Integrales por sustitución trigonométrica

Summary

本视频讲解了如何使用三角代换法求解积分。首先通过回顾毕达哥拉斯定理，推导出直角三角形的斜边公式。接着，利用三角函数关系，设定角度θ，导出x与θ之间的关系，并通过求导得到dx的表达式。随后，将积分转换为θ的形式，简化并求解得到最终结果。视频展示了如何从x的积分转化为θ的积分，并最终以对数函数形式给出解答。

Takeaways

• 😀 介绍了如何运用三角代换法解决积分问题。
• 😀 提醒观众记得毕达哥拉斯定理：直角三角形的斜边平方等于两个直角边的平方和。
• 😀 通过毕达哥拉斯定理，得出斜边（h）等于根号（a² + b²）。
• 😀 在问题中，斜边（h）被替换为根号（x² + 4），其中x为一个直角边，另一个直角边为2。
• 😀 确定角度θ，并使用三角关系（对边/邻边 = x/2 = tan(θ)）求解x。
• 😀 通过对x的导数，得到dx = 2 * sec²(θ) * dθ。
• 😀 使用三角函数公式将积分转换为θ的形式，利用sec(θ)的三角恒等式。
• 😀 将积分公式转换为θ的形式后，简化后变为 sec(θ) * dθ。
• 😀 对sec(θ)的积分求解，得出结果为ln|tan(θ) + sec(θ)| + C。
• 😀 最终，将结果转回x的形式，得到积分结果为ln|(x + √(x² + 4))/2| + C。

Q & A

毕达哥拉斯定理的内容是什么？

毕达哥拉斯定理表明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

如何从毕达哥拉斯定理中求解斜边长度？

要找斜边的长度，可以将直角边的平方相加，然后开平方得到斜边长度。

在三角形中，如何用角度表示直角边之间的关系？

可以使用三角函数，如正切函数，来表示直角三角形中对边和邻边之间的关系。

如何通过正切函数求解直角边 x 的值？

使用正切函数公式，x/2 = tan(θ)，从而得到 x = 2 * tan(θ)。

如何通过对 x 求导得到 dx 的表达式？

通过对 x = 2 * tan(θ) 求导，得到 dx/dθ = 2 * sec²(θ)，从而得出 dx = 2 * sec²(θ) dθ。

如何利用三角函数表示直角三角形的斜边和角度的关系？

通过三角函数 sec(θ)，可以得到斜边与邻边的关系。具体来说，√(x² + 4) / 2 = sec(θ)，进一步可以得到 √(x² + 4) = 2 * sec(θ)。

如何将原始积分表达式转化为以 θ 为变量的积分形式？

将 x 和 dx 用 θ 的函数表示后，将积分中的项替换为 θ 的函数，得到新的积分形式。

在积分中如何简化 sec(θ) 的表达式？

通过消去共同的因子，例如上面的 2 和 sec(θ)，可以简化积分表达式。

如何解积分 ∫ sec(θ) dθ？

积分 sec(θ) 的结果是 ln |tan(θ) + sec(θ)| + C，即自然对数形式。

如何将 θ 的结果代回 x 的变量？

将 tan(θ) 和 sec(θ) 的值用 x 的表达式表示，最终得到关于 x 的解。具体为 ln |(x/2) + √(x² + 4)/2| + C。