Matrices de rotación en 3D de x, y, z
Summary
TLDREl guion ofrece una explicación detallada sobre cómo obtener las matrices de rotación en tres dimensiones para cada eje. Se describe el proceso de proyección de los ejes de un sistema de coordenadas girado sobre otro, utilizando vectores unitarios y el producto punto para construir las matrices de rotación. Además, se mencionan las propiedades de estas matrices, como la transposición para obtener la inversa y la descomposición de rotaciones en ejes individuales.
Takeaways
- 📐 Se discute cómo obtener la matriz de rotación en tres dimensiones y para cada eje específico.
- 🎯 Se presenta una trama absoluta como sistema de coordenadas base para la demostración.
- 🔄 Se describe el proceso de obtener un nuevo sistema de coordenadas girado y desfasado en relación a la trama absoluta.
- 📝 Se identifican los ejes de los sistemas de coordenadas con subíndices correspondientes a cada trama.
- 📍 Se trabaja con vectores unitarios y se proyectan estos con respecto a los ejes de las tramas.
- 📚 Se define la matriz de rotación en términos de proyecciones de vectores unitarios entre diferentes sistemas de coordenadas.
- 🧭 Se utiliza el producto punto para determinar las componentes de la matriz de rotación.
- 🔄 Se mencionan las propiedades de la matriz de rotación, incluida su transposición para obtener la inversa.
- 📈 Se describe el proceso de descomposición de rotaciones compuestas en rotaciones individuales por eje.
- 📊 Se construyen las matrices de rotación para los ejes X, Y y Z, utilizando funciones trigonométricas como el coseno y el seno.
- 🔚 Se concluye el video hablando sobre las tres matrices de rotación individuales y su importancia en la rotación de tramas.
Q & A
¿Qué es una matriz de rotación en tres dimensiones?
-Una matriz de rotación en tres dimensiones es una matriz matemática que describe cómo se transforma un sistema de coordenadas al rotar otro sistema de coordenadas con respecto al primero, manteniendo la orientación de los ejes.
¿Cuál es el propósito de obtener una matriz de rotación para cada eje en tres dimensiones?
-El propósito de obtener una matriz de rotación para cada eje es para entender cómo se proyecta cada eje de un sistema de coordenadas en los ejes de otro sistema de coordenadas, lo cual es útil en cálculos de movimientos y transformaciones en el espacio tridimensional.
¿Cómo se define la trama absoluta en el script?
-La trama absoluta es el sistema de coordenadas de referencia, sobre el cual se van a obtener y comparar los nuevos sistemas de coordenadas que están orientados de manera diferente.
¿Qué es el sistema b y cómo se relaciona con la trama absoluta?
-El sistema b es un nuevo sistema de coordenadas que está orientado de manera diferente con respecto a la trama absoluta, y se ha girado un ángulo theta, lo cual se describe en el script como haberse girado 30 grados.
¿Cómo se identifican los ejes de los sistemas de coordenadas en el script?
-Los ejes de los sistemas de coordenadas se identifican con letras mayúsculas y subíndices que representan su correspondencia con la trama o sistema de coordenadas al que pertenecen, como x_a, y_a, z_a para la trama absoluta y x_b, y_b, z_b para el sistema b.
¿Qué son los vectores unitarios y por qué son importantes en este contexto?
-Los vectores unitarios son vectores de longitud igual a 1 en una dirección específica. Son importantes en el contexto de las matrices de rotación porque representan las direcciones de los ejes de los sistemas de coordenadas y se utilizan para calcular las proyecciones de estos ejes en otros sistemas.
¿Cómo se calcula la proyección de un vector unitario con respecto a otro en el script?
-La proyección de un vector unitario con respecto a otro se calcula utilizando el producto punto entre los vectores. Este producto punto da la longitud del segmento de la proyección del primer vector sobre el segundo vector.
¿Qué es el producto punto y cómo se usa para encontrar las proyecciones en las matrices de rotación?
-El producto punto es una operación entre dos vectores que resulta en un escalar y se utiliza para medir la proyección de un vector sobre otro. En el caso de las matrices de rotación, el producto punto se usa para determinar cómo se proyecta cada eje de un sistema de coordenadas en los ejes de otro sistema.
¿Qué propiedades tiene la matriz de rotación según lo descrito en el script?
-Las propiedades de la matriz de rotación incluyen que su inversa es igual a su transpuesta, lo que significa que al rotar un sistema de coordenadas y luego rotarlo de nuevo utilizando la transpuesta de la matriz de rotación, se obtiene el sistema original.
¿Cómo se descompone una rotación compuesta en rotaciones con respecto a cada eje?
-Una rotación compuesta se puede descomponer en rotaciones con respecto a cada eje individual, obteniendo para cada eje una matriz de rotación específica que describe la transformación en esa dirección.
¿Cómo se calcula la matriz de rotación con respecto a un eje específico, como el eje z?
-Para calcular la matriz de rotación con respecto a un eje específico, se analizan las proyecciones de los ejes del sistema de coordenadas que se está rotando (en este caso, el sistema b) sobre los ejes del sistema de coordenadas de referencia (el sistema a). Se utilizan funciones trigonométricas como el coseno y el seno para determinar estas proyecciones.
¿Cuáles son las tres matrices de rotación que se pueden obtener según el script?
-Las tres matrices de rotación que se pueden obtener son la matriz de rotación con respecto al eje z, la matriz de rotación con respecto al eje y y la matriz de rotación con respecto al eje x.
Outlines
📚 Introducción a las Matrices de Rotación
El primer párrafo introduce el concepto de las matrices de rotación en tres dimensiones y cómo se pueden obtener para cada eje. Se describe la creación de un sistema de coordenadas 'trama absoluta' y el proceso de generar un nuevo sistema 'sistema b', orientado de manera diferente, como un giro de 30 grados. Se mencionan los ejes y vectores unitarios correspondientes, y se enfatiza la importancia de las proyecciones de estos ejes para construir las matrices de rotación.
🔄 Propiedades de las Matrices de Rotación
Este párrafo explora las propiedades de las matrices de rotación, destacando que la inversa de una matriz de rotación se obtiene a través de la transpuesta. Se ilustra cómo una trama puede ser rotada con respecto a otra, y cómo las rotaciones compuestas pueden descomponerse en rotaciones individuales de ejes. Se describe el proceso de obtener la matriz de rotación para un giro alrededor del eje z, utilizando análisis trigonométrico para determinar las proyecciones de los ejes y rellenar la matriz.
📐 Matriz de Rotación alrededor del Eje Y
El tercer párrafo se enfoca en la construcción de la matriz de rotación alrededor del eje Y. Se describen las proyecciones de los ejes de la trama b sobre los ejes de la trama a, utilizando funciones trigonométricas como el coseno y el seno para determinar las componentes de la matriz. Se detallan los cálculos para cada una de las filas de la matriz, mostrando cómo se relacionan los ejes rotados con los originales.
🎯 Matriz de Rotación alrededor del Eje X
El último párrafo finaliza el tema con la construcción de la matriz de rotación alrededor del eje X. Se presentan las proyecciones de los ejes de la trama b sobre los ejes de la trama a, siguiendo el mismo enfoque trigonométrico que en los párrafos anteriores. Se resaltan las particularidades de las proyecciones cuando los ángulos son de 90 grados y se rellena la última matriz de rotación. El video concluye con una revisión de las tres matrices de rotación individuales y la matriz general que representa la rotación completa de una trama con respecto a otra.
Mindmap
Keywords
💡Matriz de rotación
💡Ejes
💡Sistema de coordenadas
💡Proyección
💡Vectores unitarios
💡Producto punto
💡Trigonometría
💡Rotación
💡Transpuesta
💡Desfase
Highlights
Se discute cómo obtener la matriz de rotación en tres dimensiones.
Se presenta la idea de obtener una matriz de rotación para cada eje en tres dimensiones.
Se describe el proceso de crear un nuevo sistema de coordenadas a partir de un sistema de coordenadas existente.
Se nombra y se identifica a los sistemas de coordenadas A y B, con sus respectivos ejes.
Se explica el uso de vectores unitarios para representar ejes de coordenadas.
Se describe el método para encontrar la matriz de rotación observando las proyecciones de los ejes.
Se define la operación de producto punto para determinar las proyecciones de vectores.
Se detalla cómo construir la matriz de rotación a través del análisis trigonométrico.
Se mencionan las propiedades de la matriz de rotación, como su transposición para obtener la inversa.
Se discute la posibilidad de descomponer rotaciones en rotaciones con respecto a cada eje.
Se presenta la matriz de rotación con respecto al eje Z, incluyendo su análisis trigonométrico.
Se describe el proceso para construir la matriz de rotación con respecto al eje Y.
Se detalla el análisis para construir la matriz de rotación con respecto al eje X.
Se resalta la importancia de la comprensión de los ángulos y funciones trigonométricas en la construcción de matrices de rotación.
Se concluye el video con una revisión de las tres matrices de rotación obtenidas para los ejes X, Y y Z.
Transcripts
saludos a todos y bienvenidos en esta
ocasión vamos a obtener la matriz de
rotación en tres dimensiones y también
vamos a obtener la matriz de rotación
para cada uno de los ejes en tres
dimensiones ya tengo preparada una trama
que va a ser mi trama absoluta que es el
sistema de coordenadas y recordemos que
sobre esta trama nosotros vamos a
obtener un nuevo sistema de coordenadas
orientados de diferente manera es decir
este va a estar girado teta grados este
sería mi sistema que se encuentra haya
girado 30 grados se encuentra desfasado
cierto ángulo y lo he nombrado como el
sistema b para cada uno de los ejes
identificándolo con respecto a cada una
de sus tramas en nombrado como x a
iceta da correspondientes a la trama o
al sistema de coordenadas a y xvii lleve
y zb los ejes correspondientes al
sistema de coordenadas recordemos que
estamos trabajando también con los
vectores unitarios para cada uno de
estos ejes por lo tanto ya dibujando
cada uno de estos vectores unitarios
tendríamos lo siguiente él
jk para la primera trama nombrados con
el subíndice
tenemos el y j ica para la segunda trama
de color verde nombrados con un sub
índice ve bien recordemos que para
encontrar una matriz de rotación lo que
debemos de hacer es observar cómo se
está proyectando cada uno de los ejes
con respecto a los otros tres en esta
ocasión nuevamente vamos a observar y
vamos a identificar cómo se encuentra
proyectado el eje x en este caso va a
ser el unitario y debe con respecto al
eje x d a la idea y aceta de a lo que
sería idea jd a y cadena para cada uno
de ellos respectivamente nuevamente
vamos a obtener cada una de sus
proyecciones encontrando cada una de las
componentes de cada uno de estos
vectores para esto comenzamos definiendo
nuestra matriz de rotación en tres
dimensiones lo cual sería una matriz de
rotación de b con respecto aa en está
nuevamente obtendríamos los siguientes
datos estaríamos obteniendo cómo se
encuentra proyectado el unitario idv con
respecto a cada uno de estos ejes
podríamos decir y denotar lo como la
proyección de y de la trama b con
respecto aa y también vamos a encontrar
cómo se encuentran de j dv con respecto
aa y finalmente cómo se encuentra la
proyección de k dv con respecto aa
recordemos que para encontrar cada una
de ellas podemos realizar un análisis
trigonométrico y como en esta ocasión
vamos a definir una matriz de rotación
genérica que me indicaría cómo se
encuentra completamente la trama b con
respecto a la trama vamos a utilizar la
operación matemática que me define cómo
se proyecta un vector con respecto a
otro esta operación es el producto punto
de un vector con respecto a otro por lo
tanto realizando el producto punto de
cada uno de estos vectores con respecto
a los vectores unitarios de la trama a
tendría lo siguiente la matriz de
rotación b con respecto a la trama a y
en esta tendría que conformar como se
encuentra proyectado el unitario y debe
con respecto al eje x es decir con
respecto a idea por lo tanto tendría que
colocar un producto punto de idv punto
idea posteriormente como se encuentra
proyectado este mismo vector y debe pero
ahora con respecto a jd a por lo tanto
colocó y debe punto j y finalmente como
se encuentra proyectado este vector y
debe pero ahora con respecto al eje z
así es que tendría un y debe punto
cadena esto me estaría definiendo ahora
cómo se encuentra la proyección del eje
x de la trama b con respecto a cada uno
de los ejes de la trama y de la misma
manera vamos a realizarlo para cada uno
de los otros ejes de la trama b con
respecto a los ejes de la trama
así es que describiendo la proyección de
mi vector jdb con respecto a cada uno de
ellos primero tendría un producto punto
d jdb con respecto al eje x que sería
ideal posteriormente un producto punto
del eje de b que sería jdb producto
punto con el eje y de la trama que sería
jd a y finalmente jdb producto punto
ahora con el eje z de a que sería la dea
de esta misma manera vamos a realizarlo
para el último eje en donde ahora vamos
a encontrar la proyección del eje z de
la trama b con respecto a x de a hay
idea y acepta de a por lo tanto tendría
lo siguiente la proyección de década un
producto puntocom ideal la proyección de
cadivi un producto puntocom
jd a la proyección de cada producto
punto con gadea y bueno esta última
columna me está definiendo cómo se
encuentra ya proyectado el eje z de la
trama ve qué son estas casas con
respecto a cada uno de los ejes el x el
yen y el zeta esta matriz que tenemos
aquí es nuestra matriz de rotación en
tres dimensiones vamos a mencionar
algunas de las propiedades que tiene la
matriz de rotación primero que nada
cuando nosotros vamos a realizar la
inversa de una matriz de rotación debe
con respecto aa inversa esto sería igual
a realizar la transpuesta de una matriz
de rotación de b con respecto a lo que
sería igual que una vez que nosotros
realicemos la transpuesta obtendríamos
la matriz de rotación de a con respecto
a b por lo tanto si realizamos
cualquiera de estas operaciones
tendríamos esta igualdad ya que hemos
definido nuestra matriz de rotación en
tres dimensiones la que nos indica cómo
se va a encontrar orientada o rota da
una trama con respecto a otra observemos
que en este caso nosotros estamos
colocando esta trama y esta trama se
encuentra completamente los 13 que se
encuentran rota 2 con respecto a la
trama original que sería la a sin
embargo cualquier rotación compuesta es
posible descomponer la en rotaciones con
respecto a cada uno de los ejes por lo
tanto vamos a obtener la matriz de
rotación con respecto a cada uno de
estos ejes
bien así es que ya he dibujado otras dos
tramas en donde ahora podemos observar
que la trama se encuentra girada theta
grados y se encuentra girada con
respecto al eje z estos 30 grados que se
encuentran aquí también se encuentran
aquí podemos observar que tanto el eje x
como el eje i se encuentran desfasados
sin embargo el eje z se encuentra con
lineal al eje z de la trama por lo tanto
ahora estaríamos obteniendo la matriz de
rotación respecto al eje z así es que
vamos a observar cómo se encuentra la
proyección de cada uno de estos ejes de
la trama b con respecto a la trama ya
ésta la vamos a nombrar como la matriz
de rotación de z formando nuestra matriz
de rotación sobre el eje z vamos a
observar cómo se proyecta el eje x de la
trama b con respecto al x de a con
respecto al idea y con respecto al zeta
de a podemos realizar un análisis
trigonométrico en donde realizando la
proyección del eje x debe con respecto a
x de a obtendríamos esta parte así es
que analizando este triángulo rectángulo
podemos decir que la proyección d dv con
respecto a x de a se obtiene por medio
de un coseno por lo tanto en esta
posición vamos a agregar el coseno de
teta recordemos que si nosotros estamos
trabajando con vectores unitarios esto
vale 1 y 1 x coseno simplemente nos
queda el coche de la misma manera ahora
vamos a encontrar cómo se encuentra
proyectado el eje x de b con respecto al
eje idea observamos que ahora esta
proyección o esta componente se
encuentra por medio de la función seno
por lo tanto tendríamos en esta posición
el seno de teta bien finalmente vamos a
describir cómo se está proyectando el
eje x de la trama b con respecto al zeta
de la trama a podemos observar que entre
el eje x dvi el zeta de a se mantiene un
ángulo de 90 grados algo similar a esto
tendría por aquí el eje x dvi por aquí
tendría el zeta de a entre ellos se
forma este ángulo de 90 grados por lo
tanto su proyección sería 0 y con esto
ya tenemos la proyección de x de b con
respecto a los ejes de la trama
continuando ahora para obtener la
siguiente columna vamos a observar cómo
se está proyectando el eje 7 v con
respecto a x de a nuevamente realizando
un análisis trigonométrico y si
extendemos el eje x de la trama a nos
queda aproximadamente de esta manera y
ahora realizando la proyección de este
eje
ahora vamos a observar cómo se está
proyectando este eje y etb con respecto
a x ahora podemos observar que esta
componente la podemos obtener por medio
de la función seno por lo tanto en esta
posición vamos a agregar un signo menos
el seno detecta nuevamente vamos a
analizar cómo se está proyectando este
vector o este eje que debe con respecto
a ahora del eje idea ahora podemos
observar que como el ángulo lo tenemos
aquí esta proyección o esta componente
sería un cateto adyacente por lo que
utilizamos el coseno así es que en esta
posición vamos a colocar el cose no
detecta y finalmente vamos a indicar
cómo se está proyectando este eje y etb
con respecto al zeta de a nuevamente
observamos que aquí se mantiene los 90
grados por lo tanto tenemos ésta decimos
que no se tiene una proyección o una
componente así es que colocamos cero
ahora obteniendo la última columna vamos
a encontrar cómo se proyecta el eje z
debe con respecto al x de a allied ea y
al zeta de a así es que observando esta
proyección como se estaría proyectando
este eje z debe con respecto a x de a
bueno pues observamos que aquí tenemos y
mantenemos nuevamente un ángulo de 90
grados por lo tanto no existe proyección
de la misma manera si observamos cómo se
proyecta el ctv con respecto a idea aquí
se mantiene un ángulo de 90 grados por
lo tanto nuevamente no existe proyección
y finalmente como se está proyectando
ahora el eje z debe con respecto al se
está de a como se encuentran con
lineales los dos vectores se encuentran
justamente uno encima del otro y como
estamos trabajando con vectores
unitarios indicamos que aquí se proyecta
uno a uno o se proyecta el vector
completamente sobre el otro y bien con
esto estamos conformando nuestra matriz
de rotación con respecto al eje
bien ahora vamos a obtener la matriz de
rotación con respecto al eje y por lo
tanto vamos a nombrarla como la matriz
de rotación de iu y vamos a observar
nuevamente cómo se encuentra proyectado
cada uno de estos ejes con respecto a
los ejes de la trama a los ejes rojos
con respecto a los ejes blancos tomando
en cuenta que ya estos serían los
unitarios o que estamos utilizando los
vectores unitarios por lo tanto y
nuevamente comenzando con el eje x
observamos cómo se encuentra proyectado
el eje x con respecto al eje x d a éste
se encuentra proyectado de esta manera
con respecto a x y con respecto a z aquí
tendríamos la otra parte del eje z
negativo por aquí aproximadamente y el
eje x debe con respecto al eje z de a se
encuentra proyectado aproximadamente en
esta posición nuevamente comenzamos
analizando cómo se encuentra proyectado
x debe con respecto a x dea y observamos
que lo obtenemos por medio de la función
coseno y ya que esta componente es el
cateto adyacente por lo tanto en esta
posición escribimos el coche no detecta
y nuevamente observamos cómo se
encuentra proyectado o cuál es la
proyección de x debe con respecto a idea
observamos que en este tenemos un ángulo
de 90 grados no tenemos proyección y
finalmente observamos cómo se proyecta x
debe con respecto acepta de a y aquí
podemos observar que una de sus
componentes está directamente sobre el
eje z en la parte negativa agregamos un
signo menos y como se trata del cateto
opuesto del eje x debe vamos a utilizar
la función seno colocamos el seno de
teta bien esto fue la proyección del eje
x de v con respecto a los ejes de a
ahora observamos cómo se proyecta el eje
y etb con respecto a x d observamos que
el eje rojo ya debe con respecto a x de
a se encuentra completamente a 90 grados
por lo tanto no existe proyección
agregamos 0 ahora observamos cómo se
encuentra proyectado el eje 7 con
respecto al idea y cómo se encuentran
completamente con lineales se encuentra
la proyección completa uno a uno aquí
agregamos uno finalmente observamos cómo
se encuentra proyectado el eje y con
respecto al zeta de a observamos
nuevamente que se debe con respecto a z
de a tiene o mantiene los 90 grados por
lo tanto no existe proyección y
colocamos 0 vamos a analizar finalmente
la proyección del zeta debe con respecto
a los otros tres ejes en donde
nuevamente observamos cómo se proyecta
el zeta debe con respecto al x de a y
podemos observar que con respecto al x
de a se está proyectando el cateto
opuesto lo que sería la componente en x
por lo tanto vamos a utilizar la función
seno y escribimos seno de teta en esta
posición ahora observamos cómo se está
proyectando el ctv con respecto a idea
recordemos que como esta trama
simplemente se giró aquí se mantienen
los 90 grados por lo tanto colocó 0 ya
que no se tiene una proyección y
finalmente observamos cómo se está
proyectando el zeta debe con respecto al
zeta de a en esta ocasión podemos
observar que se trata de un coseno ya
que su componente es el cateto adyacente
y se encuentra sobre el eje
a positivo por lo tanto utilizamos la
función coseno y agregamos coseno de
teta esta sería la matriz de rotación
con respecto al eje y y bien finalmente
vamos a obtener la matriz de rotación
con respecto al eje x
nuevamente vamos a encontrar la
proyección de cada uno de los ejes con
respecto a los ejes de la trama y
nuevamente analizamos cómo se está
proyectando el x de b con respecto al x
de a en esta ocasión estos dos ejes
tanto el x de b como el x de a son
completamente co lineales la proyección
es 1 a 1 por lo tanto colocamos 1
posteriormente analizamos cómo se está
proyectando el eje x de b con respecto
al idea observamos que el eje llegue a
mantiene 90 grados con respecto al x
debe o el x debe mantiene 90 grados con
respecto al idea así es que podemos
indicar que no existe alguna proyección
de la misma manera si analizamos cómo se
proyecta x debe con respecto a z de a
aquí tendría un ángulo de 90 grados por
lo tanto no existe proyección y
colocamos un cero nuevamente observamos
cómo se proyecta nieve con respecto a
los ejes de la trama a realizamos cada
una de sus proyecciones para obtener
cada una de sus componentes obteniendo
este triángulo rectángulo que observamos
en donde podemos observar que solamente
va a tener componentes para el eje y y
para ez podemos indicar que el eje debe
con respecto al x de a mantiene los 90
grados por lo tanto no tiene una
proyección posteriormente observamos
cómo se proyecta y etb con respecto a
idea y en esta ocasión podemos observar
que esta componente es el cateto
adyacente por lo tanto utilizamos la
función coseno y agregamos coseno de t
está analizando cómo se proyecta y etb
con respecto a z de a podemos observar
que ahora esta componente sería el
cateto opuesto por lo tanto agregamos el
seno de teta en esta posición bien
finalmente vamos a observar cómo se está
proyectando el eje ztv con respecto a
los otros tres de la trama blanca
quedando aproximadamente de esta manera
la parte negativa del eje y y ahora
proyectando cada una de sus componentes
tendríamos las siguientes proyecciones
generando este triángulo rectángulo y
nuevamente analizando cómo se proyecta
ztv con respecto a x dea observamos que
éste mantiene 90 grados así es que
colocamos un cero ya que no existe
proyección ahora analizando cómo se
proyecta z debe
y este se estaría proyectando en la
parte negativa por lo tanto agrega un
signo menos y como se trata de la
componente en este sería el cateto
opuesto por lo tanto colocamos el seno
de teta finalmente observamos cómo se
está proyectando ztv con respecto a z de
a observamos que ahora esta componente
es el cateto adyacente por lo tanto
colocamos el coseno de teta y bien
finalmente con esto estamos conformando
la última matriz de rotación con
respecto al eje x con esto tendríamos ya
las tres matrices de rotación y la
matriz general que nos indica cómo está
rotando una trama con respecto a otra la
matriz de rotación con respecto al eje z
la matriz de rotación con respecto al
eje y y la matriz de rotación con
respecto al eje x y bien por este vídeo
ha sido todo hasta luego
浏览更多相关视频
Matriz de rotación en 2d y sistemas de coordenadas
Transformaciones lineales en tres dimensiones | Esencia del álgebra lineal, capítulo 4b
Transformaciones lineales y matrices | Esencia del álgebra lineal, capítulo 3
📢 ESPACIOS VECTORIALES de MATRICES💥 Bases y coordenadas. Álgebra Lineal #matematicas
Cambio de Bases | Esencia del álgebra lineal, capítulo 09
Problema, Beer and Johnston 3-53, estática, triple producto escalar, momentos sobre una línea.
5.0 / 5 (0 votes)