈 El matemático indio Bhaskara y el persa Sharaf al-Din contribuyeron con el desarrollo de derivadas tempranas y teoremas.
🔍 Durante el Renacimiento, matemáticos como Cavalieri intentaron calcular áreas y volúmenes con secciones infinitesimales.
📚 Isaac Newton y Gottfried Leibniz fueron fundamentales en el desarrollo formal del cálculo, con Newton enfocándose en la diferenciación y Leibniz en la integración.
📝 Newton introdujo la regla del producto, la regla de la cadena y las series de Taylor, mientras que Leibniz estableció notación y formalismo para el cálculo.
🔢 En el siglo 19, se introdujo un enfoque más riguroso en el cálculo y se extendieron sus aplicaciones a áreas como el espacio euclidiano y el plano complejo.

Q & A

¿Cuál es la división temporal principal de la historia del cálculo mencionada en el video?
-La historia del cálculo se divide en tres partes principales: la antigua, la medieval y la moderna.
¿Qué documento matemático del antiguo Egipto es mencionado en el video y qué contiene?
-El video menciona los papiros matemáticos de Moscú, que datan del año 1890 a.C. y contienen 25 problemas, incluyendo el cálculo del volumen del tronco de una pirámide.
¿Qué matemático griego es considerado uno de los más grandes de la antigüedad y cómo contribuyó al cálculo integral?
-Arquímedes es considerado uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad. Utilizó el método exhaustivo para calcular áreas y volúmenes, incluyendo el área bajo el arco de una parábola y una aproximación precisa del número pi.
¿Qué matemático chino contribuyó al cálculo integral con un método similar al de Arquímedes?
-Liu Hui, en el ciclo 3 a.C., utilizó un método similar al de Arquímedes para encontrar el área del círculo.
¿Qué matemático persa descubrió la derivada de la función cúbica en el siglo 12?
-Sharaf al-Din al-Tusi descubrió la derivada de la función cúbica en el siglo 12.
¿Qué matemático islámico derivó la fórmula para la suma de la cuarta potencia de una progresión aritmética en el año 1000?
-Al-Isfahani fue el primero en derivar la fórmula para la suma de la cuarta potencia de una progresión aritmética en el año 1000.
¿Qué matemático italiano intentó calcular áreas y volúmenes mediante sumas de secciones infinitesimales?
-Bonaventura Cavalieri hizo un intento por calcular áreas y volúmenes mediante sumas de secciones infinitesimales, ideas similares a las de Arquímedes.
¿Qué matemáticos europeos contribuyeron al estudio formal del cálculo y cómo?
-John Walsh, Isaac Barrow y James Gregory combinaron los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa, logrando un estudio formal del cálculo.
¿Qué contribuciones principales se le atribuyen a Isaac Newton en el cálculo?
-Isaac Newton introdujo la noción de derivada de mayor orden, las series de Taylor y las funciones analíticas. Utilizó estos métodos para resolver problemas de física matemática, como el movimiento planetario.
¿Cuál fue la principal contribución de Gottfried Leibniz al cálculo y cómo se relaciona con la de Newton?
-Gottfried Leibniz proporcionó un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, estableciendo la regla del producto y la regla de la cadena en su forma diferencial e integral. Aunque originalmente se le acusaba de plagio, ahora se reconoce como inventor independiente del cálculo y un gran contribuyente a este.
¿Cómo se resolvió la controversia sobre quién merecía el crédito por la invención del cálculo?
-Después de una gran controversia, se demostró que tanto Newton como Leibniz llegaron a sus resultados de forma independiente, aunque Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física y Leibniz desarrolló mucho de la notación usada en cálculo.
¿En qué siglo se comenzó a plantear el cálculo de manera más rigurosa y quiénes fueron algunos de los matemáticos involucrados?
-En el siglo 19, el cálculo comenzó a ser planteado de manera más rigurosa por matemáticos como Cauchy y Riemann, quienes también generalizaron las ideas del cálculo al espacio euclidiano y al plano complejo.
¿Qué aplicaciones del cálculo diferencial y del cálculo integral se mencionan en el video?
-Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos de velocidad, aceleración, la pendiente de una recta tangente a una curva y optimización. Las aplicaciones del cálculo integral son el cálculo de área, volumen, centro de masa, longitud de arco y trabajo, entre otras.

Outlines

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📚 Evolución histórica del cálculo

Este párrafo introduce la historia del cálculo dividida en tres períodos importantes: antiguo, medieval y moderno. Se mencionan los primeros aportes no rigurosos en la antigüedad, como los papiros matemáticos de Moscú, y destaca a Arquímedes por su método exhaustivo y aproximación del número pi. También se habla de contribuciones chinas y persas, y cómo en la edad media, matemáticos islámicos y europeos siguieron el legado antiguo, con el desarrollo de técnicas para cálculos de áreas y volúmenes, y la introducción de conceptos que se convertirían en el cálculo diferencial y integral.

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📘 Desarrollo y formalización del cálculo

Este párrafo detalla el desarrollo del cálculo en la época moderna, con el aporte de matemáticos como Newton y Leibniz, quienes independientemente desarrollaron el cálculo infinitesimal. Se discute la controversia sobre la paternidad del cálculo y cómo, con el tiempo, se reconoció la contribución de ambos. Newton aplicó el cálculo a la física, mientras que Leibniz formalizó la notación utilizada hoy. Además, se mencionan otros matemáticos que contribuyeron a la formalización y generalización del cálculo, y se describen las aplicaciones del cálculo diferencial e integral en física, geometría y otras disciplinas matemáticas.

Mindmap

Keywords

💡Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia los cambios y variaciones de cantidades mediante el uso de funciones, límites, derivadas y integrales. En el video, el cálculo es el tema central, ya que se explora su historia y evolución a través de diferentes épocas y contribuciones de matemáticos importantes.

💡Edad Antigua

La Edad Antigua se refiere a un período histórico que precede a la Edad Media, donde se desarrollaron algunas ideas del cálculo, aunque no de manera rigurosa o sistemática. En el video, se menciona el papel de los papiros matemáticos de Moscú y de Arquímedes en el desarrollo temprano del cálculo integral.

💡Arquímedes

Arquímedes fue un matemático griego antiguo considerado uno de los más grandes de la antigüedad. Utilizó el método exhaustivo para calcular áreas y volúmenes, y su trabajo influenció posteriormente el desarrollo del cálculo integral, como se destaca en el video.

💡Método exhaustivo

El método exhaustivo es una técnica utilizada por Arquímedes para calcular áreas y volúmenes a través de la aproximación de figuras geométricas por medio de polígonos. En el video, se describe cómo Arquímedes aplicó este método para calcular áreas bajo curvas parábolas y aproximar el número pi.

💡Integral

El cálculo integral es una parte fundamental del cálculo que se ocupa del cálculo de áreas bajo curvas y volúmenes. En el video, se menciona la función básica del cálculo integral y su desarrollo histórico, desde los papiros de Moscú hasta los métodos de Arquímedes y otros matemáticos.

💡Derivada

La derivada es una concepto del cálculo diferencial que describe la pendiente instantánea de una curva en un punto dado. En el video, se discuten las contribuciones de matemáticos como Bhaskara II y Sharaf al-Din al-Tusi en el desarrollo temprano de la derivada.

💡Cavalieri

Bonaventure Cavalieri fue un matemático italiano del siglo XVII que contribuyó al cálculo con su teoría de los indivisibles, que permitía calcular áreas y volúmenes a través de la suma de infinitesimales. Su trabajo se relaciona con el desarrollo del cálculo integral, como se menciona en el video.

💡Isaac Newton

Isaac Newton fue un matemático y físico inglés que, junto con Gottfried Wilhelm Leibniz, es considerado el co-fundador del cálculo. En el video, se destaca su contribución en la introducción de series de Taylor, funciones analíticas y el uso del cálculo para resolver problemas de física matemática.

💡Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz fue un filósofo y matemático alemán que, también junto con Isaac Newton, desarrolló el cálculo. Su contribución incluyó la sistematización del cálculo y la creación de notaciones que se utilizan hasta hoy, como se describe en el video.

💡Taylor Series

La serie de Taylor es una expansión matemática que representa una función como una suma infinita de términos calculados a partir de sus derivadas en un punto. En el video, se menciona cómo Isaac Newton introdujo la noción de series de Taylor en su trabajo, lo que es fundamental en el análisis de funciones.

💡Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo es una proposición clave que conecta el cálculo integral y diferencial, estableciendo que la integral de una derivada es la función original. En el video, se menciona que este teorema era conocido en la época de Newton y Leibniz y es central para el entendimiento del cálculo.

Highlights

La historia del cálculo se puede dividir en tres partes: antigua, medieval y moderna.

En la antigüedad, se desarrollaron ideas para calcular áreas y volúmenes, pero no de manera rigurosa.

Los papiros matemáticos de Moscú, datan del 1890 a.C., incluyen el cálculo del volumen de un tronco de pirámide.

Arquímedes fue un matemático clave en la antigüedad, utilizando el método exhaustivo para calcular áreas y aproximar pi.

Liu Hui, en China, utilizó el método de Arquímedes para encontrar el área del círculo en el siglo 3 a.C.

Sharaf al-Din al-Tusi, un matemático persa, descubrió la derivada de la función cúbica en el siglo 12.

Bhaskara II, en la India, desarrolló una derivada temprana y el teorema de Rolle en el siglo 12.

Angelsen, un matemático islámico, derivó la fórmula para la suma de la cuarta potencia en el año 1000.

En el Renacimiento, se avanzó en el álgebra y se introdujo un sistema de símbolos para resolver ecuaciones.

Bonaventura Cavalieri, en Italia, intentó calcular áreas y volúmenes con secciones infinitesimales.

John Walsh, Isaac Barrow y James Gregory combinaron ideas de Cavalieri con cálculo de diferencias finitas.

Isaac Newton introdujo el cálculo de derivadas de mayor orden, series de Taylor y funciones analíticas.

Gottfried Leibniz formalizó el cálculo infinitesimal y estableció reglas para la manipulación de cantidades infinitesimales.

Newton y Leibniz fueron acusados de plagio, pero hoy se reconocen como inventores independientes del cálculo.

El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la integración y la diferenciación.

En el siglo 19, el cálculo se estructuró más rigurosamente por matemáticos como Cauchy y Riemann.

Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos de velocidad, aceleración y optimización.

Las aplicaciones de la integral incluyen el cálculo de áreas, volúmenes y longitud de arco.

El cálculo también se utiliza en otras disciplinas matemáticas, como en álgebra lineal y teoría de probabilidad.