Cálculo Integral 02:Sumas infinitas. Infinite sums.

Summary

在本节课中，讲解了如何通过积分计算函数y = x³下方的面积。通过将区间划分为n个子区间，并在每个子区间上计算矩形面积，逐步推导出更通用的计算公式。与上节课不同，这一方法使得我们能够计算任意区间内的面积，不再受限于固定的区间长度。最后，通过引入极限的概念，得出了精确的公式，能够在任意区间上计算x³函数下的面积，极大简化了计算过程。

Takeaways

• 😀 在这节课中，我们通过积分的方式对函数 f(x) = x³ 在不同区间下的面积进行了求解。
• 😀 我们将区间 [0, B] 进行划分为 n 个小区间，其中 n 不再是固定的，而是可以变化的。
• 😀 每个小区间的宽度通过 Δx 来表示，Δx 的值为 B/n，表示区间的划分。
• 😀 通过递推方式，我们能计算出每个子区间的右端点 x₁, x₂, ..., xₙ，且每个 xᵢ = i * B / n，其中 i 为该区间的索引。
• 😀 通过将函数 f(x) 在这些右端点进行求值，我们得到每个矩形的高度，进而计算出每个矩形的面积。
• 😀 每个矩形的面积可以通过公式 'base * height' 来计算，其中 base 为 Δx，height 为 f(xᵢ)。
• 😀 通过求和所有矩形的面积，我们能够得到函数在区间 [0, B] 下的面积。
• 😀 我们将上述过程进行了公式化，从而能根据不同的 n 值轻松计算面积。
• 😀 公式中的求和公式是基于自然数的平方和公式：1² + 2² + ... + n²，其结果为 n(n + 1)(2n + 1) / 6。
• 😀 最终，我们利用极限的概念，使 n 趋近于无穷大，从而得到了函数 f(x) = x³ 在区间 [0, B] 下的确切面积。
• 😀 通过这节课，我们不仅学习了如何通过积分计算面积，还复习了极限和无穷级数的应用，这为后续学习提供了基础。

Q & A

在这节课中，我们学到了哪些关于积分的知识？

在这节课中，我们学习了如何通过划分区间并使用积分来近似计算曲线下的面积。重点讲解了通过将区间[0, B]分成n个小区间来求解面积，并使用矩形的面积和来近似原函数的面积。

为什么我们要引入n个子区间，而不是使用固定的区间宽度？

引入n个子区间是为了使得计算更加灵活。通过让n取任意值，可以在任意区间范围内（不仅限于固定的区间[0,4]）求得曲线下的面积。这使得我们可以更加普适地计算不同区间的面积。

如何计算每个小矩形的面积？

每个小矩形的面积通过矩形的宽度（即每个小区间的宽度Δx）乘以矩形的高度来计算。高度由函数值决定，即在每个小区间的右端点处评估函数的值。

Δx的值如何计算？

Δx的值是通过将区间[0, B]的长度B减去0（即a），然后除以n得到的。因此，Δx = B / n，其中n是子区间的数量。

为什么我们不直接展开每个函数值的表达式？

我们不展开每个函数值的表达式是因为这样做计算起来过于复杂，且不便于简化。通过保留函数值的形式，我们能够更容易地进行后续的简化和计算。

如何利用Excel来计算曲线下的面积？

通过在Excel中计算从1到n的自然数的平方和，并将其乘以Δx，可以得到曲线下的面积近似值。Excel可以帮助我们自动化这一过程，避免手动计算每个小矩形的面积。

为什么最后的公式如此重要？

最后的公式非常重要，因为它将所有之前的计算简化为一个统一的表达式，使得我们能够直接计算任意区间[0, B]下的曲线面积，而无需进行繁琐的手动求和。

如果n趋向无穷大，会发生什么？

当n趋向无穷大时，矩形的宽度Δx趋近于0，每个矩形的高度更加精确，从而使得我们得到的面积越来越接近真实的面积。这是通过极限来得到精确结果的过程。

我们如何证明计算的公式是正确的？

我们通过替换公式中的各个值，并运用一些数学推导（如求和公式、极限计算等）来验证公式的正确性。最终通过计算得到的结果与理论一致，可以证明公式的有效性。

在计算真实面积时，为什么需要使用极限？

使用极限是因为当n变得非常大时，面积的计算通过有限数量的矩形无法精确表示曲线下的真实面积。通过让n趋向无穷大，我们能得到一个精确的、无误差的面积值。