DOMINIO, CURVAS DE NIVEL Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN R3, Ejercicio 2

Summary

このビデオでは、R^3空間における関数の定義域、グラフ、レベル曲線の描画について解説しています。関数の定義域は全てのx, yの値において成り立ち、グラフは座標平面での交点を基に描かれ、円錐形を形成します。さらに、各平面（xy, xz, yz）との交点を見つけ、レベル曲線として半径が異なる円が描かれます。これにより、関数のグラフの形状とその特徴が視覚的に理解できるようになります。

Takeaways

• 😀 関数の定義域は、x^2 + y^2 ≥ 0 であり、これはすべての実数のxおよびyに対して成り立つため、定義域はR^2（xy平面全体）です。
• 😀 関数のグラフを求める際、まずxy平面、xz平面、yz平面との交点を調べます。
• 😀 xy平面との交点を求めるため、z=0とすると、x=0かつy=0でのみ成り立つため、交点は原点(0,0)です。
• 😀 xz平面との交点を求めるため、y=0とすると、z=±x となり、傾きが正または負の2本の直線がグラフを構成します。
• 😀 yz平面との交点を求めるため、x=0とすると、z=±y となり、傾きが正または負の2本の直線がグラフを構成します。
• 😀 グラフの形は、頂点が原点にある双曲面のような円錐形をしており、上方向と下方向に広がっています。
• 😀 レベル曲線を求めるために、z=k として、x^2 + y^2 = k^2 の円の方程式が得られます。
• 😀 k=0 の場合、レベル曲線は原点で1点になります。
• 😀 k=1 の場合、レベル曲線は半径1の円となり、xy平面に描かれます。
• 😀 k=3 の場合、レベル曲線は半径3の円となり、さらに大きな円になります。
• 😀 グラフを描くと、xy平面では原点が唯一の交点となり、xz平面およびyz平面では2本の直線が描かれます。

Q & A

関数の定義域はどのように求めますか？

関数の定義域は、関数内の式が定義される範囲を求めることで求めます。具体的には、平方根内の式が0以上である必要があり、今回のケースではx² + y² ≥ 0となり、これはすべてのx, yに対して成り立つため、定義域はR²（xy平面全体）です。

グラフを描くために最初にするべきことは何ですか？

グラフを描くためには、まず関数が交差する平面を特定する必要があります。具体的には、xy平面、xz平面、yz平面での交差を求めます。これにより、関数の挙動を理解し、グラフを描く準備が整います。

z=0の時、xy平面でどのような結果が得られますか？

z=0の時、関数は√(x² + y²)となります。この方程式は、xとyが両方とも0であるときにのみ成り立つため、xy平面での交点は原点(0, 0)となります。

xz平面での交点はどのように求めますか？

xz平面での交点を求めるために、y=0とした場合、関数はz = ±√(x²) = ±xとなります。これにより、グラフは傾き±1の直線として描かれます。

yz平面での交点はどのように求めますか？

yz平面での交点を求めるために、x=0とした場合、関数はz = ±√(y²) = ±yとなります。これにより、グラフは傾き±1の直線として描かれます。

グラフ全体を描く際の形状はどうなりますか？

グラフ全体は、z = √(x² + y²)という形式の関数であり、これは円錐の形状を持ちます。z軸に沿って広がり、xy平面においては原点から外向きに円形のレベルカーブを描きます。

レベルカーブの定義は何ですか？

レベルカーブとは、zが一定の値を取る点の集合です。具体的には、関数z = √(x² + y²)に対して、z = k（kは定数）のとき、x² + y² = k²となり、これが半径kの円となります。

k = 0のとき、レベルカーブはどのようになりますか？

k = 0のとき、x² + y² = 0となり、この方程式はx = 0かつy = 0でのみ成り立ちます。したがって、レベルカーブは単一の点、すなわち原点(0, 0)となります。

k = 1のとき、レベルカーブはどのようになりますか？

k = 1のとき、x² + y² = 1となり、これは半径1の円を表します。この円は、xy平面上で中心が原点(0, 0)の円として描かれます。

k = 3のとき、レベルカーブはどのようになりますか？

k = 3のとき、x² + y² = 9となり、半径3の円がxy平面上に描かれます。これにより、z = 3の高さに対応するレベルカーブが得られます。