LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SU IMPORTANCIA
Summary
TLDREl guion ofrece una exploración fascinante de los números complejos, su historia y su importancia en las matemáticas modernas. Se ilustra cómo estos números, inicialmente llamados 'imposibles', han evolucionado para ser fundamentales en áreas como la geometría algebraica y la teoría de sistemas dinámicos. El script también aborda conceptos complejos como la multiplicación y la raíz cuadrada de -1, y cómo se representan en el plano. Además, se muestra cómo los números complejos se relacionan con la creación de fractales, incluyendo el conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot, destacando su belleza y complejidad en la ciencia contemporánea.
Takeaways
- 📚 La obra matemática del hablante está centrada en los números complejos, contribuyendo al avance de la geometría algebraica y la teoría de sistemas dinámicos.
- 🔍 Los números complejos tienen una larga historia y fueron inicialmente llamados 'números imposibles', pero hoy en día se utilizan en las ciencias y han dejado de ser misteriosos.
- 🎨 Gracias a los números complejos, es posible construir conjuntos fractales hermosos, como se muestra en la película 'La dinámica del conejo'.
- 📐 Los matemáticos representan números complejos en el plano, donde la suma y multiplicación de puntos corresponden a operaciones geométricas de vectores.
- 🔄 La multiplicación por -1 se visualiza como una rotación de 180 grados en el plano, lo cual es fundamental para entender la raíz cuadrada de -1.
- 🌐 Los números complejos se pueden representar en un plano y también en una esfera, donde el polo norte representa el infinito.
- 🔢 Se definen dos nociones importantes para los números complejos: el módulo, que es la distancia al origen, y el argumento, que es el ángulo con el eje positivo.
- 🔄 Al multiplicar números complejos, los módulos se multiplican y los argumentos se suman, lo que permite entender la proyección exterior gráfica.
- 🌀 Las transformaciones de números complejos, como la potencia y la similitud, pueden ser visualizadas y tienen efectos sobre las imágenes, como el tamaño y la orientación.
- 🔮 Los conjuntos de Julia y Mandelbrot son ejemplos de fractales que surgen de las transformaciones repetidas de números complejos, mostrando patrones detallados y bellos.
- 🌌 El conjunto de Mandelbrot, en particular, es una isla negra rodeada de un mar que permite ver detalles microscópicos, representando la belleza y complejidad del caos.
Q & A
¿Qué es el número complejo y cómo se relaciona con la geometría y la álgebra?
-Los números complejos son una extensión de los números reales que incluyen una unidad imaginaria, comúnmente denotada como 'i', donde 'i' elevado a la segunda potencia es igual a -1. Esta extensión permite resolver ecuaciones que no tienen soluciones en los números reales y se relaciona con la geometría y la álgebra al permitir la representación de puntos en el plano y la realización de operaciones geométricas como sumas y multiplicaciones de vectores.
¿Cómo se describe el concepto de 'número imaginario' en el script?
-En el script, el 'número imaginario' se describe como una idea que surgió para resolver la cuestión de multiplicar por -1, lo que llevó a la creación de la unidad imaginaria 'i'. Los números imaginarios son parte de los números complejos y son representados por puntos fuera de la recta real en el plano complejo.
¿Qué es la 'teoría de los sistemas dinámicos' y cómo se relaciona con los números complejos?
-La teoría de los sistemas dinámicos es un área de las matemáticas que estudia cómo las cosas cambian con el tiempo en sistemas que se transforman de manera predecible. Los números complejos son fundamentales en esta teoría, ya que son utilizados para describir y modelar la evolución de sistemas dinámicos complejos.
¿Qué es la 'geometría algebraica' y cómo se relaciona con la representación de puntos en el plano?
-La geometría algebraica es un área de las matemáticas que utiliza el álgebra para estudiar propiedades y objetos geométricos. En el script, se relaciona con la representación de puntos en el plano al describir cómo la suma y multiplicación de puntos (números complejos) en el plano se pueden realizar de manera similar a la de números reales, lo que es una base para la geometría algebraica.
¿Qué es el 'módulo' de un número complejo y cómo se mide?
-El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen al punto correspondiente en el plano complejo. Se mide utilizando una regla en el plano, donde el módulo es la longitud del vector que representa al número complejo.
¿Qué es el 'argumento' de un número complejo y cómo se determina?
-El argumento de un número complejo es el ángulo que forma la línea que une el origen con el punto correspondiente al número complejo con el eje real positivo. Se determina midiendo el ángulo en el plano complejo, generalmente en grados o radianes.
¿Qué son las 'transformaciones conformes' y cómo se relacionan con los números complejos?
-Las transformaciones conformes son funciones que preservan las ángulos locales entre curvas en el plano. En el contexto de los números complejos, estas transformaciones pueden ser representadas por operaciones como la multiplicación y la división de números complejos, que cambian los módulos y argumentos de los puntos en el plano sin distorsionar las formas.
¿Qué es el 'conjunto de Julia' y cómo se relaciona con las transformaciones de números complejos?
-El conjunto de Julia es un conjunto fractal que se define a partir de la repetición de una transformación simple en los números complejos. Se relaciona con las transformaciones de números complejos al determinar si, al aplicar una transformación repetidamente, el resultado se mantiene en un cierto conjunto o se aleja hacia el infinito.
¿Qué es el 'conjunto de Mandelbrot' y cómo se relaciona con el estudio de los conjuntos fractales?
-El conjunto de Mandelbrot es un conjunto fractal que se utiliza para estudiar las propiedades de los conjuntos de Julia. Se relaciona con el estudio de los conjuntos fractales al proporcionar una visualización de los valores de 'c' (un parámetro en la transformación de Julia) para los cuales el conjunto de Julia se comporta de manera 'buena', es decir, no se dispersa infinitamente.
¿Cómo se describe la 'proyección exterior gráfica' en el script y qué representa?
-La proyección exterior gráfica se describe en el script como un método para representar cada punto del plano (cada número complejo) en un punto correspondiente en una esfera. Esta representación es útil para visualizar y entender las propiedades de los números complejos y sus transformaciones en un espacio tridimensional.
¿Qué es la 'transformación de potencia' y cómo se relaciona con los números complejos?
-La transformación de potencia es una operación en la que cada número complejo 'z' se transforma en 'z' dividido por un número real. En el script, se utiliza para ilustrar cómo esta transformación afecta la imagen de un objeto, reduciendo su tamaño en función de la potencia aplicada.
Outlines
🔍 Introducción a los números complejos
El primer párrafo presenta una introducción a los números complejos, destacando su importancia en el avance de la geometría algebraica, álgebra y teoría de sistemas dinámicos. Se menciona su larga historia y cómo inicialmente fueron llamados 'números imposibles', pero con el tiempo se han vuelto esenciales en las ciencias, especialmente en la construcción de conjuntos fractales. El hablante comparte su experiencia en la creación de contenido sobre esta materia, incluyendo una película animada sobre la dinámica de fractales.
📚 Geometría algebraica y operaciones con números complejos
En este segmento, se explora cómo los números complejos se relacionan con la geometría algebraica, comenzando con la idea de sumar puntos en un plano y multiplicarlos, lo cual tiene implicaciones geométricas como el cambio de posición y la rotación. Se explica cómo la multiplicación por -1 implica una rotación de 180 grados, y cómo la raíz cuadrada de -1 se interpreta geométricamente como una rotación de 90 grados, llevándonos a la definición de números imaginarios y su representación fuera de la recta horizontal.
📐 Representación y operaciones con números complejos en el plano
El tercer párrafo se enfoca en la representación de números complejos en el plano y cómo se pueden sumar y multiplicar estos números de manera similar a los números reales. Se introducen conceptos como el módulo y el argumento de un número complejo, que son la distancia al origen y el ángulo con el eje de las abscisas, respectivamente. Además, se describe cómo el producto de dos números complejos se relaciona con la multiplicación de sus módulos y la suma de sus argumentos.
🌐 Proyección estereográfica y transformaciones de números complejos
Aquí se discute la proyección estereográfica, que asigna a cada número complejo un punto en una esfera, con la excepción del polo norte que representa el infinito. Se describen varias transformaciones de números complejos, como la potencia, la multiplicación por un número complejo y las similitudes, que combinan rotaciones y escalamientos. Estas transformaciones muestran cómo los números complejos pueden alterar imágenes y patrones de manera significativa.
🔄 Transformaciones y conjuntos de Julia y Mandelbrot
El quinto párrafo profundiza en las transformaciones de números complejos, ejemplificadas con el cuadrado de un número y la inversa de un número complejo. Se introducen los conjuntos de Julia y Mandelbrot, que son fractales generados a partir de iteraciones de funciones complejas. Se muestra cómo los puntos dentro de ciertos conjuntos se mantienen estables, mientras que los fuera se alejan al infinito, demostrando la belleza y complejidad de estos patrones fractales.
🎨 La belleza y el caos en los números complejos
En el último párrafo, el hablante reflexiona sobre su interés en los números complejos y fractales, no solo por su belleza, sino también por su relevancia en la comprensión del caos en la ciencia contemporánea. Se argumenta que la simplicidad de ciertos fenómenos matemáticos puede generar estructuras complejas, y que el estudio de estas puede proporcionar insights valiosos en el análisis de sistemas caóticos.
Mindmap
Keywords
💡números complejos
💡geometría algebraica
💡teoría de sistemas dinámicos
💡números imaginarios
💡fractales
💡módulo
💡argumento
💡transformaciones
💡conjunto de Julia
💡conjunto de Mandelbrot
Highlights
La obra matemática se centra en los números complejos, contribuyendo al avance de la geometría algebraica y la teoría de sistemas dinámicos.
Los números complejos tienen una larga historia, desde Tartaglia y los pioneros del Renacimiento hasta Cushing y la consolidación en el siglo XIX.
Los números complejos, inicialmente llamados 'imposibles', han invadido las ciencias y se han convertido en herramientas esenciales.
Se puede construir hermosos conjuntos fractales gracias a los números complejos, como se muestra en la película 'La dinámica del conejo'.
La relación entre la geometría y la tierra es el inicio de la geometría algebraica, donde se suman puntos en lugar de números.
La multiplicación de puntos en el plano complejo se muestra como una transformación geométrica de vectores.
La multiplicación por -1 envía un punto a su simétrico con respecto al origen, una rotación de 180 grados.
Robert Alan propuso la idea de la raíz cuadrada de -1 como una rotación de 90 grados, llevándonos fuera de la recta horizontal.
Los números complejos se pueden representar en el plano, donde cada punto tiene un número complejo correspondiente.
La suma y multiplicación de números complejos se describen como operaciones de vectores en el plano.
Se definen el módulo y el argumento de un número complejo, con el módulo siendo la distancia al origen y el argumento el ángulo.
El módulo del producto de dos números complejos es el producto de los módulos, y el argumento es la suma de los argumentos.
La proyección exterior gráfica relaciona cada número complejo con un punto en una esfera, añadiendo el concepto de infinito.
Las transformaciones de números complejos, como la potencia y la similitud, muestran cómo se modifican las imágenes.
La multiplicación de un número complejo por sí mismo (z^2) duplica el argumento y eleva al cuadrado el módulo.
Las transformaciones conformes preservan las formas a pesar de las variaciones en el tamaño y las distancias.
Los conjuntos de Julia y Mandelbrot son ejemplos de fractales que muestran la belleza y el caos en las matemáticas.
El conjunto de Mandelbrot se describe como una isla negra rodeada de un mar tropical con detalles microscópicos.
La belleza y el placer en la comprensión de estos objetos matemáticos son motivos suficientes para dedicar tiempo a su estudio.
Los fenómenos simples en matemáticas pueden generar estructuras ricas y esenciales en la ciencia actual.
Transcripts
soy alguien tú allí
toda mi obra matemática está centrada en
los números complejos
contribuía al avance de la geometría
algebraica y de la teoría de los
sistemas dinámicos
estos números tienen una larga historia
a su izquierda pueden mirar tartaria y
cargan a los pioneros que vivieron
durante el renacimiento a la derecha
cushing aus quienes consolidaron la
teoría en el siglo 19
los números complejos no son tan
complejos como podríamos creerlo
se les llamó primero los números
imposibles y todavía los llamamos a
veces imaginarios
es cierto necesitamos un poco de
imaginación hoy en día estos números han
invadido las ciencias y dejaron de ser
misteriosos
en particular gracias a ellos podemos
construir hermosos conjuntos fractales
yo trabajé mucho en ese tema incluso
realicé una película la dinámica del
conejo una de las primeras películas
animadas de matemáticas voy a empezar
por explicar en los números complejos el
pizarrón
a los matemáticos les gusta escribir
conquistas
verán que la regla la escuadra y el
transportador se comportan a veces de
forma poco habitual
trazamos una recta graduada en la pisa
nula
una de las más bellas ideas matemáticas
es la de relacionar la geometría y la
tierra
es el inicio de la geometría algebraica
de la misma forma en la que sumamos
números podemos sumar puntos
tomemos un punto rojo en la recta y otro
azul
su menos dos puntos
es el punto verde 1 2 y 3
si los puntos rojo y azul se desplazan
lo mismo pasa con el punto verde que su
suma
aún más interesante podemos multiplicar
puntos
observemos por ejemplo la multiplicación
por menos 2
transforma el punto 1 en el punto menos
2
[Música]
si volvemos a multiplicar por menos 2
tenemos que hacer el mismo movimiento
cambiar de lado con respecto al origen y
duplicar la distancia el origen
obtenemos por supuesto 4
si multiplicamos dos veces seguidas por
menos 2 multiplicamos por 4
la multiplicación por menos 1 es más
sencilla
cada punto es enviado a su simétrico con
respecto al origen
es decir hay que dar media vuelta con
una rotación de 180 grados si prefieren
si multiplicamos un número por sí mismo
el resultado es siempre positivo
por ejemplo si multiplicamos por menos 1
la media vuelta entonces si lo hacemos
una segunda vez regresamos al punto de
inicio es por esta razón que menos 1 x
menos 1 es igual a más 1
vean por ejemplo que la multiplicación
por menos 1 envía al 2 al menos 2 y que
si volvemos a multiplicar por menos 1
regresan los saltos evidente 1 entonces
no hay ningún número que multiplicado
por sí mismo de menos 1
dicho de otra forma menos uno no tiene
raíz cuadrada
[Música]
pero olvidamos contar con la imaginación
de los matemáticos
robert alan tuvo una hermosa idea a
principios del siglo xix se dijo cómo
multiplicar por menos uno decida 180
grados su raíz cuadrada es ir a la mitad
girar 90 grados
si giramos dos veces un cuarto de vuelta
damos media vuelta
y el cuadrado de un cuarto de vuelta es
media vuelta es decir menos 1
basta para pensarlo
haga declaró entonces que la raíz
cuadrada de menos 1 corresponde al punto
que es la imagen del 1 bajo una rotación
de 90 grados
pero eso nos obliga a salir de la recta
horizontal
acabamos de atribuirle un número a
puntos del plano que no están en la
recta
como la construcción es un poco rara
decimos que dicho punto raíz cuadrada de
menos 1 es un número imaginario y los
matemáticos lo denotan y
pero una vez que nos atrevemos a salir
de la recta lo que sigue es más sencillo
podemos representar 23 etcétera a todos
los puntos del plano les corresponde un
número complejo y recíprocamente todo
número complejo define un punto del
plano
los puntos del plano se han convertido
en números legítimos
estos números se pueden sumar como los
números ordinarios
observen el punto rojo que es el número
125
sumemos de 3 más
[Música]
qué es el punto azul
podemos realizar la suma como aprendemos
en destruirla el resultado es 4 + 3
del lado geométrico lo que hacemos de
sumar vectores
los números complejos se suman sin
problemas
mucho más interesante y los números
complejos también se pueden multiplicar
de la misma forma que los números reales
veamos
[Música]
sabemos multiplicar un número complejo
por 2 por ejemplo dos por uno más y da 2
más 2 etc
del lado geométrico es fácil multiplicar
por dos y de tantos por dos el doble del
punto rojo es el punto verde
tampoco multiplicar por y es difícil ya
que sabemos que corresponde a un cuarto
de vuelta
para multiplicar tres más y por y basta
girar el punto a un cuarto de vuelta
llegamos al menos uno más triste
y tan complejo los números complejos
[Música]
finalmente podemos multiplicar los
números complejos cualesquiera sin
problema
y tenemos por ejemplo multiplicar 2 más
1.5 y por menos 12.4
como de costumbre multiplicamos primero
por 2 y luego por 1.5 y sumamos los dos
resultados
[Música]
obtenemos
[Música]
entonces menos dos más 4.8 y menos 1.5 y
3.6
pero recordemos que y al cuadrado es
igual a menos 1 es para eso que lo
inventamos
[Música]
da - 24.8 y más etcétera
[Música]
volveremos un poco y tenemos que menos
dos menos 3.6 4.8 y menos 1.5 y
es decir menos 5.6 más 3.3
y listo
somos capaz de multiplicar los números
complejos dicho de otra forma
sabemos multiplicar puntos del plano
es increíble creíamos que el plano de la
dimensión 2 ya que necesitamos los
números para describir la posición de un
punto cualquiera y ahora les digo es
suficiente con un solo número claro que
hemos cambiado de números se trata ahora
de números complejos
[Música]
vamos a definir dos nociones el módulo y
el argumento del número complejo
[Música]
el módulo de un número complejo z es
sencillamente la distancia del origen al
punto correspondiente del plano
tomemos la regla para medir el módulo
del punto rojo que es 2 más 1.5
observemos que medimos 2.5 entonces el
módulo de 21.5 y es 2.1
para el punto azul obtenemos 2.6 y para
el punto verde que es el producto de los
puntos rojo y azul obtenemos 6 puntos y
es un hecho general el modo del producto
de dos números complejos es el producto
de los módulos de los dos números
[Música]
el argumento del número complejo se
obtiene midiendo el ángulo entre el eje
de las abscisas y la recta que va de
origen al punto
aquí por ejemplo el argumento del número
complejo rojo es igual a 36 puntos 8
grados el del punto azul es de 112
puntos 6 grados desde el producto el
punto verde es 149.4 grados es la suma
de los argumentos de los dos números
cuando multiplicamos los números
complejos los módulos se multiplican y
los argumentos se suman
[Música]
terminemos nuestro primer encuentro con
los números complejos con la proyección
exterior gráfica
tomemos una esfera tangente al piso
utilizando la proyección exterior
gráfica a cada punto del pizarrón decir
a cada número complejo le corresponde un
punto de la esfera
solo el polo norte de la esfera es decir
el polo de proyección no está asociado a
ningún nombre complejo
decimos que está asociado al infinito
los matemáticos dice que la esfera es
una recta proyectada completa
porque es recta porque necesitamos un
solo número para describir sus puntos
porque hay compleja
porque dicho el número es complejo y
porque proyectiva porque agregamos un
punto al infinito cuando proyectamos
sobre la esfera qué raro son estos
matemáticos que dicen ahora que la
escena es una recta
voy a mostrarles algunas formaciones
transformaciones de que pues bien si no
les molesta transformaremos mi retrato
comencemos por algo sencillo la
transformación que hace está asigna
zetas sobre dos cada punto de la
fotografía corresponde al número
complejo z que dividimos entre dos
obtenemos otro punto su transformado y
por lo tanto una nueva imagen como verán
no hay sorpresas simplemente me envolví
dos veces más pequeño puesto que cada z
fue dividida entre dos esa
transformación se llama una potencia
pasemos a la multiplicación por 1000
qué fast sabemos que multiplicar por y
es simplemente girar un cuarto de vuelta
observé que el módulo no cambia pero que
el argumento aumenta 90 grados
qué manera tan complicada de decir que
giramos la foto
[Música]
tenga un poco más complicado la
multiplicación por un oasis
observen el número complejo uno más y
corresponde al punto de axis a uno y
ordenar a uno
su argumento es de 45 grados y su módulo
la raíz cuadrada de 2 según el teorema
de pitágoras multiplicar por uno más y
es pues por un lado multiplicar el
módulo por la raíz de dos y por el otro
añadir 45° el argumento en breve hay que
combinar una potencia y una rotación
a esa transformación le llamamos una
similitud
[Música]
ahora algo más interesante
vamos a transformar los puntos z en sus
cuadrados es decir multiplicaremos a z
por zeta
comencemos por ubicar la foto en un
lugar conveniente acorralada entre los
ejes de coordenadas
después nos alejamos un poco pues
elevado al cuadrado va a delatar mucho
las cosas y necesito un poco de espacio
para mostrarles todo eso
bien
ahora podemos transformar la foto
progresivamente
noten que el argumento de z al cuadrado
es dos veces el argumento de zeta de
manera que el ángulo recto del ángulo
inferior izquierdo de la foto es
duplicada por nuestra transformación se
vuelve un ángulo llano
ahora colocó la foto en otro lugar y
vamos a observar la misma transformación
set al cuadrado
van a constatar una vez más cómo se
duplican los argumentos
observen por ejemplo mi dedo índice
antes de la transformación su argumento
era más o menos de 45 grados y después
de la transformación esta vertical a 90
grados pero pueden también observar que
los módulos se elevan al cuadrado
[Música]
pasemos a una nueva transformación la
que envía al punto z sobre menos 1 /
zeta
no lo olviden con los números complejos
podemos sumar y multiplicar pero también
dividir excepto entre 0 por supuesto
nuevo acá esta imagen a la capilla
sixtina
los grandes números complejos aquellos
que tienen un gran módulo se vuelven
pequeños cuando tomamos su inverso y
recíprocamente
[Música]
ahora una transformación del mismo tipo
observen la forma
el valor de acá cambia paulatinamente
algunas partes se dilatan y otras se
contraen pero si observamos de cerca
vemos que las formas se preservan aunque
no las distancias
un círculo sigue siendo un círculo
aunque crezca mi mano creció y mi rostro
se hizo pequeño pero apuesto a que
todavía me reconocí
[Música]
una transformación más un poco más
complicada
[Música]
bueno no podemos realmente decir que se
trate de una dieta
pero no tiene una vez más que aunque
haya engordado la forma de las partes
pequeñas no ha cambiado se observa por
ejemplo un botón de mi camisa tiene
alguna forma de un círculo
decimos que esas transformaciones son
conformes por fas
voces latinas y complicadas para decir
que presentamos las formas con los
números complejos podemos hacer
realmente muchas cosas
y hasta tomar la exponencial si saben lo
que eso quiere decir pero inclusive si
no lo saben vean en suplicio al que el
exponencial me somete esa presión mi
cabeza no si miramos con un microscopio
cerca del origen veríamos mi barba
ahora que saben lo que son los números
complejos y que han visto algunas
transformaciones les voy a explicar una
de las cosas que estudie en detalle
vera que un cierto número de puntos
algunos al interior del disco de radio 1
son azules y otros al exterior son
amarillos
apliquemos la transformación zeta al
cuadrado varias veces consecutivas y
observemos el resultado
ven que los puntos azules permanecen en
el interior del disco y que por el
contrario los puntos amarillos se alejan
e inclusive salen de la pantalla
[Música]
decimos que el disco azul es el conjunto
de lluvia lleno de la transformación se
da la aceta cuadrado
los puntos situados en el exterior del
conjunto de julia se van al infinito si
repetimos indefinidamente la
transformación
pero podemos jugar a este juego con
otras transformaciones como por ejemplo
las de la forma se da al cuadrado más
donde se es un número complejo de
nuestra elección
para cada número complejo se tenemos
pues un conjunto de julia cuya forma
varía con c
[Música]
ven aquí algunos ejemplos
[Música]
fue este al que llamé el conejo
[Música]
para comprender cómo varían estas formas
les voy a mostrar dos cosas al mismo
tiempo
a la izquierda del lado rojo pero un
punto que va a desplazarse es el punto c
a la derecha en el conjunto de julia
correspondiente éste se deforma a medida
que se varía pero a veces para algunos
valores de s él junto de julia parece
desaparecer y ya no vemos nada en la
pantalla como ahora por ejemplo
la verdad es que el conjunto de lluvia
estalló en una infinidad de pedazos tan
pequeños que ya no vemos nada en la
pantalla
benoit mandelbrot quien popularizó los
conjuntos fractales propuso estudiar el
conjunto dibujado en rojo que describe
los valores de ce para los cuales el
conjunto de julia se lee bien en la
pantalla
es decir los valores para los cuales el
mundo de llúria no ha explotado en
múltiples pedazos por supuesto el
conjunto rojo se llama el conjunto de
mandelbrot
yo pasé mucho tiempo estudiando lo
para acabar les propongo observar al
conjunto de mandelbrot de cerca muy de
cerca y hacer un zoom hacia su interior
para que puedan ver hasta qué punto es
hermoso
aquí vamos admiren
permítanme ahora no explicarles todo
imaginen el conjunto de mandelbrot como
una isla negra rodeada por un mar
tropical que permite ver los fondos
submarinos
[Música]
pero os digo están viendo detalles
verdaderamente microscópicos si el
conjunto de mandelbrot tuviera el tamaño
de una cancha de fútbol pues bien los
detalles que vamos a examinar tendría el
tamaño de un átomo más o menos un
millonésimo de milímetro
[Música]
[Aplausos]
[Música]
[Aplausos]
[Música]
se preguntarán tal vez porque me
interesó todo esto en primer lugar y
antes que nada porque es bello y porque
la comprensión de estos objetos me
brindó un gran placer para mí esa es una
razón suficiente para consagrar el
tiempo pero también porque en esas
transformaciones aparentemente tan
simples está la esencia de lo que es el
caos tan importante en la ciencia de hoy
cosas simples generar estructuras ricas
el trabajo de un matemático es con
frecuencia el estudio de fenómenos
complicados en su encarnación más simple
posible
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